第5章-線性定常系統(tǒng)的綜合(合肥工業(yè)大學(xué)-現(xiàn)代控制理論-王孝武)

1、第5章 線性定常系統(tǒng)的綜合,1. 引言,2. 狀態(tài)反饋和輸出反饋,3. 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的能控性和能觀測性,4. 極點配置,5. 鎮(zhèn)定問題,6. 狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測器,7. 降階觀測器,8. 帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng),9. 漸近跟蹤和干擾抑制問題,10. 解耦問題,本章內(nèi)容為:,5.1 引言,線性定常系統(tǒng)綜合：給定被控對象，通過設(shè)計控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，使系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)要求。,5.2 狀態(tài)反饋和輸出反饋,5

2、.2.1 狀態(tài)反饋,其中，K 為 反饋增益矩陣；V 為r 維輸入向量。,則有,（3）,5.2.2 輸出反饋,H 為 常數(shù)矩陣,（5）,兩者比較：狀態(tài)反饋效果較好； 輸出反饋實現(xiàn)較方便。,5.3 狀態(tài)反饋的能控性和能觀測性,定理5-1 線性定常系統(tǒng)（6）引入狀態(tài)反饋后，成為系統(tǒng)（8），不改變系統(tǒng)的能控性。,（9）式說明，引入狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。但是，狀態(tài)

3、反饋可以改變系統(tǒng)的能觀測性，見例5-1。,5-1系統(tǒng)方程為,可以驗證系統(tǒng)能控、能觀測。,現(xiàn)在引入狀態(tài)反饋,狀態(tài)反饋方程為,rankQc=2,系統(tǒng)能控。,則狀態(tài)反饋系統(tǒng)不能觀測，即引入狀態(tài)反饋改變了能觀測性。,5.4 極點配置,定理 線性定常系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋進行極點配置的充分必要條件是：系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。,因為A 和 b 一定，確定K 的就可以配置系統(tǒng)的極點。,經(jīng)過線性變換 ，可以使系統(tǒng)具有能控標(biāo)準(zhǔn)形

4、。,（13）,（15）,引入狀態(tài)反饋,令,（16）,其中 為待定常數(shù),狀態(tài)反饋系統(tǒng)特征多項式為,（17）,設(shè)狀態(tài)反饋系統(tǒng)希望的極點為,而狀態(tài)反饋矩陣,5-2線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為,引入狀態(tài)反饋配置系統(tǒng)的極點為S1,2=-1±j,S3=-2試確定反饋矩陣。,解:設(shè)反饋矩陣K=[k0,k1,k2],希望的狀態(tài)反饋系統(tǒng)特征多項式為,得到k0=4, k1=4, k2=1。即K=[

5、4 4 1],例5-3 某位置控制系統(tǒng)（伺服系統(tǒng)）簡化線路如下,為了實現(xiàn)全狀態(tài)反饋，電動機軸上安裝了測速發(fā)電機TG，通過霍爾電流傳感器測得電樞電流 ，即 。已知折算到電動機軸上的粘性摩擦系數(shù) 、轉(zhuǎn)動慣量 ；電動機電樞回路電阻 ；電樞回路電感 ；電動勢系數(shù)為

6、 、電動機轉(zhuǎn)矩系數(shù)為 。選擇 、 、 作為狀態(tài)變量。將系統(tǒng)極點配置到 和 ，求K 陣。,解 1. 建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型,為恒定的負載轉(zhuǎn)矩,將主反饋斷開，系統(tǒng)不可變部分，代入?yún)?shù)后，系統(tǒng)方程為,2. 計算狀態(tài)反饋矩陣,所以系統(tǒng)能控,計算出狀態(tài)反饋矩陣,狀態(tài)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)圖如圖（c）所示（沒有畫出 ）。,經(jīng)過結(jié)構(gòu)變換

7、成（d）圖所示的狀態(tài)圖,驗證：求圖（d）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其極點確實為希望配置的極點位置。,5.5 鎮(zhèn)定問題,鎮(zhèn)定問題—— 非漸近穩(wěn)定系統(tǒng)通過引入狀態(tài)反饋，實現(xiàn)漸近穩(wěn)定,顯然，能控系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)鎮(zhèn)定。,那么，如果系統(tǒng)不能控，還能不能鎮(zhèn)定呢？請見定理5-2。,當(dāng)系統(tǒng)滿足可鎮(zhèn)定的條件時，狀態(tài)反饋陣的計算步驟為,1） 將系統(tǒng)按能控性進行結(jié)構(gòu)分解，確定變換矩陣,2）確定 ，化 為約當(dāng)形式,3） 利用狀態(tài)反饋配置

8、 的特征值，計算,4） 所求鎮(zhèn)定系統(tǒng)的反饋陣,解 矩陣A 為對角陣，顯然系統(tǒng)不能控。不能控的子系統(tǒng)特征值為-5，因此，系統(tǒng)可以鎮(zhèn)定。,能控子系統(tǒng)方程為,引入狀態(tài)反饋,其中,為了保證系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，設(shè)希望極點為,同次冪系數(shù)相等，得,5.6 狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測器,問題的提出：狀態(tài)反饋可以改善系統(tǒng)性能，但有時不便于檢測。如何解決這個問題？答案是：重構(gòu)一個系統(tǒng)，用這個系統(tǒng)的狀態(tài)來實現(xiàn)狀態(tài)反饋。,當(dāng)兩個系統(tǒng)的初始狀態(tài)完全一致，參數(shù)也

9、完全一致，則 。但是實際系統(tǒng)總會有一些差別，因此實際上 。,由（28）式可知，如果適當(dāng)選擇G 矩陣，使(A-GC) 的所有特征值具有負實部，則式（27）系統(tǒng)就是式（24）系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器， 就是重構(gòu)的狀態(tài)。,定理5-3 系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器存在的充分必要條件是：系統(tǒng)能觀測，或者系統(tǒng)雖然不能觀測，但是其不能觀測的子系統(tǒng)的特征值具有負實部。,（證明請參見教材167頁）,例5-6 系統(tǒng)方程為,要求設(shè)計

10、系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器，其特征值為－3、－4、－5。,設(shè)：,其中 ， 待定,希望特征值對應(yīng)的特征多項式,而狀態(tài)觀測器的特征多項式,同次冪系數(shù)分別相等，可以得出,幾點說明：,1） 希望的特征值一定要具有負實部，且要比原系統(tǒng)的特征值更負。這樣重構(gòu)的狀態(tài)才可以盡快地趨近原系統(tǒng)狀態(tài)。,2）狀態(tài)觀測器的特征值與原系統(tǒng)的特征值相比，又不能太負，否則，抗干擾能力降低。,3）選擇觀測器特征值時，應(yīng)該考慮到不至于因為參

11、數(shù)變化而會有較大的變化，從而可能使系統(tǒng)不穩(wěn)定。,5.7 降階觀測器,1. 降階觀測器的維數(shù),定理 5-5 若系統(tǒng)能觀測，且rankC = m，則系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的最小維數(shù)是(n-m)。,（證明略）,因為有m 維可以通過觀測 y 得到，因此有(n-m)維需要觀測。,進行線性變換，,（31）,得到如下形式的系統(tǒng)方程,2. 降階觀測器存在的條件及其構(gòu)成,（33）,于是有(n-m) 階的子系統(tǒng)：,（35）,以下構(gòu)造這個子系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器,

12、（36）,因為子系統(tǒng)能觀測，所以，通過選擇 的參數(shù)，可以配置的特征值。,為了在觀測器中不出現(xiàn)微分項，引入以下變換，,（37）,即,（37）式代入（36），得,因此， 是 的估計。,（39）,狀態(tài)圖中,5.8 帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng),SISO線性定常系統(tǒng),（40）,還有,寫成矩陣形式,（43）,對（43）式進行線性變換，得到如下方程,（45）,（46）,由上式可見，

13、的特征值與 的特征值可以分別配置，互不影響。 這種 的特征值和 特征值可以分別配置，互不影響的方法，稱為分離定理。需要注意： 的特征值應(yīng)該比 的特征值更負，一般為四倍左右，才能夠保證 盡快跟上 ，正常地實現(xiàn)狀態(tài)反饋。,這時傳遞函數(shù)為,5.9 漸近跟蹤與干擾抑制問題,5.9.1 漸近跟蹤問題,右圖所示反饋

14、控制系統(tǒng),一般很難做到在所有時間上都有 ， 但 ， 就有可能做到，即：,穩(wěn)態(tài)時，實現(xiàn)了 跟蹤 ，稱為漸近跟蹤。,在經(jīng)典控制理論中，已經(jīng)討論過典型輸入信號時的情況。,但是，對于 不是典型輸入信號，則 跟蹤 的條件是什么？,輸入和誤差信號的拉氏變換式分別為,顯然，輸入信號的分母 中那些

15、實部為負的根，當(dāng) 時對穩(wěn)態(tài)誤差無影響；只有那些位于 右半閉平面（包括虛軸的右半平面）的根，對穩(wěn)態(tài)誤差有影響。,當(dāng) 的全部極點位于 左半開平面時，要使,必須有,1） 的所有根實部均為負。,2） 在 右半閉平面的零點也是 的零點。,上面兩個條件成立時，就實現(xiàn)了漸近跟蹤，即

16、 有 。其中，第2個條件就是著名的內(nèi)模原理。,5.9.2 內(nèi)模原理,假定 的某些根具有零實部或正實部，令 是 中不穩(wěn)定的極點構(gòu)成的多項式。 和 互質(zhì)。則,由于 中的不穩(wěn)定的零點均被 精確地消去，所以，只要選擇 、 使

17、 的根具有負實部。即：用 鎮(zhèn)定系統(tǒng)，則 時，有 ，實現(xiàn)了漸近跟蹤。這就是內(nèi)模原理.,5.9.3 干擾抑制問題,如果系統(tǒng)存在確定性干擾，如右圖所示。,當(dāng) 時， ，使 ，稱為干擾抑制問題。,如果 為正則

18、有理函數(shù)，假定 的某些根具有零實部或負實部。令 是 的不穩(wěn)定極點構(gòu)成的s多項式。于是 的所有根均具有零實部或正實部。將內(nèi)模 放入系統(tǒng)中，選擇 使反饋系統(tǒng)成為漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)。,由 作用引起的系統(tǒng)輸出,由于 中的不穩(wěn)定的零點均被 精確地消去，故 的所有極點都具有負實部。因此，

19、當(dāng) 時， 。從而實現(xiàn)了干擾抑制。,5.9.4 漸近跟蹤與干擾抑制,如果 ， ，通過在系統(tǒng)中引入內(nèi)模 ，若 是 和 的不穩(wěn)定極點之最小公分母。 設(shè)計補償器 ，就可以實現(xiàn)漸近跟蹤和干擾抑制。,2）內(nèi)模 的系數(shù)不允許變化，否則無法實現(xiàn)精確對消。雖然

20、現(xiàn)實中，很難極其精確地對消，由于 和 大多數(shù)是有界的，輸出仍然可以跟蹤輸入，只是有有限的穩(wěn)態(tài)誤差。,5.9.5 狀態(tài)空間設(shè)計法,系統(tǒng)方程為,（47）,為能控， 為能觀測。,設(shè),和 在s右半閉平面零點的最小公倍式為,其中,組合系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,當(dāng) 時，狀態(tài)反饋的組合系統(tǒng)特征多項式為,對狀態(tài)反饋組合系統(tǒng)，如果給出(n+m)個希望極點，求出,比較

21、 和 ，即可以求得K 和KC ，如此設(shè)計的系統(tǒng)，即可以實現(xiàn)漸近跟蹤和干擾抑制。,5.10 解耦問題,線性定常系統(tǒng)方程為,（51）,引入狀態(tài)反饋,其中K 為反饋陣，F(xiàn)為輸入變換矩陣。,（52）,狀態(tài)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為,所謂解耦問題，就是尋求適當(dāng)?shù)腒 和F 矩陣使得狀態(tài)反饋傳遞函數(shù)矩陣 為對角陣。,5.10.1 關(guān)于 的兩個不變量,如果

22、為嚴(yán)格正則有理傳遞函數(shù)矩陣，可以表示為如下形式,（53）,其中， 為 的第 行向量。,例5-9 傳遞函數(shù)矩陣如下，求不變量,對于 來說， ， 因此,約定：對于 為零向量時，,定義2,（55）,這是一個m 維非零向量

23、。它是這樣構(gòu)造的：對于1×m 的行向量 ，各元素分子多項式中最高次冪的系數(shù)。,例5-9 中,約定：對于 為零向量時，,5.10.2 能解耦性判據(jù),定理5-6 一個具有傳遞函數(shù) 的系統(tǒng)，能用狀態(tài)反饋實現(xiàn)解耦的充分必要條件是以下矩陣非奇異。,（56）,（證明請參見教材184頁。這是構(gòu)造性證明方法。即：定理證畢，K