表自然數(shù)為四個(gè)素?cái)?shù)的平方與一個(gè)素?cái)?shù)的κ次方之和的小區(qū)間問(wèn)題.pdf

1、在加性數(shù)論中，人們經(jīng)常研究將一個(gè)正整數(shù)表示成素?cái)?shù)冪之和的可能性。1937年Vinogradov[1]證明了任何一個(gè)充分大的奇數(shù)均可表為三個(gè)素?cái)?shù)的和，這就是著名的三素?cái)?shù)定理。對(duì)于非線性的情況，1938年，華在（2]中明了：任意充分大的奇整數(shù)N≡5（mod24）可以表為5個(gè)素?cái)?shù)的平方和；任意充分大的奇整數(shù)N可以表為9個(gè)素?cái)?shù)的立方和，對(duì)于高次和和混合次方的情形，參看文獻(xiàn)[3]，[4]，[5]。 另一方面，研究在適當(dāng)條件限制條件下的堆壘

2、素?cái)?shù)的問(wèn)題也吸引了大量的數(shù)學(xué)工作者，在這方面的研究比較多的是將變量限制在小區(qū)間中取值，這類問(wèn)題稱為小區(qū)間上的堆壘素?cái)?shù)問(wèn)題。比如，在潘（[6]，[7]，[8]）的工作基礎(chǔ)上，展[9]研究了小區(qū)間上的三素?cái)?shù)定理，證明了每一個(gè)充分大的奇數(shù)Ⅳ都可以表示成 N=P1+P2+p3，｜pi—N/3｜≤N5/8（log N）c，其中i=1，2，3.Baker與Harman[10]利用篩法把Ⅳ的指數(shù)從5/8改進(jìn)到了4/7.關(guān)于五個(gè)素?cái)?shù)平方和定理

3、的小區(qū)間問(wèn)題也有很多結(jié)果，首先，人們?cè)趶V義黎曼猜想的條件下研究這個(gè)問(wèn)題。劉和展[11]，每一個(gè)充分大的模24余5的正整數(shù)N都可以表示成其中U=N9/20+ε。后來(lái)，在1998年，劉和展[12]找到一種新的方法來(lái)擴(kuò)大華林—哥德巴赫問(wèn)題的主區(qū)間，正是這種技巧，研究者可以忽略Siegel零的影響，更好的研究堆壘素?cái)?shù)問(wèn)題，比如：Bauer[13]利用這種技巧在五個(gè)素?cái)?shù)平方和的小區(qū)間問(wèn)題上得到了U=N1/2—19/850+ε。在2006年，Bau