§76直線與圓的位置關(guān)系

1、澄海中學(xué)數(shù)學(xué)組 制作：黃偉,高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上),高中數(shù)學(xué)第七章 直線與圓的方程課件,2024年3月25日,,書 山 有 路 勤 為 徑，學(xué) 海 無(wú) 崖 苦 作 舟,少 小 不 學(xué) 習(xí)，老 來(lái) 徒 傷 悲,成功=艱苦的勞動(dòng)+正確的方法+少談空話,天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！,天 才 在 于 勤 奮，努 力 才 能 成 功！,直線與圓的位置

2、關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系,返回,結(jié)束,下一頁(yè),知識(shí)回顧,,直線方程的一般式為:____________________________,2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：______________,3.圓的一般方程：__________________________________,圓心為________,半徑為______,Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為零),(x-a)2+(y-b)2=r2,x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-

3、4F>0)圓心為 半徑為,（a，b),r,直線與圓的位置關(guān)系,返回,結(jié)束,下一頁(yè),,圓和圓的位置關(guān)系,,,外離,內(nèi)切,外切,內(nèi)含,相交,2,4,3,0,1,d>R+r,d=R+r,R-r<d<R+r,d=R-r,0≤d<R-r,公切線長(zhǎng),知識(shí)點(diǎn)撥,,直線與圓的位置關(guān)系,返回,結(jié)束,下一頁(yè),,問(wèn)題1：你知道直線和圓的位置關(guān)系有幾種？,知識(shí)點(diǎn)撥,直線與圓的位置關(guān)系,返回,結(jié)束,下一頁(yè),,知識(shí)點(diǎn)

4、撥,直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法:,一般地,已知直線Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為零)和圓(x-a)2+(y-b)2=r2,則圓心(a,b)到此直線的距離為,則,例1 如圖4.2-2，已知直線L：3x+y-6=0和圓心為C的圓 ，判斷直線L與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們交點(diǎn)的坐標(biāo)。,分析：方法一，判斷直線L與圓的位置關(guān)系，就是看由它們的方程組成的方程有無(wú)實(shí)數(shù)解

5、；方法二，可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長(zhǎng)的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系。,,,,,0,x,y,A,B,●,C,L,圖4.2-2,,解法一：由直線L與圓的方程，得 ① ②

6、 消去y ，得 因?yàn)?⊿=所以，直線L與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)。,,,,,,解法二：圓

7、 可化為 ，其圓心C的坐標(biāo)為（0，1），半徑長(zhǎng)為 ，點(diǎn)C（0，1）到直線L的距離d＝ ＝ = =所以，直線L與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)．由 ，解得 =2 ， ＝１．把

8、 =2代入方程①，得 ＝０；把 ＝１代入方程①，得 ＝３．所以，直線L圓相交，它們的坐標(biāo)分別是Ａ（２，０），Ｂ（１，３）．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,＜,鞏固練習(xí)：①判斷直線４x－３y=50與圓 的位置關(guān)系．如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)．,解：因?yàn)閳A心O（0，0）到直線４x－３y=50的距離d=

9、 = 10而圓的半徑長(zhǎng)是10，所以直線與圓相切。圓心與切點(diǎn)連線所得直線的方程為3x+4y=0解方程組 ， 得 切點(diǎn)坐標(biāo)是（８，－６）,,,,,,②判斷直線３x＋４y＋２＝０與圓 的位置關(guān)系．,解：方程 經(jīng)過(guò)配方，得 　 圓心坐標(biāo)是（１，０），半徑長(zhǎng)

10、r=`1． 圓心到直線３x＋４y＋２＝０的距離是 因?yàn)閐=r，所以直線３x＋４y＋２＝０與圓相切．,,,,③已知直線L：y＝x+6,圓Ｃ: 試判斷直線L與圓Ｃ有無(wú)公共點(diǎn)，有幾個(gè)公共點(diǎn)．,解：圓Ｃ的圓心坐標(biāo)是（０，１），半徑長(zhǎng)r= ，圓心到直線y＝x+6的距離 所以直

11、線L與圓Ｃ無(wú)公共點(diǎn)．,,,,,④試解本節(jié)引言中的問(wèn)題．,解：以臺(tái)風(fēng)中心為原點(diǎn)，東西方向?yàn)閤 軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，其中，?。保発m為單位長(zhǎng)度，這樣，受臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓Ｏ方程為輪船航線所在直線L的方程為4x+7y-28=0 問(wèn)題歸結(jié)為圓Ｏ與直線L有無(wú)公共點(diǎn)。點(diǎn)Ｏ到直線L的距離　圓Ｏ的半徑長(zhǎng)r=3因?yàn)椋?５＞３，所以，這艘輪船不必改變航線，不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響．,,,,,,x,y,0,,A,B,歸納小

12、結(jié)：直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法有兩種：,①代數(shù)法：通過(guò)直線方程與圓的方程所組成的方程組成的方程組，根據(jù)解的個(gè)數(shù)來(lái)研究，若有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即⊿＞０，則相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即⊿＝０，則相切；若無(wú)實(shí)數(shù)解，即⊿＜０，則相離．,②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來(lái)判斷：當(dāng)dr時(shí)，直線與圓相離．,直線與圓的位置關(guān)系,返回,結(jié)束,下一頁(yè),,將直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組,利用消元法消去一個(gè)元后,得到關(guān)于另一個(gè)元的一元二次方程

13、,求出其Δ的值，然后比較判別式Δ與0的大小關(guān)系,,判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法2 (代數(shù)法):,若Δ>0 則直線與圓相交,若Δ=0 則直線與圓相切,若Δ<0 則直線與圓相離,反之成立,知識(shí)點(diǎn)撥,直線與圓的位置關(guān)系,返回,結(jié)束,下一頁(yè),,直線與圓的位置關(guān)系判斷方法：,一、幾何方法。主要步驟：,利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離,作判斷: 當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切;當(dāng)d<r時(shí)，直線與圓

14、相交,把直線方程化為一般式,利用圓的方程求出圓心和半徑,,,知識(shí)點(diǎn)撥,直線與圓的位置關(guān)系,返回,結(jié)束,下一頁(yè),,把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組,求出其Δ的值,比較Δ與0的大小:當(dāng)Δ0時(shí),直線與圓相交。,二、代數(shù)方法。主要步驟：,利用消元法，得到關(guān)于另一個(gè)元的一元二次方程,,,,知識(shí)點(diǎn)撥,直線與圓的位置關(guān)系,返回,結(jié)束,下一頁(yè),典型例題,,,已知直線l：kx-y+3=0和圓C: x2+y2=1,試問(wèn)：k為何值時(shí)，直線l與圓C相交？,腦

15、筋轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn),問(wèn)題：你還能用什么方法求解呢?,直線與圓的位置關(guān)系,返回,結(jié)束,下一頁(yè),,一只小老鼠在圓(x-5)2+(y-3)2=9上環(huán)行，它走到哪個(gè)位置時(shí)與直線l ：3x+4y-2=0的距離最短，請(qǐng)你幫小老鼠找到這個(gè)點(diǎn)并計(jì)算這個(gè)點(diǎn)到直線l的距離。,請(qǐng)你來(lái)幫忙,知識(shí)反饋,直線與圓的位置關(guān)系,返回,結(jié)束,下一頁(yè),典型例題,,例1：直線l過(guò)點(diǎn)(2,2)且與圓x2+y2-2x=0相切,求直線l的方程.,直線與圓的位置關(guān)系,返回,結(jié)束,下一

16、頁(yè),典型例題,,例2:一圓與y軸相切，圓心在直線x-3y=0上，在y=x上截得弦長(zhǎng)為 ，求此圓的方程。,解：設(shè)該圓的方程是(x-3b)2+(y-b)2=9b2，,圓心(3b,b)到直線x-y=0的距離是,故所求圓的方程是(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9。,r=|3b|,,比較：幾何法比代數(shù)法運(yùn)算量少，簡(jiǎn)便。,例1：過(guò)點(diǎn)P（1，-1）的直線L與圓M:(x-3)2+(y-4)2=4 （1）當(dāng)

17、直線和圓相切時(shí)，求切線方程和切線長(zhǎng); （2）若直線的斜率為2，求直線被圓截得的弦AB的長(zhǎng); （3）若圓的方程加上條件x≥3，直線與圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍.,演示,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想優(yōu)化解題程序，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析解決問(wèn)題的能力。,例2: 在圓（x+1）2+(y+2)2＝8上到直線ｘ+ｙ+１=０的距離為 的點(diǎn)有_____個(gè).,演示,運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離解決直線與圓的關(guān)系問(wèn)題，將學(xué)

18、生思維引向更高層次。,在（x+1）2+(y-1)2＝R2的圓上是否存在四個(gè)點(diǎn)到直線AB：3x-4y-3=0的距離等于１。,開放性問(wèn)題:,,演示,給出這個(gè)問(wèn)題的用意是開拓學(xué)生的思維，讓學(xué)生從多角度思考問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。,直線與圓部分練習(xí)題,1、從點(diǎn)P(x.3)向圓（x+2)2+(y+2)2=1作切線，則切線長(zhǎng)度的最小值是（ ）,A. 4 B.,C.5 D. 5.5,2、M(3.0)是圓x

19、2+y2-8x-2y+10=0內(nèi)一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)M最長(zhǎng)的弦所在的直線方程是( )A.x+y-3=0 B. 2x-y-6=0 C.x-y-3=0 D.2x+y-6=0,3、直線l: x sina+y cosa=1與圓x2+y2=1的關(guān)系是（ ）A.相交 B.相切 C. 相離 D.不能確定,4、設(shè)點(diǎn)P(3,2)是圓(x-2)2+(y-1)2=4內(nèi)部一點(diǎn)

20、，則以P為中點(diǎn)的弦所在的直線方程是________________________,B,C,B,x+y-5=0,5、直線 x+y+a=0與 y= 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）A. [1, ) B.[1, ] C.[ , -1] D ( , -1],D,6、一圓與y軸相切，圓心在直線x-3

21、y=0上，且在直線y=x上截得的弦長(zhǎng)為 ，求此圓方程。,答： (x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9,高考薈萃,①（2000年全國(guó)理）過(guò)原點(diǎn)的直線與圓 相切，若切點(diǎn)在第三象限，則該直線的方程是（ ）,Ａ.　 Ｂ．　 Ｃ．　 Ｄ．,,,,,,,,,,C,,,④（2002

22、 年全國(guó)文）若直線（１+a）x+y+1=0與圓相切，則a的值為（ ）,Ａ．１，－１　?。拢?，－２　　Ｃ．１　?。模?D,,例2. 已知圓的方程是 ，求經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn) 的切線的方程。,,,,所求的切線方程是,因?yàn)辄c(diǎn)M在圓上,所以,經(jīng)過(guò)點(diǎn)M 的切線方程是,解:當(dāng)M不在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)切線的斜率為k

23、,則k =,當(dāng)點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上時(shí)，可以驗(yàn)證，上面方程同樣適用.,整理得,,例2. 已知圓的方程是 ，求經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn) 的切線的方程。,,,,解法二：①當(dāng)點(diǎn) M 不在坐標(biāo)軸上時(shí)，,②當(dāng)點(diǎn) M 在坐標(biāo)軸上時(shí)，同解法一一樣可以驗(yàn)證.,設(shè)切線方程為,y-y0=k(x-x0),整理成一般式，利用點(diǎn)到直線的距離公式求k,代入所設(shè)方程即可.,,例2 已知圓的方程是

24、 ，求經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn) 的切線的方程。,,P(x,y),,,,由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2,解法三：利用平面幾何知識(shí)，按求曲線方程的一般 步驟求解.,如圖，在Rt△OMP中,,,x0x +y0 y = r2,,小結(jié):,1:過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)(xo,yo)的切線方程為xox+yoy=r2 2:過(guò)圓(x-a)2＋(y-b)2＝r2上一點(diǎn)(xo

25、,yo)的切線方程為 (x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r23:過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)(xo,yo)的作圓的切線，兩切點(diǎn)的連線的直線方程為xox+yoy=r24:過(guò)圓(x-a)2＋(y-b)2＝r2外一點(diǎn)(xo,yo)的作圓的切線， 兩切點(diǎn)的連線的直線方程為 (x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r2,1.已知點(diǎn)P(x,y)是圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)，求(1)2x+3 (2)(x

26、-2)2+(y-3)2 (3)y/(x+4)的取值范圍,2.已知一個(gè)圓C與y軸相切，圓心C在直線l1:x-3=0上，且 在直線l2:x-y=0上截得的弦長(zhǎng)為 ,求圓C的方程,3.已知圓C: x2+(y+4)2=4，求在兩坐標(biāo)軸上截距相等的圓 的切線方程,4.已知點(diǎn)P是圓x2+y2=4上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q(4,0),求線段PQ中點(diǎn) 的軌跡,5.直線l過(guò)點(diǎn)P(0,2)且被圓x2+y2=4截得弦長(zhǎng)為2，求l的斜率,與y

27、軸交于A，B兩點(diǎn)，與x軸,的一個(gè)交點(diǎn)為P，求∠APB的大小,2.已知圓(x-3)2+(y+4)2=4與直線y=kx相交于P,Q兩點(diǎn)，則 |OP|·|OQ|= .,3.已知A(1,2)是圓(x-2)2+(y-4)2=10內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)A 且被A平分的圓的弦所在直線l的方程,4. 已知圓C滿足:①截y軸所得弦長(zhǎng)為2;②被x軸分成兩段 圓弧，其弧長(zhǎng)之比為3:1;③圓心到直線l:x-2y=

28、0的距離 為 ，求這個(gè)圓的方程,1.若實(shí)數(shù)x,y滿足等式(x-2)2+y2=3，那么 的最大值,2.已知P(2,0),Q(8,0)，點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離是它到點(diǎn)Q的距離的1/5，求M的軌跡方程，并求軌跡上的點(diǎn)到直線l:8x-y-1=0的最小距離,3.已知P(x,y)為圓x2+y2-6x-4y+12=0上的點(diǎn)(1)求 的最小值(2)求x2+y2的最大值與最小值,4.已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0

29、,問(wèn)：是否存在斜率為1的直線使l被圓C截得得弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，若存在，寫出直線方程,二.例題講解,例1．過(guò)點(diǎn)P(-2，-3)作圓C：(x-4)2+(y-2)2=9的兩條 切線，切點(diǎn)分別為A、B.求： (1)經(jīng)過(guò)圓心C，切點(diǎn)A、B這三點(diǎn)的圓的方程； (2)直線AB的方程； (3)線段AB的長(zhǎng).,3. 過(guò)兩圓x2 + y2 + 6x –4 = 0 和

30、x2 + y2 + 6y –28 = 0 的交點(diǎn)且圓心在直線x-y-4=0上的圓方程是( ) (A) x2+y2+x-5y+2=0 (B) x2+y2-x-5y-2=0 (C) x2+y2-x+7y-32=0 (D) x2+y2+x+7y+32=0,4.已知圓C：(x-a)2+(y-2)2=4(a＞0)及直線l：x-y+3=0當(dāng)直線l 被C截得的弦長(zhǎng)為

31、 時(shí)，則a=( )(A) (B) (C) (D),C,C,例2.己知圓C: x2+y2－2x－4y－20=0, 直線l: (2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0(m∈R) (1)證明: 無(wú)論m取何值 直線l與圓C恒相交. (2)求直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng),及此時(shí)