第五章-微分方程

1、0第五章第五章微分方程微分方程第一節(jié)第一節(jié)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、基本概念一、基本概念微分方程的定義：微分方程的定義：①凡是含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程.②未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.本書只討論常微分方程，簡稱微分方程.微分方程的階、解與通解：微分方程的階、解與通解：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階.如果把函數(shù)代入微

2、分方程后，能使方程成為恒等式則稱該函數(shù)為該微分方程的解.若微分方)(xfy?程的解中含有任意常數(shù)，且獨(dú)立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同，則稱這樣的解為微分方程的通解.初始條件與特解：初始條件與特解：用未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在某個特定點(diǎn)的值作為確定通解中任意常數(shù)的條件，稱為初始條件.滿足初始條件的微分方程的解稱為該微分方程的特解。例1課本294頁例1二、獨(dú)立的任意常數(shù)二、獨(dú)立的任意常數(shù)線性相關(guān)與線性無關(guān)：線性相關(guān)與線性無關(guān)：設(shè)是定義在區(qū)間

3、內(nèi)的函數(shù)，若存在兩個不全為零的數(shù)，使得)()(21xyxy)(ba21kk對于區(qū)間內(nèi)的任一，恒有)(bax0)()(2211??xykxyk成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān).)()(21xyxy)(ba顯然，函數(shù)線性相關(guān)的充分必要條件是在區(qū)間內(nèi)恒為常數(shù).)()(21xyxy)()(21xyxy)(ba如果不恒為常數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)線性無關(guān).)()(21xyxy)()(21xyxy)(ba2任意常數(shù)C的取值范圍則其失去的解仍包

4、含在通解中.如在例2中，我們得到的通解中應(yīng)該，但這樣方程就失去特解，而如果允許，則仍包含在通解0?C1??y0?C1??y中.22)1(1???xCy【例2】已知當(dāng)時，求tan2cos)(sin22xxxf???10??x).(xf解設(shè)則sin2xy?21sin212cos2yxx????.1sin1sincossintan22222yyxxxxx?????所以原方程變?yōu)榧?21)(yyyyf?????.112)(yyyf?????所以

5、?)(yf???????????yy112dy2y??)1ln(Cy???故Cxxxf?????)]1ln([)(2).10(??x第三節(jié)第三節(jié)線性微分方程線性微分方程一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程定義定義：形如.)()(ddxQyxPxy??的微分方程，稱為一階線性微分方程，其中都是的已知連續(xù)函數(shù)，“線性”)()(xQxPx是指未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)都是一次的.yy?求解方法求解方法：一階線性微分方程的求解方法一般有如下兩步:)