第三章 電勢(shì)

1、電磁學(xué),第 三 篇,第三章 電勢(shì),,內(nèi)容安排,3.1 靜電場(chǎng)的保守性,3.2 電勢(shì)差及電勢(shì),3.3 電勢(shì)疊加原理,3.4 電勢(shì)梯度,3.5 電荷在外電場(chǎng)中的靜電勢(shì)能,3.6 靜電場(chǎng)的能量,3.1 靜電場(chǎng)力作功,1. 靜電場(chǎng)對(duì)帶電體的作用力,(1) 一個(gè)點(diǎn)電荷q處在外電場(chǎng)E中,q受到電場(chǎng)力：,（E為所在點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)）,(2) 若干個(gè)點(diǎn)電荷系處在外電場(chǎng)E中,每個(gè)點(diǎn)電荷受力：,點(diǎn)電荷系受的合力：,E,(3) 連續(xù)分布的帶電體

2、在外電場(chǎng)中受力,,,,帶電體受合力：,32,例11：求一均勻電場(chǎng)中電偶極子的受力。,已知：電場(chǎng)為E，偶極子的電荷為q。,解：受力,,,,相對(duì)o點(diǎn)的力矩：,,,,即：,,方向是使電偶極子轉(zhuǎn)向電場(chǎng)方向,33,例12.已知一點(diǎn)電荷q，與一均勻帶電Q的細(xì)棒相距L。 求其相互作用力。,解：,電荷對(duì)細(xì)棒的作用,取電荷元 ：,其所在處的電場(chǎng)：,Q棒受力：,,,,,方向水平向右,細(xì)棒對(duì)電荷的作用：,點(diǎn)電荷q處的電場(chǎng)：,q受力：,

3、,34,2.靜電場(chǎng)力的功,(1) 單個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中,,將電荷 從電場(chǎng)的a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn) A=？,,,c,,r,,在任意點(diǎn)c，位移 、受力,,,r+dr,,=Fdr,q,1º 單個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中，電場(chǎng)力作功與路經(jīng)無(wú)關(guān)。,2º 作功A與qo的大小成正比,移動(dòng)單位正電荷作功：,結(jié)論：,35,(2) 點(diǎn)電荷系產(chǎn)生的電場(chǎng)中,任意點(diǎn)c處的電場(chǎng)為：,每一項(xiàng)都與路經(jīng)無(wú)關(guān),1º 電場(chǎng)力作功與路經(jīng)無(wú)關(guān)，電場(chǎng)

4、力是 保守力，靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)。,2º 作功A與qo的大小成正比,移動(dòng)單位正 電荷作功：,結(jié)論：,36,3.靜電場(chǎng)的環(huán)路定理,在任意電場(chǎng)中，將,,經(jīng)L2,電場(chǎng)力作功：,,,,靜電場(chǎng)的環(huán)路定理,,若一矢量場(chǎng)的任意環(huán)路積分始終為0，則稱該矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)。,靜電場(chǎng)兩個(gè)基本性質(zhì)：,,高斯定理：,,有源場(chǎng),,環(huán)路定理：,無(wú)旋場(chǎng),即：沿閉合路經(jīng)移動(dòng)單位正電荷，電場(chǎng)力作功為0。,L1,L2,,,37,3.2 電勢(shì)差和電勢(shì),

5、存在與位置有關(guān)的態(tài)函數(shù),1. 電勢(shì)差、電勢(shì),定義：a、b兩點(diǎn)的電勢(shì)分別為φ a、 φ b， 則兩點(diǎn)間的電勢(shì)差為,即：a、b兩點(diǎn)的電勢(shì)差 =,將單位正電荷從a?b電場(chǎng)力作的功,電場(chǎng)中任意點(diǎn)的電勢(shì)：,單位：V或J/C,,38,電勢(shì)零點(diǎn)的選?。?,電荷分布在有限空間， 取無(wú)窮遠(yuǎn)為 φ = 0 點(diǎn)。,電荷分布在無(wú)限空間， 取有限遠(yuǎn)點(diǎn)為φ = 0 點(diǎn)。,一般工程上，

6、 選大地或設(shè)備外殼為φ =0點(diǎn)。,根據(jù)定義，若已知電勢(shì)分布φ(r)求移動(dòng)電荷q，電場(chǎng)力作功：,39,例13. 在示波器、電視機(jī)、計(jì)算機(jī)顯示器中，均有電子 在電場(chǎng)中被加速而獲得動(dòng)能的情況。已知電子在 1000v的電壓中加速，求電子獲得的速度。,解：電場(chǎng)力作功,由動(dòng)能定理:,若電子經(jīng)過(guò) ?U=1v 的電場(chǎng)：,40,2.電勢(shì)的計(jì)算,(1) 用定義法求φ,半徑為R的球面，均勻帶電Q，求

7、帶電 球所在空間任意一點(diǎn)P的電勢(shì)φ=？,解：,由高斯定理已求得電場(chǎng)分布：,,設(shè) r??， φ=0,P點(diǎn)處在球外 r>R：,P點(diǎn)處在球內(nèi) r<R,,E=0,=0,,,,0,41,1º 球內(nèi)電勢(shì)處處相等，均為：,2º 球面處φ是連續(xù)。,,,,,,,與電場(chǎng)分布比較：,球內(nèi)E=0，是球面上各點(diǎn)電荷在球內(nèi) 的場(chǎng)強(qiáng)迭加為 0。,球內(nèi)φ ?0，是將單位正電

8、荷從球內(nèi)移 到無(wú)窮遠(yuǎn)電場(chǎng)力作功 A ? 0。,,結(jié)論：,42,例15. 半徑為 R的無(wú)限長(zhǎng)帶電圓柱，電荷體密度為?， 求離軸為 r處的 φ =？,,,,R,,.p,r,解：由高斯定理求得各處的電場(chǎng),,設(shè) r= R處， φ = 0,< 0,> 0,r= 0處，,φ = φ max=,43,(2) 用疊加法求φ,1）一個(gè)點(diǎn)電荷的電勢(shì)：,,點(diǎn)電荷系的電位：,在點(diǎn)電荷系

9、 的電場(chǎng)中,.P,任意點(diǎn)P處的電勢(shì),,電勢(shì)疊加原理,44,2）連續(xù)帶電體的電勢(shì)：,.P,取電荷元 ，其在任意點(diǎn)P處的電勢(shì)：,,,,rp,電勢(shì)是標(biāo)量，積分是標(biāo)量疊加。 ?電勢(shì)疊加比電場(chǎng)疊加要簡(jiǎn)便。,整個(gè)帶電體在任意點(diǎn)P處的電位勢(shì)：,45,例16. 點(diǎn)電荷q1=q2=q3=q4=4?10-9C,放置在一正方形的 的四個(gè)頂角上，各頂角距中心5cm. 求：(1)中心o點(diǎn)的電勢(shì)；

10、 (2)將qo=1 ?10-9C從無(wú)窮遠(yuǎn)移到o點(diǎn),電場(chǎng)力作的功。,解：,(1)各點(diǎn)電荷在o點(diǎn)處的電勢(shì),(2)由定義可知：,將單位正電荷從無(wú)窮遠(yuǎn)移到o點(diǎn),電場(chǎng)力作的功為 A= – φ。,?將電荷qo從無(wú)窮遠(yuǎn)移到o點(diǎn),電場(chǎng)力作的功為： A= –qo φ o= – 28.8?10-11 J,46,例17. 計(jì)算均勻帶電Q的圓環(huán)軸線上任意一點(diǎn)P的 電勢(shì)φ =？,,,,R,,,X,相當(dāng)

11、于點(diǎn)電荷,,dq=?2?rdr,,,,,,,,47,討論：,電勢(shì)相等的點(diǎn)組成的曲面。,等勢(shì)面與電場(chǎng)分布的關(guān)系：,等勢(shì)面與電場(chǎng)線處處正交， 且電場(chǎng)線的方向指向電勢(shì) 降低的方向。,(2) 在同一等勢(shì)面上移動(dòng)電荷， 電場(chǎng)力的功恒等于0。,+q,,,,,,,,,,,等勢(shì)面是確實(shí)存在，并能實(shí)驗(yàn)測(cè)定。,3.3 等勢(shì)面,48,梯度：物理量隨空間的變化率。,E與φ,描述電場(chǎng)各點(diǎn)性質(zhì)的物理量,,P1,P2,,,E與

12、φ的關(guān)系？,在電場(chǎng)中取相距 的兩點(diǎn)P1、P2：,3.4 電勢(shì)梯度,,電勢(shì)φ沿 方向的空間變化率,,49,1º 靜電場(chǎng)中任意給定點(diǎn)的E沿某方向的分量為：,2º 場(chǎng)中任一點(diǎn)沿不同方向， φ的空間變化率 一般不等。,當(dāng) ?= 0時(shí), 即,電勢(shì)在此方向空間變化率的負(fù)值,50,,例如；該點(diǎn)電場(chǎng)E的三個(gè)坐標(biāo)分量：,——電勢(shì)梯度,則：,,有最大值：,例18. 一個(gè)均勻帶電圓環(huán), 半徑為R ，電量為Q

13、。 求其軸線上任意一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。,解：根據(jù)點(diǎn)電荷電位疊加，P點(diǎn)的電勢(shì),P點(diǎn)的電場(chǎng)：,方向沿X軸正向,51,即：E 取決于φ 在該點(diǎn)的空間變化率而與該點(diǎn)φ值的大小無(wú)關(guān)。,2º E的又一單位：V/m,= N/C,3º 求E的三種方法,,點(diǎn)電荷電場(chǎng)疊加 ：,用高斯定理求對(duì)稱場(chǎng)：,電勢(shì)梯度法：,1º,,52,3.5 電荷在外電場(chǎng)中的靜電勢(shì)能,任一帶電體在靜電場(chǎng)中都具有一定的電勢(shì)能，,并且：

14、,電場(chǎng)力作功(A) = 帶電體電勢(shì)能的減少(–?W),設(shè)電荷q在電場(chǎng)E中，P1、P2點(diǎn)時(shí)具有電勢(shì)能W1、W2：,則：,又：,比較可得：,一點(diǎn)電荷q在電場(chǎng)中具有電勢(shì)能：W= q φ,點(diǎn)電荷系在電場(chǎng)中具有電勢(shì)能：,或,53,解：兩電荷的電勢(shì)能分別是：,,54,例20. 一均勻帶電球面，半徑為R，總電量Q， 求這一帶電系統(tǒng)的靜電能。,例21. 在真空中一個(gè)均勻帶電球體，半徑為R，總電量

15、 為q，試求此帶電系統(tǒng)的靜電能。,r < R,解：由高斯定理可以得出，均勻帶電體的電場(chǎng)分布：,r > R,取半徑為r，厚度為dr的球殼為體元dq，則體元所在處的電勢(shì)

16、為：,此均勻帶電體的靜電能：,3.6 靜電場(chǎng)的能量,1.電場(chǎng)能量密度的概念,2.帶電系統(tǒng)的電場(chǎng)總能量,例22. 在真空中一個(gè)均勻帶電球體，半徑為R，總電量 為q，試?yán)秒妶?chǎng)能量公式求此帶電系統(tǒng)的靜電能。,分布：,,3.4 ； 3