復(fù)合材料及其力學(xué)基礎(chǔ)

1、第八章 復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)基礎(chǔ),,§8-1 引言,,復(fù)合材料至少由兩種材料構(gòu)成，微觀性質(zhì)是不均勻的。,前幾章中復(fù)合材料“模量”和“強(qiáng)度”的含義是什么？,,平均值，等效——均勻材料,復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)就是在研究如何用一個(gè)均勻材料的響應(yīng)來(lái)代替非均勻復(fù)合材料的平均響應(yīng)。,,復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)分析涉及兩個(gè)尺度：,,,宏觀的，平均意義的量,微觀的，涉及組分屬性和微結(jié)構(gòu)分布,,,,,,模量、強(qiáng)度,組分的含量、形狀、結(jié)合狀態(tài)等,,,細(xì)觀力學(xué)建立二者

2、之間的關(guān)聯(lián),§8-2 有效模量理論,一、有效模量理論,1、宏觀均勻、代表性體積單元,,復(fù)合材料中的增強(qiáng)體的幾何分布可以是規(guī)則的（如圖），也可以是不規(guī)則的。,總體來(lái)看，復(fù)合材料是宏觀均勻的，因此研究其某些性能時(shí)，只須取其一代表性體積單元（representative volume element）來(lái)研究即可代表總體，見(jiàn)圖。,,RVE的要求：,1、RVE的尺寸<<整體尺寸，則宏觀可看成一點(diǎn)；,2、RVE的尺寸>纖

3、維直徑；,3、RVE的纖維體積分?jǐn)?shù)=復(fù)合材料的纖維體積分?jǐn)?shù)。,,纖維體積分?jǐn)?shù)：,—纖維總體積；,—復(fù)合材料體積,注意：只有當(dāng)所討論問(wèn)題的最小尺寸遠(yuǎn)大于代表性體積單元時(shí)，復(fù)合材料的應(yīng)力應(yīng)變等才有意義。,,,二、復(fù)合材料的應(yīng)力、應(yīng)變及有效模量,（復(fù)合材料） （均勻等效體）,按體積平均，定義復(fù)合材料的應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)椋?平均應(yīng)力,平均應(yīng)變,則等效體的本構(gòu)方程（即應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系）為：,,,三、有效模量理論,1

4、、邊界條件：（不能隨意！）,①均勻應(yīng)變邊界條件：,②均勻應(yīng)力邊界條件：,,,2、可證明的兩個(gè)特性：,①在給定均勻應(yīng)變邊界下，有：,②在給定均勻應(yīng)力邊界下，有：,證明可見(jiàn)《復(fù)合材料力學(xué)》（周履等）P223。,,,,,,3、有效模量理論,1）給定均勻應(yīng)變邊界條件,而,其應(yīng)變能為：,此時(shí)，復(fù)合材料的應(yīng)變能也為：,,,2）給定均勻應(yīng)力邊界條件,而,3）有效模量的嚴(yán)格理論解,只有按上述兩種均勻邊界條件算得的有效彈性模量一致，并可由RVE的解向鄰近

5、單元連續(xù)拓展到整體時(shí)，所得的有效彈性模量才是嚴(yán)格的理論解。,則只有滿足上述條件的復(fù)合材料的宏觀彈性模量才能通過(guò)體積平均應(yīng)力、應(yīng)變進(jìn)行計(jì)算；或按應(yīng)變能計(jì)算。,一、長(zhǎng)纖維復(fù)合材料,§8-3 有效模量的材料力學(xué)半經(jīng)驗(yàn)解法,,,（一）縱向有效模量,采用平面假設(shè)，在P力作用下，對(duì)RVE有：,（下標(biāo)f、m表示纖維和基體）,,,所以有,而,利用,稱為縱向有效模量的混合律。,（二）縱向泊松比,RVE的縱向應(yīng)變關(guān)系式：,,（三）縱橫（面內(nèi)）剪切

6、模量,在剪應(yīng)力作用下，RVE的剪應(yīng)變有如下關(guān)系：,,（倒數(shù)混合律）,,,,,（四）橫向有效模量,設(shè),而由平均值關(guān)系有：,（倒數(shù)混合律）,,（五）Halpin-Tsai方程,單向纖維增強(qiáng)的單層的五個(gè)有效模量分別由下式計(jì)算：,,其中：,：纖維增強(qiáng)效果的一種度量參數(shù)，依賴于 相幾何和載荷條件。,*,另外，*式還可以用于沿直線排列的短纖維增強(qiáng)單層的縱向和橫向有效模量的計(jì)算：,計(jì)算E1時(shí)，取：,計(jì)算E2時(shí)，取：,,二、短纖維復(fù)合材料,（一

7、）單向短纖維復(fù)合材料,,1、修正復(fù)合法則（修正混合定律）,,,,,2、Halpin-Tsai方程,此時(shí)，對(duì)?L取：,對(duì)?T?。?,（二）隨機(jī)分布短纖維復(fù)合材料,1、修正混合律：,2、基于halpin-Tsai的經(jīng)驗(yàn)公式：,§8-4 有效模量的其他力學(xué)模型解,,,一、復(fù)合圓柱模型,,,,可在復(fù)合圓柱模型上施加不同的均勻應(yīng)力邊界條件，利用彈性力學(xué)方法進(jìn)行求解而得到有效模量，結(jié)果為：,1、,2、,3、,（平面應(yīng)變體積模量）,4、,,

8、具體見(jiàn)《復(fù)合材料力學(xué)》（周履等）P250-256！,二、Eshelby夾雜模型,1、Eshelby等效夾雜理論,,,同質(zhì)等效夾雜,：特征應(yīng)變,設(shè)整個(gè)系統(tǒng)在無(wú)窮遠(yuǎn)邊界處受均勻應(yīng)力邊界條件，如沒(méi)有夾雜?，則D內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變?yōu)?,而實(shí)際的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)還應(yīng)該加上由夾雜引起的擾動(dòng)應(yīng)力和擾動(dòng)應(yīng)變，即：,則夾雜中的應(yīng)力場(chǎng)可表示為,,,由Eshelby的研究得出擾動(dòng)應(yīng)變和特征應(yīng)變的關(guān)系為：,其中四階張量Sijkl稱為Eshelby張量，僅與基體的材料性能和

9、夾雜物的形狀和尺寸有關(guān)。如果夾雜物的形狀為橢球，則夾雜內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力場(chǎng)是均勻的。關(guān)鍵在于如何求得特征應(yīng)變的值。利用等效夾雜理論有：,（*）,將（*）代入該式則可求得特征應(yīng)變，進(jìn)而求得夾雜內(nèi)外的彈性場(chǎng)。,2、單向短纖維復(fù)合材料的彈性性能預(yù)測(cè),,,設(shè)沿1方向作用均勻應(yīng)力,因?yàn)椴牧蟽?nèi)部有：,表示平均值。,,由Eshelby夾雜理論可得：,,,為基體材料的彈性張量；,為夾雜的彈性張量。,由此可得：,,2、斜向纖維情況：,,（方法同前）,然后利用

10、坐標(biāo)變換求得,（為θ角的函數(shù)）,求有效模量，注意此時(shí)的模量為θ角的函數(shù)。,3、隨機(jī)分布短纖維復(fù)合材料：,,對(duì)不同的θ角，按前述方法求得其,然后對(duì)其求對(duì)于θ得平均值：,在,作用下可求得,和,，進(jìn)而求得,和,。最后可得：,注意：上述計(jì)算均未計(jì)及纖維之間的互相作用。,,,,由前面的分析可知,,,,,三、數(shù)值計(jì)算方法（有限元法）,；而,該積分的值可由FEM進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，即有：,p為離散的單元號(hào)，n為單元總數(shù)。,對(duì)復(fù)合材料有效性能的計(jì)算均需要建立

11、一定的體積代表性單元，如：,,,單向短纖維復(fù)合材料的理想化模型,,,三維代表性體積單元,所有的計(jì)算都是基于上述代表性體積單元。對(duì)隨機(jī)分布短纖維復(fù)合材料的處理方法與前一致。,不同的方法得到的結(jié)果不同，見(jiàn)下表。,,,,,,,§8-5 復(fù)合材料強(qiáng)度的細(xì)觀力學(xué)分析,§8-5-1 長(zhǎng)纖維復(fù)合材料的強(qiáng)度材料力學(xué)分析,、縱向拉伸強(qiáng)度X,,,（*）,,,由圖c可見(jiàn)：,復(fù)合材料強(qiáng)度由基體控制,復(fù)合材料強(qiáng)度由纖維控制,3、當(dāng),時(shí)，,說(shuō)明

12、復(fù)合材料強(qiáng)度低于基體本身強(qiáng)度，纖維未增強(qiáng)。,,說(shuō)明復(fù)合材料強(qiáng)度高于基體本身強(qiáng)度，纖維增強(qiáng)。,,復(fù)合材料的強(qiáng)度總由纖維控制。,二、縱向壓縮強(qiáng)度,,壓縮時(shí)可能的破壞形式：,①因纖維屈曲而導(dǎo)致破壞；,②因橫向界面拉裂而破壞；,③基體和/或纖維剪切破壞；,④纖維與基體壓壞；,⑤纖維彎壞等等；,下面只介紹根據(jù)纖維屈曲理論得到的結(jié)果：,兩種模型：,a）橫向型（拉壓型）：“異向”屈 曲，基體橫向受拉壓作用；,,b）剪切型：“同相”屈曲，基

13、體受剪切作用。,,,（1）橫向型,可求得：,其中：l為纖維長(zhǎng)度，h為纖維直徑，2c為纖維間距，m為屈曲時(shí)的半波數(shù)目。由于m為一很大的數(shù)，可對(duì)上式進(jìn)行連續(xù)函數(shù)求解最小值，可得：,最后有：,,,（2）剪切型：,同理可得：,,三、橫向拉伸強(qiáng)度,理論計(jì)算可得：,,四、橫向壓縮強(qiáng)度,其破壞原因?yàn)榛w剪切破壞，經(jīng)驗(yàn)公式為：,五、面內(nèi)剪切強(qiáng)度,,§8-5-2　短纖維復(fù)合材料強(qiáng)度的細(xì)觀力學(xué)分析,一、單向短纖維復(fù)合材料,一般采用修正混合律公式

14、進(jìn)行研究。,對(duì)長(zhǎng)纖維復(fù)合材料應(yīng)力有：,,,對(duì)短纖維復(fù)合材料，由于必須計(jì)及纖維端部效應(yīng)，所以上式應(yīng)寫為：,其中,（需要知道纖維中的應(yīng)力分布）,由COX提出的剪切滯后理論，通過(guò)圖b的平衡有：,,則,則纖維的應(yīng)力,沿z方向是,線性分布的,,將能達(dá)到最大纖維應(yīng)力的最小纖維長(zhǎng)度定義為載荷傳遞長(zhǎng)度,（d ：纖維直徑）,上式中,短纖維最大纖維應(yīng)力發(fā)生在纖維長(zhǎng)度中點(diǎn)處,,,,,則,（臨界載荷傳遞長(zhǎng)度）,臨界載荷傳遞長(zhǎng)度是載荷傳遞長(zhǎng)度的最大值。,,又因

15、為,,,,,,此即為長(zhǎng)纖維復(fù)合材料的強(qiáng)度公式。,,,其中,二、隨機(jī)分布短纖維復(fù)合材料的強(qiáng)度模型,1、纖維長(zhǎng)度隨機(jī)分布的單向短纖維復(fù)合材料,,,,,2、纖維位向隨機(jī)分布的短纖維復(fù)合材料,1）修正混合律：,,2）統(tǒng)計(jì)積分法,由Tsai-Hill判據(jù)可得單向短纖維復(fù)合材料的偏軸拉伸強(qiáng)度為：,,,,,,為橫向拉伸強(qiáng)度，等于,為剪切破壞強(qiáng)度，等于,即：,§8-6 單層板熱、濕脹系數(shù)的預(yù)測(cè),1、平衡方程：,,2、幾何方程：,（平面假設(shè)）,

16、,,,3、物理方程：,對(duì)單層板：,對(duì)纖維：,對(duì)基體：,由上面各式可得：,,,,則,,為纖維與基體橫向應(yīng)變,,,二、橫向熱膨脹系數(shù)?2的確定,由前圖有：,從細(xì)觀上看：,則有：,而：,可由前節(jié)所得。,,,進(jìn)而可得：,又因?yàn)?所以有：,,,三、縱向濕膨脹系數(shù)?1的確定,由于濕度效應(yīng)與溫度效應(yīng)在宏觀上是類似的，故可以仿照?1的推導(dǎo)求解?1：,平衡方程：,幾何方程：,物理方程：,對(duì)單層板：,對(duì)纖維：,對(duì)基體：,,,,吸水濃度C表示材料吸水分多少的