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1、 專題 專題 16 圓錐曲線的綜合問題 圓錐曲線的綜合問題 1.設(shè) O 為坐標(biāo)原點(diǎn),P 是以 F 為焦點(diǎn)的拋物線 y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn),M 是線段 PF 上的點(diǎn),且|PM|=2|MF|,則直線 OM 的斜率的最大值為( ) A. 33 B.23C. 22 D.1 2.直線 3x-4y+4=0 與拋物線 x2=4y 和圓 x2+(y-1)2=1 從左到右的交點(diǎn)依次為 A、B、 C、 D, 則|AB||CD|的值為___
2、_____. 3.已知橢圓 C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在 x 軸上,左頂點(diǎn)為 A,左焦點(diǎn)為 F1(-2,0),點(diǎn) B(2, 2)在橢圓 C 上,直線 y=kx(k≠0)與橢圓 C 交于 E,F(xiàn) 兩點(diǎn),直線 AE,AF 分別與 y 軸交于點(diǎn) M,N.[來源:學(xué).科.網(wǎng)] (1)求橢圓 C 的方程; (2)在 x 軸上是否存在點(diǎn) P,使得無論非零實(shí)數(shù) k 怎樣變化,總有∠MPN 為直角?若存在,求出點(diǎn) P 的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 4
3、.設(shè)圓 x2+y2+2x-15=0 的圓心為 A,直線 l 過點(diǎn) B(1,0)且與 x 軸不重合,l 交圓 A 于 C,D 兩點(diǎn),過B 作 AC 的平行線交 AD 于點(diǎn) E. (1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn) E 的軌跡方程; (2)設(shè)點(diǎn) E 的軌跡為曲線 C1,直線 l 交 C1 于 M,N 兩點(diǎn),過 B 且與 l 垂直的直線與圓 A 交于 P,Q 兩點(diǎn),求四邊形 MPNQ 面積的取值范圍. 5.已知橢圓 C1:x2a2+
4、y23=1(a>0)與拋物線 C2:y2=2ax 相交于 A,B 兩點(diǎn),且兩曲線的焦點(diǎn) F 重合. (1)求 C1,C2 的方程; (2)若過焦點(diǎn) F 的直線 l 與橢圓分別交于 M, Q 兩點(diǎn), 與拋物線分別交于 P, N 兩點(diǎn), 是否存在斜率為 k(k≠0)的直線 l,使得|PN||MQ|=2?若存在,求出 k 的值;若不存在,請(qǐng)說明理由. 易錯(cuò)起源 易錯(cuò)起源 1、范圍、最值問題 范圍、最值問題 例 1、如圖,橢圓x2a2+y
5、2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2,過 F2 的直線交橢圓于 P,Q 兩點(diǎn),且 PQ⊥PF1. ∵a2=b2+c2,∴b2=3c2, 則橢圓方程變?yōu)?x24c2+ y23c2=1. 又由題意知 2+c 2+12= 10,解得 c2=1, 故 a2=4,b2=3, 即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1. (2)設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立? ? ? ? ?y=kx+m,x24+y23=1,得(3+4k
6、2)x2+8mkx+4(m2-3)=0.[來源:Z&xx&k.Com] 則 ? ? ?Δ=64m2k2-16 3+4k2 m2-3 >0,x1+x2=- 8mk3+4k2,x1·x2=4 m2-33+4k2 .① 又 y1y2=(kx1+m)(kx2+m) =k2x1x2+mk(x1+x2)+m2 =3 m2-4k23+4k2 . ∵橢圓的右頂點(diǎn)為 A2(2,0),AA2⊥BA2, ∴(x1-2)(x2-
7、2)+y1y2=0, ∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0, ∴3 m2-4k23+4k2 +4 m2-33+4k2 + 16mk3+4k2+4=0, ∴7m2+16mk+4k2=0,解得 m1=-2k,m2=-2k7 , 由①,得 3+4k2-m2>0,② 當(dāng) m1=-2k 時(shí),l 的方程為 y=k(x-2),直線過定點(diǎn)(2,0),與已知矛盾. 當(dāng) m2=-2k7 時(shí),l 的方程為 y=k? ? ? ? x-27 ,直
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