李錦旭(數(shù)列型不等式放縮技巧九法)

1、1數(shù)列型不等式的放縮技巧九法數(shù)列型不等式的放縮技巧九法山東省臨沭縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)山東省臨沭縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)李錦旭（李錦旭（276700）證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競(jìng)賽試

2、題命題的極好素材。這類問(wèn)題的求解策略往往是：通過(guò)多角度觀察所給數(shù)列級(jí)各類競(jìng)賽試題命題的極好素材。這類問(wèn)題的求解策略往往是：通過(guò)多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下九種：通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下九種：一利用重要不等式放縮利用重要不等式放縮1均值不等式法均值不等式法例1設(shè)求證求證.)1(3221???????nnSn?.2)1(2)1(

3、2????nSnnn解析解析此數(shù)列的通項(xiàng)為此數(shù)列的通項(xiàng)為.21)1(nkkkak????，，2121)1(???????kkkkkk?)21(11????????nknnkkSk即.2)1(22)1(2)1(2???????nnnnSnnn注：注：①應(yīng)注意把握放縮的應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成，若放成則得則得，就放過(guò)，就放過(guò)2baab??1)1(???kkk2)1

4、(2)3)(1()1(21?????????nnnkSnkn“度”了！了?、诟鶕?jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的重要不等式，這里根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的重要不等式，這里naanaaaaaannnnnn22111111?????????????其中，其中，等的各式及其變式公式均可供選用。等的各式及其變式公式均可供選用。32?n例2已知函數(shù)已知函數(shù)，若，若，且，且在[0，1]上的最小值為上的最小值為，bxaxf211)(??

5、?54)1(?f)(xf21求證：求證：（02年全國(guó)聯(lián)賽山東預(yù)賽題）年全國(guó)聯(lián)賽山東預(yù)賽題）.2121)()2()1(1???????nnnfff?簡(jiǎn)析簡(jiǎn)析)2211()()1()0(22114111414)(???????????????nffxxfxxxx?.2121)21211(41)2211()2211(112?????????????????nnnnn??例3求證求證.)1(221321NnnnCCCCnnnnnn???????

6、???簡(jiǎn)析簡(jiǎn)析不等式左邊不等式左邊?????nnnnnCCCC?32112222112???????nn?=，故原結(jié)論成立，故原結(jié)論成立.nnn122221????????212??nn2利用有用結(jié)論利用有用結(jié)論例4求證求證.12)1211()511)(311)(11(???????nn?簡(jiǎn)析簡(jiǎn)析本題可以利用的有用結(jié)論主要有：本題可以利用的有用結(jié)論主要有：法1利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)可得可得)00(??????mabma

7、mbab????122563412nn?????nn212674523?)12(212654321?????nnn?即?12)122563412(2?????nnn?.12)1211()511)(311)(11(???????nn?3例7已知不等式已知不等式表示不超過(guò)表示不超過(guò)].[log2][log211312122nnNnnn????????的最大整數(shù)。設(shè)正數(shù)數(shù)列的最大整數(shù)。設(shè)正數(shù)數(shù)列滿足：滿足：n2logna.2)0(111???

8、????nannaabbannn求證求證（0505年湖北卷第（年湖北卷第（2222）題））題）.3][log222???nnbban簡(jiǎn)析簡(jiǎn)析當(dāng)時(shí)，即，即2?nnaaanaannaannnnnnn11111111????????????naann1111???于是當(dāng)于是當(dāng)時(shí)有時(shí)有.1)11(212kaankkknk????????3?n???][log211121naan.][log222nbban??注：注：①本題涉及的和式本題涉及的和

9、式為調(diào)和級(jí)數(shù)，是發(fā)散的，不能求和；但是可為調(diào)和級(jí)數(shù)，是發(fā)散的，不能求和；但是可n13121????以利用所給題設(shè)結(jié)論以利用所給題設(shè)結(jié)論來(lái)進(jìn)行有效地放縮；來(lái)進(jìn)行有效地放縮；][log21131212nn?????②引入有用結(jié)論在解題中即時(shí)應(yīng)用，是近年來(lái)高考創(chuàng)新型試題的一個(gè)顯著特點(diǎn)，引入有用結(jié)論在解題中即時(shí)應(yīng)用，是近年來(lái)高考創(chuàng)新型試題的一個(gè)顯著特點(diǎn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新意識(shí)。有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新意識(shí)。例8設(shè)，求證：數(shù)列，

10、求證：數(shù)列單調(diào)遞增且單調(diào)遞增且nnna)11(??na.4?na解析解析引入一個(gè)結(jié)論：若引入一個(gè)結(jié)論：若則（證略）（證略）0??ab)()1(11abbnabnnn??????整理上式得整理上式得（），以，以代入（代入（].)1[(1nbanbann?????nbna11111?????）式得）式得即單調(diào)遞增。單調(diào)遞增。?????1)111(nn.)11(nn?na以代入（代入（）式得）式得nba2111????.4)211(21)21

11、1(12??????nnnn此式對(duì)一切正整數(shù)此式對(duì)一切正整數(shù)都成立，即對(duì)一切偶數(shù)有都成立，即對(duì)一切偶數(shù)有，又因?yàn)閿?shù)列，又因?yàn)閿?shù)列單調(diào)單調(diào)n4)11(??nnna遞增，所以對(duì)一切正整數(shù)遞增，所以對(duì)一切正整數(shù)有。n4)11(??nn注：注：①上述不等式可加強(qiáng)為上述不等式可加強(qiáng)為簡(jiǎn)證如下：簡(jiǎn)證如下：.3)11(2???nn利用二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行部分放縮：利用二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行部分放縮：.1111)11(221nnnnnnnnCnCnCna??????

12、????只取前兩項(xiàng)有只取前兩項(xiàng)有對(duì)通項(xiàng)作如下放縮：對(duì)通項(xiàng)作如下放縮：.2111????nCann.212211!111!111????????????kkknknknnnnnknC??故有故有.3211)21(121221212111112??????????????nnna?②上述數(shù)列上述數(shù)列的極限存在，為無(wú)理數(shù)的極限存在，為無(wú)理數(shù)；同時(shí)是下述試題的背景：；同時(shí)是下述試題的背景：已知nae是正整數(shù)，且（1）證明；（2）證明nmi.1n