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1、尺規(guī)作圖五點定橢圓的方法尺規(guī)作圖五點定橢圓的方法徐文平(東南大學(xué)南京210096)摘要:摘要:已知橢圓上五點,通過確定橢圓圓心、橢圓主軸方向和橢圓長軸短軸位置等三個步驟,尺規(guī)作圖完成橢圓作圖。橢圓在開普勒行星運行三定律中扮演了重要角色,在機械制圖和土木工程領(lǐng)域中也有重要運用。利用幾何畫板和cad軟件,依據(jù)任意五個點的橢圓尺規(guī)作圖,具有重要意義。一、引言一、引言在幾何畫板和cad軟件中,任意五個點作橢圓,具有意義。五點定橢圓在衛(wèi)星軌道,機
2、械制圖和土木工程中是有重要用途。第一步,通過五點尋找橢圓圓心第二步,確定橢圓坐標(biāo)x、y主軸方向第三步、確定橢圓的長軸a和短軸b1)大狗熊定理)大狗熊定理1:二次圓錐曲線內(nèi)接四邊形的對邊延伸線兩交點調(diào)和分割對角線兩極點。如圖1,橢圓內(nèi)接四邊形KLMN,對邊線KN與LM交于A,對邊線KL與NM交于B,對角線KM的極點為C,對角線LN的極點為D,KM與LN交于Q點,則A、B、C、D四點共線,且AB調(diào)和分割CD,即1AC1AD=2AB。雙曲線和
3、拋物線也具有同樣性質(zhì)。2)命題)命題1:已知橢圓的斜向割線AB,作一條過橢圓圓心O點的任意割線JK,JA、BK交于E點,JB、AK交于F點,確定EF的中點N點,連線NA、NB就是橢圓的切線。證明:證明:由于割線JK的切線交點極點在無窮遠(yuǎn),利用定理1,可以快速證明這個命題。圖5命題命題4:已知橢圓上P、H、G、Q、A五點,利用橢圓內(nèi)接四邊形PQGH確定對角線PQ和GH交叉點T,可繪制極點T的極線EF,利用橢圓內(nèi)接四邊形PQAB(H)確定對
4、角線PQ和AB(H)交叉S點(利用帕斯卡定理,新構(gòu)造橢圓第六點B點,替換H點),繪制極點S的極線MN,極線MN和極線EF交于C點,C點即為PQ割線的極點。證明:證明:依據(jù)極點極線的對偶定理,由于S、T為PQ極線上的二點,可可知S、T極點的極線MN和極線EF相交于C點就是PQ的極點,連線PC、QC就是橢圓的切線。(該方法也適合于雙曲線和拋物線的情況)問題問題2:橢圓上五點有時候似乎不夠啊,如何構(gòu)造橢圓上的臨時第六點啊。命題命題5:運用帕斯
5、卡原理,通過橢圓上五點,可以增加橢圓上一點。Pal’s定理為通過五點作圓錐曲線提供了一種優(yōu)美的解決方案。設(shè)已給12345五點,其中任意三點不在同一直線上(特例將在后面討論),但五點的平面位置為任意。我們將這五點依次相連,并設(shè)線段12與45的交點為L。為了構(gòu)作圓錐曲線上的任意一點,如點6,我們通過點1任意作一直線a,設(shè)a與線段34交于點N,再通過L和N作直線b,設(shè)b與a交于M,圖743;再通過5和M作直線c,則c與a的交點就是期望的第六點
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