因式分解的16種方法

1、因式分解的16種方法因式分解沒有普遍的方法，初中數(shù)學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對稱多項式輪換對稱多項式法，余數(shù)定理法，求根公式法，換元法，長除法，除法等。注意三原則1分解要徹底2最后結(jié)果只有小括號3最后結(jié)果中多項式首項系數(shù)為正（例如：）??1332?????xxxx分解因式技巧1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。2.分解因式技巧掌握：①等式左邊必

2、須是多項式；②分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示；③每個因式必須是整式，且每個因式的次數(shù)都必須低于原來多項式的次數(shù)；④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個方面考慮。基本方法⑴提公因式法各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。具

3、體方法：當各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低的。如果多項式的第一項是負的，一般要提出“”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù)。提出“”號時，多項式的各項都要變號。提公因式法基本步驟：（1）找出公因式；（2）提公因式并確定另一個因式：①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)在確定字母；②第二步提公因式并確定另一個因式，注意

4、要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；③提完公因式后，另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同?？谠E：找準公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶。例如：ambmcm=m(abc)；a(xy)b(yx)=a(xy)b(xy)=(xy)(ab)。注意：把2變成2()不叫提公因式2a212a41⑵公式法如果把乘法公式反過

5、來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。平方差公式：=(ab)(ab)；完全平方公式：2ab＋＝2a2b?2a2b??2ba?注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)(或式)的例如：bc(bc)ca(ca)ab(ab)=bc(caab)ca(ca)ab(ab)=bc(ca)ca(ca)bc(ab)ab(ab)=c(ca)(ba)b(ab)(ca)=(cb)(ca)(ab)⑹配方法對于某些不能

6、利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬于拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。例如：3x40=3x2.2542.25==(x8)(x5)2x2x????225.65.1??x⑺應(yīng)用因式定理對于多項式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式xa例如：f(x)=5x6，f(2)=0，則可確定x2是5x6的一個因式。(事實上

7、，2x2x2x5x6=(x2)(x3))注意：1、對于系數(shù)全部是整數(shù)的多項式，若X=qp（pq為互質(zhì)整數(shù)時）該多項式值為零，則q為常數(shù)項約數(shù)，p最高次項系數(shù)約數(shù)；2、對于多項式f(a)=0b為最高次項系數(shù)，c為常數(shù)項，則有a為cb約數(shù)⑻換元法有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數(shù)，然后進行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來，這種方法叫做換元法。注意:換元后勿忘還元.例如在分解(x1)(x2)12時，可以令y=x則2x2x2

8、x原式=(y1)(y2)12=y3y212=y3y10=(y5)(y2)22=(x5)(x2)=(x5)(x2)(x1)2x2x2x⑼求根法令多項式f(x)=0求出其根為x1，x，x3，……xn，則該多項式可分解為f(x)=(xx1)(xx2)(xx3)……(xxn)例如在分解2x^47x^32x^213x6時，令2x^47x^32x13x6=0，2則通過綜合除法可知，該方程的根為0.5，3，2，1所以2x^47x^3213x6=(2x

9、1)(x3)(x2)(x1)2x⑽圖象法令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖像與X軸的交點x1x2x3……xn，則多項式可因式分解為f(x)=f(x)=(xx1)(xx2)(xx3)……(xxn)與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準確。例如在分解x^325x6時，可以令y=x^325x6.2x2x作出其圖像，與x軸交點為3，1，2則x^325x6=(x1)(x3)(x2)2x⑾主元法先選定一個字母為主元，然后把