高微習題答案

1、1高微一Ch1習題參考答案（10－67）１.１０高微一Ch1習題參考答案（10－67）１.１０證明：如圖：圖中實線部分是一條無差異曲線，它由一個粗實線的“線性部分”和曲實線的凸向原點部分組成，整條曲線所表示的偏好集滿足公理1、2、3、４。（１）證明滿足公理５’在曲線上任取兩點X1與X2，它們是無差異集上兩個不同點，皆與X0無差異，顯然會有X1?X2，Xt是這兩點的凸組合，且它位于X0的東北方向，所以Xt?X2。得證。（２）證明破壞了公理

2、５在“線性部分”任選取兩點X1和X3，其凸組給為Xp，與X1和X3位于同一條直線，所以Xp?X3并不能得出XpX3的結論。故而破壞了公理５。1.111.11如果??是連續(xù)的，那么，定理1.1證明中定義的A與B集是?的閉子集。參考公理3。1.121.12設1(xu2x)與1(xν)2x)是效用函數(shù)。（a）證明：如果1(xu2x)與1(xν)2x)均為r次齊次的，那么，1(xs2x）≡1(xu2x)1(xν)2x)也為r次齊次的。（b）證明

3、：如果1(xu2x)與1(xν)2x)是擬凹的，那么，xxm1(2x）≡min1(xu2x)1(xν)2x)也是擬凹的。證明：（a）∵1(xu2x)與1(xν)2x)是r次齊次的。x1x2X2X1XtX0XpX3OSeasonInTheSun淘寶店:shop35095119.3（2）123Xxxx?∈，并且假定1223xxxx????所以，由題意知()()()()1223uuuuxxxx≥≥成立。那么，()()1313uuxxxx?≥?

4、??。傳遞性得證（3）設()01mmmxyXyxmxxx∞=?Ψ=∈→∞→??且并且當時下面證()0xx∈Ψ()()()()()1limmmmmmmxuuxuuxxxx∞→∞=??Ψ?≥?≥，即，()()0(lim)mmuuuxxx→∞=≥所以，0xx??。則()0xx∈Ψ，即()xΨ是閉集。連續(xù)性得證。1.151.15證明：（1）當000nyBxpxR==∈==時，顯然是緊凸集當0y時，設12Bxx∈，則有12ypypxx≤≤令12(

5、1)tttxxx=?則，1212(1)(1)(1)tPtttptptytyypxxxxx??=?=?≤?=????所以，tBBx∈故是凸集（2）設0limmmmmBpyxxxx→∞∈=≤且則由于px是連續(xù)函數(shù)，則limmmpyx→∞≤，即0pyx≤。所以，B是閉集。由于00(1)ipinp≤≤?則令12max...0nyyyRppp????????=??????????則()....xBRRRxB?∈??有即是有界集。綜上，由nBR?，