第五章微分中值

1、思考與練習(xí)思考與練習(xí)511.函數(shù)在點(diǎn)取得極大(小)值的定義是什么函數(shù)在區(qū)間上的最大(小)值??xf0x??xfI的定義是什么答：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義若存在對(duì)任意的)(xfI0xI?0()UxI??有則稱函數(shù)在點(diǎn)取得極小(大)值稱0()xUx????????????xfxfxfxf??00f0x點(diǎn)是函數(shù)的極小(大)值點(diǎn)而函數(shù)值就稱為函數(shù)的極小(大)值。0xf)(0xff設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，若對(duì)任意，有，)(xfI0xI?Ix?)()(0

2、xfxf?))()((0xfxf?則函數(shù)值就稱為函數(shù)的最小(大)值。)(0xff2.最大(小)值是否一定是極大(小)值反之如何答：最大(小)值不一定是極大(小)值，極大(小)值不一定是最大(小)值。例如在閉區(qū)間上能取到最大值，但不是函數(shù)??2fxx???01??11f???11f?在區(qū)間中的極大值，也不是函數(shù)的極大值點(diǎn)。??2fxx???0101x???2fxx?3.若函數(shù)在閉區(qū)間的端點(diǎn)取得最大值且存在則是否有??xf??baa??af

3、????0???af為什么答：若函數(shù)在閉區(qū)間的端點(diǎn)取得最大值且存在但不一定有??xf??baa??af??。例如，在閉區(qū)間上能取到最大值，但??0???af??2fxx???01??11f?。??????211111limlim2011xxfxfxfxx??????????????4.穩(wěn)定點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎穩(wěn)定點(diǎn)的幾何意義是什么極值點(diǎn)一定是穩(wěn)定點(diǎn)嗎答：穩(wěn)定點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。函數(shù)在穩(wěn)定點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的切線平行于軸。x極值點(diǎn)不一定是穩(wěn)定

4、點(diǎn)。5.費(fèi)馬定理說(shuō)明了穩(wěn)定點(diǎn)和極值點(diǎn)的什么關(guān)系答：費(fèi)馬定理說(shuō)明了若點(diǎn)是函數(shù)可導(dǎo)的極值點(diǎn)，則點(diǎn)一定是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)。0xf0xf6.洛爾中值定理拉格朗日中值定理和柯西中值定理之間有什么關(guān)系答：拉格朗日中值定理是洛爾中值定理的推廣，如果函數(shù)在閉區(qū)間上滿足f??ba由拉格朗日中值定理立即可得洛爾中值定理?？挛髦兄刀ɡ硎抢窭嗜罩兄????bfaf?定理的推廣，取由柯西中值定理就可得到拉格朗日中值定理。??xxg?.在內(nèi)，03sin3131???

5、?????????f02sin2121????????????f????????2131??xxxxf1cos11sin???即在內(nèi)可導(dǎo)，根據(jù)羅爾定理:使.f????????2131???????????????????102131??0???f②所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，????????????.0110xxxxxf??01x???1fx????10x??，在點(diǎn)不可導(dǎo)，故在內(nèi)不存在，使的點(diǎn).??1fx???f0x???11，????0???

6、f?12.證明:①方程(這里為常數(shù))在區(qū)間內(nèi)無(wú)相異的實(shí)根033???cxxc??10②方程(為正整數(shù)這里為實(shí)數(shù))當(dāng)為偶數(shù)時(shí)至多有兩個(gè)實(shí)根當(dāng)0???qpxxnnqpn為奇數(shù)時(shí)至多有三個(gè)實(shí)根n證①用反證法:設(shè).若存在使得??cxxxf???33??121201xxxx??.????021??xfxf因?yàn)樵谏线B續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)由羅爾中值定理應(yīng)f????1021?xx??21xx????1021???xx?使得而這兩點(diǎn)均不可能在區(qū)間內(nèi)此為矛盾.???

7、?10132??????????f??21xx②(ⅰ)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)用反證法:若存在為方程的三個(gè)根令n??4?n321xxx??.????????1230nfxxpxqfxfxfx???????因?yàn)樵诤蜕线B續(xù)在上可導(dǎo)由羅爾中值定理可得:f??21xx??32xx????3221xxxx使所以得????322211xxxx?????????00122111??????????pnfpnfnn????因?yàn)槭瞧鏀?shù)所以此為矛盾.所以方程當(dāng)為偶121