第一章 隨機(jī)序列

1、1第一章第一章隨機(jī)序列隨機(jī)序列前言：這一章是本書(shū)的預(yù)備知識(shí).我們借助于實(shí)例，用較通俗的語(yǔ)言引入平穩(wěn)隨機(jī)序列的概念.然后介紹平穩(wěn)隨機(jī)序列的描述方法，并且對(duì)平穩(wěn)序列中的“頻譜分析方法”、“相關(guān)分析方法”及“參數(shù)化方法”之間的關(guān)系給予簡(jiǎn)要說(shuō)明.另外，還將介紹兩種常用的估計(jì)方法，以備后用.討論描述隨機(jī)過(guò)程的方法必須注意①隨機(jī)過(guò)程表面上雜亂無(wú)章（如BrownianMotion）但是，它既然是客觀事物和數(shù)量表征，必然有其內(nèi)在的規(guī)律；②為了掌握和利用

2、這些隨機(jī)過(guò)程所表現(xiàn)出來(lái)的規(guī)律，需要一定的數(shù)學(xué)工具，這就是隨機(jī)過(guò)程理論.這章主要討論隨機(jī)序列的概率分布、參數(shù)表征、平穩(wěn)隨機(jī)序列（定義、譜分解、隨機(jī)序列的概率分布、參數(shù)表征、平穩(wěn)隨機(jī)序列（定義、譜分解、白噪聲序列、線性運(yùn)算、有理譜密度的平穩(wěn)序列、隨機(jī)差分方程、白噪聲序列、線性運(yùn)算、有理譜密度的平穩(wěn)序列、隨機(jī)差分方程、遍歷性）遍歷性）、多維隨機(jī)序列、兩種估計(jì)和參數(shù)估計(jì)的優(yōu)效性概念。、多維隨機(jī)序列、兩種估計(jì)和參數(shù)估計(jì)的優(yōu)效性概念。1隨機(jī)序列的概

3、率分布：隨機(jī)序列由無(wú)窮多個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的，我們說(shuō)給定了一個(gè)隨機(jī)序列的概率分布，是指對(duì)于任意有窮多個(gè)時(shí)刻，(12)txt??12mttt?相應(yīng)的隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)都是被12mtttxxx?1212()mtttmFxxx??給定的，而且它們之間不能矛盾，即是說(shuō)由高維聯(lián)合分布推出的低維聯(lián)合分布與原給定的低維分布相同.有時(shí)我們也說(shuō)給定了序列的任意有窮維分布.為獨(dú)立的隨機(jī)序列：若對(duì)于有窮個(gè)不相同txtx?時(shí)刻相應(yīng)是相互獨(dú)立的romvariab

4、le即12mttt?12mtttxxx?12121212()()()()mmtttmtttmFxxxFxFxFx????Exp：電話中的熱噪聲常常近似于這種獨(dú)立序列.由于分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性，故嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的所有統(tǒng)計(jì)特性均不隨時(shí)間的平移而變化.故這一要求相當(dāng)嚴(yán)格.稱(chēng)之為嚴(yán)平穩(wěn)（狹義平穩(wěn)）.而寬平穩(wěn)過(guò)程對(duì)時(shí)間推移的不變性表現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)平均的一、二階矩上.顯然，嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程比寬平穩(wěn)過(guò)程之條件要求更“嚴(yán)”.為狹義平穩(wěn)序列（嚴(yán)平穩(wěn)

5、序列）：若一個(gè)隨機(jī)序列的任意txtx有窮維分布滿(mǎn)足：（整數(shù)集），Z???(1)imtim???3就是以上三種量.從上述表述易見(jiàn)，和被的分布唯一確定.ttsr?ts?tx但是，反之由和一般并不能唯一確定的分布，即具有不ttsr?ts?tx同分布的隨機(jī)序列可以有相同的均值、自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù).3平穩(wěn)隨機(jī)序列：為便于讀者掌握，我們把本書(shū)的討論幾乎完全限于正態(tài)序列范圍之內(nèi)，這不會(huì)影響時(shí)序分析方法的介紹，且會(huì)使很多數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)有較為簡(jiǎn)單的形式

6、，只是在某些個(gè)別情形下，我們指出對(duì)于非正態(tài)序列的類(lèi)似結(jié)果.特別，本書(shū)所介紹的各種方法的基礎(chǔ)是廣義平穩(wěn)序列（寬平穩(wěn)序列）.（1）廣義平穩(wěn)序列的定義：若隨機(jī)序列的二階矩有窮且對(duì)任意時(shí)刻和滿(mǎn)足：tx2()tEx??tstEx??2tststsExxrr?????為方便計(jì)，通常不妨設(shè).0??則稱(chēng)它為廣義平穩(wěn)序列（寬平穩(wěn)序列），即與無(wú)關(guān)，只與?ttsr有關(guān).“廣義”是相對(duì)于“狹義”而言的，簡(jiǎn)稱(chēng)平穩(wěn)過(guò)程.ts?Remark：①若狹義平穩(wěn)過(guò)程（序列）

7、的一、二階都有窮tx則它一定也是廣義平穩(wěn)的.2()ttExEx??1122121212012()()()()()tttRRttttExxdFxxdFxatExxxxdFxxxxdFxxf??????????????????????????????@@與無(wú)關(guān)②若是正態(tài)隨機(jī)序列，的狹義平穩(wěn)性的廣義平穩(wěn)性.txtxtx?（，復(fù)旦大學(xué)《隨機(jī)過(guò)程》第三冊(cè)P183特征函()()tsExx?????數(shù)）Proof：“”若是狹義平穩(wěn)的（嚴(yán)平穩(wěn)的），又正