考研數(shù)學(xué)沖刺經(jīng)典題目

1、第一章：函數(shù)與極限一、數(shù)列極限大小的判斷例1：判斷命題是否正確若，且序列的極限存在，()nnxynN??nnxylimlimnnnnxAyBAB???????則解答：不正確在題設(shè)下只能保證，不能保證例如：，AB?AB?111nnxynn???，而nnxyn??limlim0nnnnxy??????例2選擇題設(shè)，且（）nnnxzy??lim()0limnnnnnyxz??????則A存在且等于零B.存在但不一定等于零C不一定存在D.一定不

2、存在答：選項C正確分析：若，由夾逼定理可得，故不選A與D.limlim0nnnnxya???????lim0nnza????取，則，且，但11(1)(1)(1)nnnnnnxyznn????????nnnxzy??lim()0nnnyx????limnnz??不存在，所以B選項不正確，因此選C例3設(shè)（）nnxay??且lim()0nnnnnyxxy????則與A都收斂于B.都收斂，但不一定收斂于aaC可能收斂，也可能發(fā)散D.都發(fā)散答：選

3、項A正確分析：由于，得，又由及夾逼定理得nnxay??0nnnaxyx????lim()0nnnyx????lim()0nnax????因此，，再利用得所以選項Alimnnxa???lim()0nnnyx????limnnya???二、無界與無窮大無界：設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在正數(shù)，使得()fxDM()fxMxXD????則稱函數(shù)在上有界，如果這樣的不存在，就成函數(shù)在上無界；也就是說如果對于任()fxXM()fxX何正數(shù)，總存在，使，

4、那么函數(shù)在上無界M1xX?1()fxM?()fxX無窮大：設(shè)函數(shù)在的某一去心鄰域內(nèi)有定義（或大于某一正數(shù)時有定義）如果對于任意()fx0xx給定的正數(shù)（不論它多么大），總存在正數(shù)（或正數(shù)），只要適合不等式（或M?Xx00xx????），對應(yīng)的函數(shù)值總滿足不等式xX?()fx五、求函數(shù)在某點處極限時要注意其左右極限是否相等，求無窮大處極限要注意自變量取正無窮大和負無窮大時極限是否相等。例7求極限10limlimxxxxee???解：，因而

5、時極限不存在。limlim0xxxxee??????????x??xe，因而時極限不存在。1100lim0limxxxxee????????0x?1xe六、使用等價無窮小求極限時要注意：（1）乘除運算中可以使用等價無窮小因子替換，加減運算中由于用等價無窮小替換是有條件的，故統(tǒng)一不用。這時，一般可以用泰勒公式來求極限。（2）注意等價無窮小的條件，即在哪一點可以用等價無窮小因子替換例8：求極限20112limxxxx?????分析一：若將寫

6、成，再用等價無窮小替換就會導(dǎo)致112xx????(11)(11)xx?????錯誤。分析二：用泰勒公式22222211()12211(1())22!11()122(1())222!1()4xxxxxxxxxx????????????????????原式。2221()144xxx??????例9：求極限sinlimxxx??解：本題切忌將用等價代換，導(dǎo)致結(jié)果為1。sinxxsinsinlim0xxx??????七、函數(shù)連續(xù)性的判斷（1）設(shè)