24一次函數(shù)、二次函數(shù)與冪函數(shù)

1、要點梳理1.一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像及性質 (1)一次函數(shù)y=kx+b，當k>0時，在實數(shù)集R上是增函 數(shù),當k<0時在實數(shù)集R上是減函數(shù).b叫縱截距,當b=0 時圖像過原點，且此時函數(shù)是奇函數(shù)；當b≠0時函 數(shù)為非奇非偶函數(shù).,§2.4 一次函數(shù)、二次函數(shù)與冪函數(shù),基礎知識 自主學習,(2)二次函數(shù)的解析式①二次函數(shù)的一般式為____________________.②二次函數(shù)的頂點式為____

2、______________,其中頂點為_______.③二次函數(shù)的兩根式為____________________,其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的兩根.(也就是函數(shù)的零點)根據(jù)已知條件,選擇恰當?shù)男问?利用待定系數(shù)法可求解析式.,y=ax2+bx+c （a≠0）,y=a(x-h)2+k (a≠0),y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),(h,k),(3)二次函數(shù)圖像和性質

3、 ①二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a≠0)的頂點坐標為 ;對稱軸方程為 .熟練通過配方法求頂點坐標及對稱軸,并會畫示意圖.②在對稱軸的兩側單調性相反.③當b=0時為偶函數(shù),當b≠0時為非奇非偶函數(shù).,,,2.二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者之 間的關系,x1,x2(x1<x2),x0,{x|x>x2或x<x1},{x|x∈R且x≠x0}

4、,R,{x|x1<x<x2},3.冪函數(shù) (1)冪函數(shù)的定義 形如________( ∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是 _______, 為______. (2)冪函數(shù)的圖像,自變量,常數(shù),(3)冪函數(shù)的性質,,,函數(shù),特 征,性質,R,R,R,[0,+∞),{x|x∈R且x≠0},R,[0,+∞),R,[0,+∞),{y|y∈R且y≠0},奇,奇,奇,偶,非奇非偶,,(1，1),(0，0),x∈[0,

5、+∞)時,增x∈(-∞,0]時,減,增,增,增,x∈(0,+∞)時,減x∈(-∞,0)時,減,(1，1),基礎自測1.直線 的圖像可能是 （ ） 解析 ∵a≠0，∴C不可能. 當a>0時， 排除A. 當a<0時， ，排除D，故選B.,B,2.一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標 系中的圖像大致是

6、 （ ） 解析 選項A中，一次函數(shù)的斜率a>0，而二次函數(shù) 開口向下，相互矛盾，排除A.同理排除D, y=ax2+bx+c的對稱軸為 當a>0,b>0時， ∴排除B. 當a<0,b<0時， 故選C.,C,3.設 則使函數(shù) 的定義域為 R且為奇函數(shù)的所有 值為

7、 （ ） A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.1,3， 解析 當 =1，3時， 的定義域為R且為奇函 數(shù)，當 =-1時， 的定義域為{x|x≠0,x∈R}, 淘汰B、C,當 時, 的定義域為[0,+∞), 排除D.故選A.,A,4.已知二次函數(shù)y=x2-2ax+1在區(qū)間（2，3）內是單調 函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

8、 （ ） A.a≤2或a≥3 B.2≤a≤3 C.a≤-3或a≥-2 D.-3≤a≤-2 解析 本題考查二次函數(shù)圖像及其性質，由于二次 函數(shù)的開口向上,對稱軸為x=a,若使其在區(qū)間(2,3) 內是單調函數(shù)，則需所給區(qū)間在對稱軸的同一側， 即a≤2或a≥3.,A,4.已知二次函數(shù)y=x2-2ax+1在區(qū)間（2，3）內是單 調函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是 （

9、） A.a≤2或a≥3B.2≤a≤3 C.a≤-3或a≥-2D.-3≤a≤-2 解析 本題考查二次函數(shù)圖像及其性質，由于 二次函數(shù)的開口向上，對稱軸為x=a，若使其在 區(qū)間（2，3）內是單調函數(shù)，則需所給區(qū)間在 對稱軸的同一側，即a≤2或a≥3.,A,題型一 二次函數(shù)的解析式的求法 【例1】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值

10、是8，試確定此二次函數(shù). 確定二次函數(shù)采用待定系數(shù)法，有三種 形式，可根據(jù)條件靈活運用.,思維啟迪,題型分類 深度剖析,解 方法一 設f(x)=ax2+bx+c (a≠0),依題意有∴所求二次函數(shù)為y=-4x2+4x+7.方法二 設f(x)=a(x-m)2+n.∵f(2)=f(-1),∴拋物線對稱軸為 ∴m=,又根據(jù)題意函數(shù)有最大值為n=8，∴y=f（x）= ∵f（2）=-1， 解之

11、，得a=-4.方法三 依題意知：f(x)+1=0的兩根為x1=2,x2=-1,故可設f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函數(shù)有最大值ymax=8,即,解之，得a=-4或a=0(舍去）.∴函數(shù)解析式為f(x)=-4x2+4x+7. 二次函數(shù)的解析式有三種形式：(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c (a≠0)(2)頂點式：f(x)=a(x-h)2+k

12、(a≠0)(3)兩點式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)具體用哪種形式，可根據(jù)具體情況而定.,探究提高,知能遷移1 設二次函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(2-x)，且 f（x）=0的兩實數(shù)根平方和為10，圖像過點(0,3), 求f（x）的解析式. 解 設f(x)=ax2+bx+c (a≠0). 由f(x+2)=f(2-x)知，該函數(shù)圖像關于直線x=2對稱, ∴ 即b=-4a.

13、 ① 又∵圖像過（0，3）點，∴c=3. ②,∴b2-2ac=10a2. ③由①②③得a=1,b=-4,c=3.故f（x）=x2-4x+3.,題型二 二次函數(shù)的圖像與性質 【例2】 已知函數(shù) 在區(qū)間[0,1] 上的最大值是2，求實數(shù)a的值

14、. 研究二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問 題，要討論對稱軸與給定區(qū)間的關系. 解 對稱軸為,思維啟迪,(1)當0≤ ≤1，即0≤a≤2時， 得a=3或a=-2,與0≤a≤2矛盾.不合要求；(2)當 1，即a>2時，y在[0，1]上單調遞增，有ymax=f(1),f(1)=2 綜上，得a=-6或a=,探究提高 (1)要注意拋物線的對稱軸所在的位

15、置對函數(shù)最值的影響.(2)解二次函數(shù)求最值問題，首先采用配方法，將二次函數(shù)化為y=a(x-m)2+n的形式，得頂點（m，n）或對稱軸方程x=m，分三個類型：①頂點固定，區(qū)間固定；②頂點含參數(shù)，區(qū)間固定；③頂點固定，區(qū)間變動.,知能遷移2 已知函數(shù)f(x)=-x2+8x,求函數(shù)f(x)在區(qū)間 [t,t+1]上的最大值h(t). 解 f（x）=-x2+8x=-(x-4)2+16 ①當t+14時，f(x)在[t,t

16、+1]上單調遞減. 此時h(t)=f(t)=-t2+8t. 綜上可知,題型三 冪函數(shù)的圖像及應用 【例3】 點( ,2)在冪函數(shù)f(x)的圖像上,點 在冪函數(shù)g（x）的圖像上，問當x為何值時，有 f(x)＞g(x)，f(x)=g(x)，f(x)＜g(x). 由冪函數(shù)的定義，求出f(x)與g(x) 的解析式，再利用圖像判斷即可. 解 設

17、 則由題意得 ∴ =2，即f（x）=x2，再設 則由題意得 ∴ =-2，即g（x）=x-2，,思維啟迪,在同一坐標系中作出f(x)與g(x)的圖像，如圖所示. 由圖像可知：①當x＞1或x＜-1時， f（x）＞g（x）;②當x=±1時,f(x)=g(x);③當-1＜x＜1且x≠0時， f（x）＜g（x）. (1)函數(shù)圖像在解方程和不等式

18、時有著重要的應用.(2)注意本題中，g（x）的定義域為{x|x≠0}.,探究提高,知能遷移3 已知冪函數(shù) 的圖像與x、y 軸都無公共點，且關于y軸對稱，求整數(shù)n的值并畫 出該函數(shù)的草圖. 解 ∵函數(shù)圖像與x、y軸都無公共點， ∴n2-2n-3≤0，∴-1≤n≤3. 又∵n為整數(shù)，∴n∈{-1，0，1，2，3}. 又圖像關于y軸對稱，∴n2-2n-3為偶數(shù). ∴n

19、=-1，1，3.,當n=-1和3時,n2-2n-3=0，y=x0圖像如圖（1）所示; 當n=1時，y=x-4，圖像如圖（2）所示. 圖（1） 圖（2）,題型四 冪函數(shù)的性質 【例4】 （12分）已知冪函數(shù) (m∈N+) 的圖像關于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)， 求滿足

20、 的a的取值范圍. 由 (m∈N+)的圖像關于y 軸對稱知m2-2m-3為偶數(shù),又在（0，+∞）上是減函 數(shù)，∴m2-2m-3<0，從而確定m值，再由函數(shù)f(x)= 的單調性求a的值.,思維啟迪,解 ∵函數(shù)在(0，+∞)上遞減， ∴m2-2m-33-2a>0或0>a+1>3-2a或a+1<0<3-

21、2a. 10分,解題示范,解得 故a的取值范圍為 12分 本題集冪函數(shù)的概念、圖像及單調性、奇偶性于一體,綜合性較強，解此題的關鍵是弄清冪函數(shù)的概念及性質.解答此類問題可分為兩大步：第一步，利用單調性和奇偶性（圖像對稱性）求出m的值或范圍;

22、第二步，利用分類討論的思想，結合函數(shù)的圖像求出參數(shù)a的取值范圍.,探究提高,知能遷移4 指出函數(shù) 的單調區(qū)間, 并比較 的大小. 解 ∵ =1+(x+2)-2, 其圖像可由冪函數(shù)y=x-2的圖像向左平移2個單位,再 向上平移1個單位得到，,該函數(shù)在(-2，+∞)上是減函數(shù)，在(-∞，-2)上是增函數(shù)，且其圖像關于直線x=-2對稱（如圖所示）.,

23、1.二次函數(shù)的解析式有三種形式:一般式、頂點式和 兩根式.根據(jù)已知條件靈活選用.2.二次函數(shù)的單調性只與對稱軸和開口方向有關系, 因此單調性的判斷通常用數(shù)形結合法來判斷.3.冪函數(shù) （ ∈R）,其中 為常數(shù),其本質特征 是以冪的底x為自變量，指數(shù) 為常數(shù)，這是判斷一 個函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標準.應當注 意并不是任意的一次函數(shù)、二次函數(shù)都是冪函數(shù)， 如y=x+1，y=x2-2x等都不是冪函數(shù).,方

24、法與技巧,思想方法 感悟提高,4.在（0，1）上，冪函數(shù)中指數(shù)愈大，函數(shù)圖像愈靠 近x軸（簡記為“指大圖低”），在（1，+∞）上， 冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖像越遠離x軸.1.冪函數(shù)的圖像一定會出現(xiàn)在第一象限內，一定不會 出現(xiàn)在第四象限內，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限 內，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖像最多只能同 時出現(xiàn)在兩個象限內；如果冪函數(shù)圖像與坐標軸相 交，則交點一定是原點.,失誤與防范,2.冪函數(shù)的定義域的求法可

25、分5種情況：① 為零； ② 為正整數(shù)；③ 為負整數(shù)；④ 為正分數(shù)； ⑤ 為負分數(shù). 3.作冪函數(shù)的圖像要聯(lián)系函數(shù)的定義域、值域、單 調性、奇偶性等，只要作出冪函數(shù)在第一象限內的 圖像，然后根據(jù)它的奇偶性就可作出冪函數(shù)在定義 域內完整的圖像.4.利用冪函數(shù)的圖像和性質可處理比較大小、判斷復 合函數(shù)的單調性及在實際問題中的應用等類型.進一 步培養(yǎng)學生的數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想和 方法.,一、選擇題

26、 1.下列函數(shù): ① ②y=3x-2；③y=x4+x2；④ ,其中 冪函數(shù)的個數(shù)為 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ①中y=x-3;④中 符合冪函數(shù)定義; 而②中y=3x-2，③中y=x4+x2不符合冪函數(shù)的定義.,B,定時檢

27、測,2.函數(shù) (n∈N+,n>9)的圖像可能是（ ）,解析 ∵ ∴函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關于y軸對稱，故排除A、B.令n=18，則 當x≥0時， 由其在第一象限的圖像知選C.答案 C,3.當0(1+b)b C. D.(1-a)a>(1-b)b 解析 方法一 由01+a>1,∴（1+b）b>(1+a)b>(1+a)a，故B

28、錯.從而選D. 方法二 令a= ，b= ，逐一驗證即可.,D,4.函數(shù)f(x)=-x2+(2a-1)|x|+1的定義域被分成了四個 不同的單調區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是 （ ） A. B. C. D.,解析 f（x）=-x2+(2a-1)|x|+1是由函數(shù)f(x)=-x2+(2a-1)x+1變化得到，第一步保留y軸右側的圖像

29、，再作關于y軸對稱的圖像.因為定義域被分成四個單調區(qū)間，所以f(x)=-x2+(2a-1)x+1的對稱軸在y軸的右側，使y軸右側有兩個單調區(qū)間，對稱后有四個單調區(qū)間.所以答案 C,5.若0y>1,則下列關系式中正確的個數(shù)是 （ ） ①ax>ay ②xa>ya ③logax>logay ④logx

30、a>logya A.4 B.3 C.2 D.1 解析 ∵0y>1, ∴y=ax遞減，故①不正確；y=xa遞增，故②正確； y=logax遞減，故③不正確. ∵logxalogya logax<logay,正確. 綜上，②④正確.,C,6.已知函數(shù) 的值域為R，則實 數(shù)k的取值范圍是

31、 （ ） A.(0，1) B.(-∞，0]∪[1，+∞) C.[0，1) D.k=0或k≥1 解析 要滿足題意，t=x2-2kx+k要能取到所有正實 數(shù)，拋物線要與坐標軸有交點，∴Δ=4k2-4k≥0. 解得k≥1或k≤0.,B,二、填空題 7.當 時,冪函數(shù) 的圖

32、像不可能 經(jīng)過第________象限. 解析 當x>0時，y>0，故不過第四象限； 當x<0時，y<0或無意義. 故不過第二象限. 綜上，不過二、四象限.也可畫圖觀察.,二、四,8.函數(shù) 在區(qū)間[0,4]上的最大值M與最小 值N的和M+N=_____. 解析 令t= ∈［0,2］,∴y=t2+2t=(t+1)2-1, 在t∈［0,2］上

33、遞增. ∴當t=0時,N=0,當t=2時,M=8. ∴M+N=8.,8,9.已知(0.71.3)m1.30=1, ∴0.71.30.,（0,+∞),三、解答題 10.已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)x-5m-3，m為何值時， f(x):(1)是正比例函數(shù);(2)是反比例函數(shù); (3)是二次函數(shù);(4)是冪函數(shù). 解 (1)若f(x)是正

34、比例函數(shù)， 則-5m-3=1,解得 此時m2-m-1≠0,故 (2)若f(x)是反比例函數(shù)，則-5m-3=-1, 則m= 此時m2-m-1≠0，故m=,(3)若f(x)是二次函數(shù)，則-5m-3=2,即m=-1,此時m2-m-1≠0，故m=-1,(4)若f(x)是冪函數(shù)，則m2-m-1=1，即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.綜上所述，(1)當m= 時，f(x)是正比例函數(shù).(2)當m=

35、 時，f(x)是反比例函數(shù).(3)當m=-1時，f(x)是二次函數(shù).(4)當m=2或m=-1時，f(x)是冪函數(shù).,11.已知冪函數(shù)y=xm2-2m-3 （m∈N+）的圖像關于 y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，求滿足 的a的取值范圍. 解 ∵冪函數(shù)y=xm2-2m-3在（0，+∞）上是減 函數(shù)， ∴m2-2m-3<0.∴-1

36、<m<3. 又m∈N+，∴m=1，2. 當m=1時，y=x-4為偶函數(shù)； 當m=2時，y=x-3為奇函數(shù)，不合題意，故m=1.,12.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c (a>0,b∈R，c∈R). （1）若函數(shù)f（x）的最小值是f（-1）=0，且 c=1， f（x），x>0, -f(x),x0， -（x+1）2，x<0