為什么要把0作為一個(gè)自然數(shù)

1、為什么要把“0”作為一個(gè)自然數(shù)◎王尚志現(xiàn)在已經(jīng)明確地把數(shù)“0”作為一個(gè)自然數(shù)看待了。為什么聽了很多的解釋，大部分的解釋是把這看作一個(gè)“規(guī)定”。顯然，這樣的“解釋”是不夠的。下面談?wù)勎业睦斫?，供老師和學(xué)生參考。首先，應(yīng)該從自然數(shù)的功能說起。自然數(shù)是人類最早用來描述周圍世界“數(shù)遺關(guān)系”的概念，幾乎從一開始就具有三個(gè)基本功能。一個(gè)是幫人類來刻畫某一類“東西”的多少，用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言來說就是描述一一個(gè)有限集合的基數(shù)(性質(zhì))。另一個(gè)就是刻畫一類“

2、事物”的順序：“第一”“第二”……用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言來說就是描述一一個(gè)有限集合中元素的“順序”性質(zhì)。“自然數(shù)”的第一個(gè)基本功能是“運(yùn)算功能”。自然數(shù)可以做加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算。在此基礎(chǔ)上，隨著對(duì)運(yùn)算的深入研究，我們一步一步地建立起了有理數(shù)、實(shí)數(shù)和它們的運(yùn)算。我們知道，“空集”是集合中一種最主要也是最基本的集合，也是我們?cè)诿枋鲋車F(xiàn)象時(shí)經(jīng)常用到的集合。：在數(shù)學(xué)中更是經(jīng)常要用到。一般來說，集合常常被分為有限集合和無限集合兩類。有限集合是含有有限

3、元素的集合，像學(xué)校中男生的集合、學(xué)校巾女生的集合、學(xué)校巾老師的集合和學(xué)生的集合等都足有限集合。無限集合是含有的元素不是有限的集合，像自然數(shù)集合、有理數(shù)集合、實(shí)數(shù)集合等等都是無限集合。把“空集”作為一個(gè)有限集合是很自然的，并且我們很容易理解用“0”來描述“空集”中所含元素的多少。有了前面這些說明，我們就容易理解這樣一個(gè)事實(shí)：如果把“0”作為一個(gè)自然數(shù)，那么“所有自然數(shù)”就可以完整地完成刻畫“有限集合元素多少”的“任務(wù)”了。而沒有“0”的“

4、所有自然數(shù)”總是有“缺陷”，因?yàn)闆]有自然數(shù)可以表示“空集”所含元素的多少。這樣，我們從“自然數(shù)的一種基本功能”方面說明了把“0”作為自然數(shù)的好處。我們還必須說明另一個(gè)問題：把“0”作為自然數(shù)，是否會(huì)影響自然數(shù)的“序數(shù)功能”和“運(yùn)算功能”回答是不會(huì)的。不僅不會(huì)，還會(huì)使自然數(shù)的這兩項(xiàng)功能更加“完整”。先看原來沒有“O”的自然數(shù)。我們都知道不同自然數(shù)有大小之分，8大于5，1000大于999。按這樣的大小順序，所有自然數(shù)構(gòu)成了一個(gè)“有順序”的集

5、合。自然數(shù)在“順序”方面的性質(zhì)，除了上述性質(zhì)之外，還有一利它所具有的特殊的性質(zhì)：“自然數(shù)集合的任何一個(gè)非空的子集合中，一定有最小的數(shù)”。例如，在“所有偶數(shù)的集合”中，2是最小的；在“既可被5整除又叮被7祭除的自然數(shù)集合”中，35是最小的。并小足所有有“順序”性質(zhì)的集合都具有這種“特殊的性質(zhì)”。如果把“0”加入到傳統(tǒng)的自然數(shù)集合，新的自然數(shù)集合0，1，2……n……依然會(huì)保持原自然數(shù)集合1，2，……n…擁有的所有的“順序”性質(zhì)，當(dāng)然也包括那

6、種特殊的性質(zhì)。對(duì)自然數(shù)的運(yùn)算功能：加法和乘法來說，把“0”加入到傳統(tǒng)的自然數(shù)集合，不僅所有的“運(yùn)算法則”依舊保持，如對(duì)加法卡乘法運(yùn)算都是封閉的，即新自然數(shù)集合0，l，2……n……中的任何兩個(gè)自然數(shù)都可以進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，而運(yùn)算結(jié)果仍然是自然數(shù)，同時(shí)也保持了加法、乘法運(yùn)算的結(jié)合性和交換性以及乘法對(duì)加法的分配性。不僅如此，特別對(duì)加法運(yùn)算來說，有了“0”這個(gè)特殊的數(shù)，加法運(yùn)算變得更完整了。自然數(shù)的集合是中小學(xué)生見到的一個(gè)最重要的無限集合。沒