高中數(shù)學(xué)必修5?？碱}型一元二次不等式及其解法

1、一元二次不等式及其解法 一元二次不等式及其解法 【知識(shí)梳理】 1．一元二次不等式 我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的不等式，稱為一元二次不等式，即形如 ax2＋bx＋c＞0(≥0)或 ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等式． 2．一元二次不等式的解與解集 使一元二次不等式成立的 x 的值，叫做這個(gè)一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個(gè)一元二次不等式的解集. 3．一元二次不等式與相應(yīng)

2、的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如表 判別式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ0)的根 有兩相異實(shí)根 x1，x2，(x1＜x2) 有兩相等實(shí)根 x1＝x2＝－ b2a 沒有實(shí)數(shù)根 二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} ? ? ?? ? ? x|x≠－ b2a R ax2＋bx＋c0)的解集 { } x|x1<x<x2

3、? ? 【?？碱}型】 題型一、一元二次不等式的解法 【例 1】 解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)x2－4x－5≤0； (3)－4x2＋18x－814 ≥0； (4)－12x2＋3x－5＞0； (5)－2x2＋3x－2＜0. [解] (1)因?yàn)?Δ＝72－4×2×3＝25＞0， 所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有兩個(gè)不等實(shí)根 x1＝－3，x2＝－12.又二次函數(shù) y＝2x2＋7x＋3 的圖象開口向

4、上，所以原不等式的解集為{x|x＞－12，或 x＜結(jié)合二次函數(shù) y＝9x2－12x＋4 的圖象知，原不等式的解集為{x|x≠23}. 題型二、解含參數(shù)的一元二次不等式 【例 2】 解關(guān)于 x 的不等式 x2＋(1－a)x－a＜0. [解] 方程 x2＋(1－a)x－a＝0 的解為 x1＝－1，x2＝a，函數(shù) y＝x2＋(1－a)x－a 的圖象開口向上，則當(dāng) a＜－1 時(shí)，原不等式解集為{x|a＜x＜－1}； 當(dāng) a＝－1 時(shí)，原不等式解

5、集為?； 當(dāng) a＞－1 時(shí)，原不等式解集為{x|－1＜x＜a}． 【類題通法】 解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)： (1)若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)大于 0 與小于 0 進(jìn)行討論； (2)若求對(duì)應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對(duì)判別式 Δ 進(jìn)行討論； (3)若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對(duì)兩根的大小進(jìn)行討論． 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 2．解關(guān)于 x 的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)． 解：原不等式可化為： (ax＋1)(x－1)