2018年中科院考研真題線性代數(shù)與解析幾何

1、中國科學(xué)院中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)2000年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試卷科目:線性代數(shù)與解析幾何注:表示下標上下連續(xù)的(或表示同一個大(或.一、填空(每空4分共48分)設(shè)R^3中向量(1)(1)(1)α＝(1)α＝(1)α＝(0)(1)(0)(1)(4)(4)(4)β＝(3)β＝(3)β＝(1)(4)(0)(4)(1)β在基ααα和基βββ下的坐標分別是______和______.(2)從基ααα到基βββ的過渡矩陣是______.又設(shè)R

2、^3的線性變換A使得Aα＝βAα＝βAα＝β則(3)A在基αααβββ和標準基(1)(0)(0)(0)(1)(0)下的矩陣分別是____________和______.(0)(0)(1)(4)A的特征多項式是______最小多項式是______特征值是______.(5)A的不變因子是______初等因子是______若當標準型是______.二、(12分)求過三點(300)(020)(001)的平面的方程以及過這三點的圓的方程.三、(

3、12分)設(shè)A是數(shù)域F上的n維線性空間V的線性變換.∞∞記V=∪KerA^iV=∩ImA^i.i=0i=0證明:(1)V和V是A的不變子空間(2)V＝V＋V.四、(14分)n__設(shè)實二次型Q(x)＝∑(xx)^2其中x＝(1n)(xx...x).i=0試求Q(x)的秩和正負慣性指數(shù).五、(14分)設(shè)A是從m維歐幾里德空間E到n維歐幾里德空間E的線性映射.試怔:存在E和E的標準正交基使得A在它們下的矩陣形如(D0)(00)其中D是一個對角形