2013碩士研究生入學考試數(shù)學一真題及解析

1、2013碩士研究生入學考試數(shù)學一真題及解析數(shù)學一真題及解析1.已知極限，其中k，c為常數(shù)，且，則（）0arctanlimkxxxcx???0c?A.B.C.D.122kc???122kc??133kc???133kc??答案（D）解析：用洛必達法則2221121000011arctan1111limlimlimlim(1)kkkkxxxxxxxxxcxkxkxxkx?????????????????因此，即112kck???133kc?

2、?2.曲面在點處的切平面方程為（）2cos()0xxyyzx????(011)?A.B.C.D.2xyz????0xyz???23xyz????0xyz???答案（A）解析：法向量(011)()(2sin()1sin())|(111)xyznFFFxyxyxxyzyn???????????切平面的方程是：，即。1(0)1(1)1(1)0xyz??????2xyz????3.設，，令，則1()2fxx??102()sin(12)nbfxn

3、xdxn?????1()sinnnSxbnx?????（）A.B.C.D.341414?34?答案（C）解析：根據(jù)題意，將函數(shù)在展開成傅里葉級數(shù)（只含有正弦，不含余弦），因此將函[11]?數(shù)進行奇延拓：，它的傅里葉級數(shù)為，它是以2為周期的，則當且1||(01)2()1||(10)2xxfxxx??????????????()sx(11)x??在處連續(xù)時，。。()fxx()()sxfx?91111()()()()44444sssf????

4、?????4.設，，，為四條逆時221:1Lxy??222:2Lxy??223:22Lxy??224:22Lxy??針方向的平面曲線，記，則33()(2)(1234)63iiLyxIydxxdyi??????:A.B.C.D123PPP??213PPP??322PPP??132PPP??8.設隨機變量，給定，常數(shù)c滿足，()Xtn:(1)YFn:(00.5)aa????PXca??則()??2PYc??（9）設函數(shù)y=f(x)由方程yx

5、=ex(1y)確定，則＝。01lim[()1]nnfn??(10)已知y1=e3x–xe2x，y2=ex–xe2x，y3=–xe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個解，則該方程的通解y=。（11）設。224sin()sincostxtdytytttdx?????????為參數(shù)，則（12）。21ln(1)xdxx?????（13）設A=(aij)是3階非零矩陣，為A的行列式，Aij為aij的代數(shù)余子式.若AaijAij=0(i，j=

6、123），則｜A｜＝。（14）設隨機變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，a為常數(shù)且大于零，則PY≤a1|Y＞a=三解答題：（15）（本題滿分10分）計算，其中f(x)＝dxxxf)(10?.)1ln(1dtttx??解：使用分部積分法和換元積分法1010222ln(1)22()|224ln(1)4ln(1)|4ln(1)4ln244ln242114ln284ln28(1)4ln28(arctan)11xdxdfxdxdxxdxdxdxtdtx

7、tdtdttttt??????????????????????????????????????????????111110000011100021100f(x)f(x)xxf(x)xxxxxtxxt110|4ln282?????(16)(本題10分)設數(shù)列｛an｝滿足條件：S（x）是冪級數(shù)01231(1)0(2).nnaaannan?????＝，＝0.nnnax???的和函數(shù)（1）證明：()()0nSxSx??（2）求().Sx的表達式