空間向量與立體幾何典型例題

1、空間向量與立體幾何典型例題一、選擇題：1(2008全國Ⅰ卷理)已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面111ABCABC?1A內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（C）ABCABC△1ABABCABCD132333231.解：C由題意知三棱錐為正四面體，設(shè)棱長為，則，棱柱的高1AABC?a13ABa?（即點(diǎn)到底面的距離），故與22221236()323AOaAOaaa??????1BABC1AB底面所成角的正弦值為.ABC112

2、3AOAB?另解：設(shè)為空間向量的一組基底，的兩兩間的夾角為1ABACAA????????????1ABACAA????????????060長度均為，平面的法向量為aABC111133OAAAABAC???????????????????11ABABAA??????????????2111126333OAABaOAAB????????????????????則與底面所成角的正弦值為.1ABABC111123OAABAOAB???????

3、????????????二、填空題：1(2008全國Ⅰ卷理)等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角ABCABDEAB的余弦值為，分別是的中點(diǎn)，則所成角的余CABD??33MN，ACBC，EMAN，弦值等于611.答案：.設(shè)，作162AB?COABDE?面，，則，為二面角的平面角OHAB?CHAB?CHO?CABD??，結(jié)合等邊三角形3cos1CHOHCHCHO?????ABC與正方形可知此四棱錐為正四棱錐，則ABDE3ANEMCH???1

4、1()22ANACABEMACAE?????????????????????????????11()()22ANEMABACACAE???????????????????????????12故所成角的余弦值EMAN，16ANEMANEM????????????????????另解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，O則點(diǎn)(110)(110)(110)(002)ABEC????zyHoMBDECNAx1題圖（2）HoMBDECNA1

5、題圖（1）QENMABDCOP22(100)(1)22ABMD?????????????∵1cos23ABMDABMD????????????????A?????????∴∴與所成角的大小為∴ABMD3?(2)222(02)(2)222OPOD?????????????∵設(shè)平面OCD的法向量為則∴()nxyz?00nOPnOD??????????AA即2202222022yzxyz?????????????取解得2z?(042)n?設(shè)點(diǎn)

6、B到平面OCD的距離為則為在向量上的投影的絕對(duì)值ddOB????(042)n?.(102)OB??????∵23OBndn???????∴所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為232（2008安徽理）如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，OABCD?ABCD為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)。4ABC???OAABCD?、、2OA?MOANBC（Ⅰ）證明：直線；MNOCD、、‖（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大??；（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。2方法一（綜