工程圖學第3章點幾何元素的投影

1、第3章 幾何元素的投影,3.1 點的投影,采用多面投影,過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。,,點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。,點在一個投影面上的投影,,a?,●,3.1.1 點在兩面投影體系中的投影,1.兩面投影體系,如圖所示的兩個互相垂直的投影面，處于正面直立位置的投影面為正投影面，以V表示，簡稱V面。處于水平位置的投影面稱為水平投影面，以H表示，簡稱H面。,V面與H面的交線稱為OX投影軸，簡稱

2、X軸。,兩個互相垂直的投影面把空間分為4個分角，依次為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ表示。,2.點的兩面投影圖,a— 點 A的水平投影,a’— 點A的正面投影,展開方法：將H面繞X軸向 下旋轉90°,3. 點的兩面投影規(guī)律,1） 點的水平投影和正面投影的連線垂直于X軸，即a?a⊥X軸;,2） 點的水平投影到X軸的距離等于空間點到V面的距離，即 aax=Aa’;,3) 點的正面投影到X軸

3、的距離等于空間點到H面的距離,即 a’ax=Aa.,3.1.2 點在三投影面體系中的投影,投影面,◆正面投影面（簡稱正面或V面）,◆水平投影面（簡稱水平面或H面）,◆側面投影面（簡稱側面或W面）,投影軸,OX軸 V面與H面的交線,OZ軸 V面與W面的交線,OY軸 H面與W面的交線,,三個投影面互相垂直,1. 點的三面投影,投影軸的交點稱為原點,空間點A在三個投影面上的投影,空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母或加

4、“，”表示。,,,,,,,,●,●,,●,●,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a?,a?,向后翻,向下翻,不動,投影面展開,Y軸分解為兩部分——YH、YW,點的三面投影和坐標的關系為：,畫出A點投影圖和舉例,水平投影 a 反映了 A點X和Y的坐標；,正面投影 a’反映了 A點X和Z的坐標；,側面投影a”反映了 A點Y和Z的坐標。,,點的投影規(guī)律:,① a?a⊥OX軸,② a?a?⊥OZ軸,③ aax= a?a

5、z,,2. 點的坐標和三面投影規(guī)律,點的坐標與三面投影的關系,Aa"=a'az=aay=axO=xAAa'=aax=a"az=ayO= yAAa=a'ax=a"ay=azO=zA,綜合點的坐標和三面投影的投影規(guī)律如下：,1、a'a⊥OX，a'az=aayH=xA2、a'a"⊥OZ，a'ax=a"ayw=zA3、aax=a&

6、quot;az=yA,Z,az,X,Y,具體作圖時用45°輔助線幫助作圖,【例】已知A（20、15、15），作出A點的三面投影。,1)作OX、OY和OZ軸，并作 ∠YHOYW的角平分線45º線。,2) 自O點沿OX軸量取20，即 XA = 20，得ax點。,3) 過ax點作OX軸的垂線，在此 垂線上沿OYH軸方向量取15， 即YH = 15，得a點；在此垂線 上沿OZ軸方向量取15，得a＇點。,4

7、) 由a‘作OZ軸的垂線，交OZ軸 于az , 在此垂線上沿OYW軸 方向量取aza″= axa = YA = 15，得a″。,,,,例：已知點的兩個投影，求第三投影。,,,●,●,,,a?,a,ax,az,az,解法一:,通過作45°線使a?az=aax,解法二:,用分規(guī)直接量取a?az=aax,,,3. 特殊投影點：,,,,,,d ?,,,,,,,d,e,e ?,f’,f ?,,,,,,,,,

8、,,e ?,f,d ?,,z,x,YW,YH,0,例：已知點的兩投影，求其第三投影,,,d,,a,a ?,a ?,,3.1.3 兩點的相對位置,兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關系。,判斷規(guī)律：,▲ x 坐標大的在左,▲ y 坐標大的在前,▲ z 坐標大的在上,B點在A點之前、之右、之下。,1. 兩點的相對位置的確定,例題2 已知A點在B點之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A點的投影。,,,,,,2.

9、 重影點,重影點：,空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點。,A、C為H面的重影點,被擋住的投影加( ),圖1—9 重影點的投影,一點的兩投影之間的連線垂直于投影軸；點的一個投影到某投影軸的距離等于空間點到與該投影軸相鄰的投影面之間的距離。即a'a⊥0X ；a'a"⊥0Z；aax =a”az,點的三面投影規(guī)律,點的一個投影反映了點的兩個坐標。已知點的兩個投影，則點的X、Y、Z

10、三個坐標就可確定，即空間點是唯一確定的。因此已知一個點的任意兩個投影即可求出其第三投影。,空間點 點的X、Y、Z三個坐標均不為零，其三個投影都不在投影軸上。投影面上的點 點的某一個坐標為零，其一個投影與投影面重合，另外兩個投影分別在投影軸上。投影軸上的點 點的兩個坐標為零，其兩個投影與所在投影軸重合，另一個投影在原點上。與原點重合的點 點的三個坐標為零，三個投影都與原點重合。,各種位置點的投影,兩點的相對位置 兩點

11、的相對位置是根據(jù)兩點相對于投影面的距離遠近（或坐標大?。﹣泶_定的。X坐標值大的點在左；Y坐標值大的點在前；Z坐標值大的點在上。 根據(jù)一個點相對于另一點上下、左右、前后坐標差，可以確定該點的空間位置并作出其三面投影。,若兩點位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點在該投影面上的投影重合，這兩點稱為該投影面的重影點。重影點在三對坐標值中，必定有兩對相等。從投影方向觀看，重影點必有一個點的投影被另一個點的投影遮住而不可見。判斷重影

12、點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。,重影點及可見性判別,3.2 直線的投影,3.2.1 直線投影的性質和畫法,,,,空間兩點確定一條直線，只要將兩點的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。,直線對一個投影面的投影特性,1. 直線投影的性質,直線垂直于投影面投影重合為一點 積　聚　性,直線平行于投影面投影反映線段實長 ab=AB,

13、直線傾斜于投影面投影比空間線段短 ab=ABcosα,2. 直線投影的畫法,3.2.2 各種位置的直線,投影面平行線,投影面垂直線,正平線（平行于Ｖ面）,側平線（平行于Ｗ面）,水平線（平行于Ｈ面）,正垂線（垂直于Ｖ面）,側垂線（垂直于Ｗ面）,鉛垂線（垂直于Ｈ面）,一般位置直線,統(tǒng)稱特殊位置直線,,,1、 一般位置直線,投影特性：,三個投影都與投影面傾斜且都縮短。即: 都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角的真實大小。,一般

14、位置直線,與H面的夾角:α 與V面的夾角:β 與W面的夾角:γ,0°＜α、β、γ＜90°,2、投影面的平行線,水平線,正平線,側平線,,①在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另兩投影面傾角的真實大小。,②另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸，且長 度縮短。,水平線,側平線,正平線,投 影 特 性：,實長,實長,實長,3. 投影面垂直線,鉛垂線,正垂線,側垂線,反映線段實長。且

15、垂直于相應的投影軸。,鉛垂線,正垂線,側垂線,② 另外兩個投影，,① 在其垂直的投影面上，,投影有積聚性。,投影特性:,3.2.3 一般位置直線的實長及對投影面的傾角,,?,|zA-zB|,,1、 幾何分析,在平面ABba中，過A點作AC∥ab，得△ABC為一直角三角形。,求線段AB的實長和H面的傾角α，可歸結為求直角三角形ABC的實形問題。,2、 作圖方法,,求AB直線的實長和H面的傾角α。,方法一：,,方法二：,

16、?,,求直線的實長及對正面投影面的夾角? 角,|YA-YB|,求直線的實長及對側面投影面的夾角? 角,例題 已知 線段的實長AB，其投影a’b’和b,求水平投影ab。,,,有兩解,3.2.4 直線上的點,1. 直線上點的投影,直線上的點，其各投影面上的投影必在該直線的同面投影上；反之，如果點的各投影面的投影在直線的同面投影上，則該點必在直線上。,◆若點在直線上, 則點的投影必在直線的同名投影上。并將線段的同名投影分割成與空間

17、相同的比例。即：,2. 點分割線段成定比,AC/CB=ac/cb= a?c? / c?b?,,,,,,,,,,,,,,,A,,B,C,V,H,b,c,c?,b?,a?,,,a,定比定理,直線上的點具有兩個特性：,從屬性 若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面 投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷 已知點是否在直線上。,定比性 屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之

18、比。即 A C: C B = a c : c b= a?c? : c?b? = a?c? : c? b?,點C不在直線AB上,例：判斷點C是否在線段AB上。,點C在直線AB上,已知直線上點的一個投影，怎樣求其余投影,,d,,,d’,例2：判斷點K是否在線段AB上。,,,,,,,,,,,a?,b?,因k?不在a? b?上， 故點K不在AB上。,應用定比定理,,,,,,a,b,k,a?,b?,k?,,例題3 已知

19、點C 在線段AB上，求點C 的正面投影。,,,,,例： 已知線段AB的投影，試定出屬于線段AB的點C的投影， 使BC 的實長等于已知長度L。,,,,,AB,zA-zB,c?,,ab,3.2.5 兩直線的相對位置,平行,相交,交叉,垂直相交,空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。,1. 平行兩直線,投影特性：,空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。,由于空間兩平行直線對于同一投影面的傾角相同，故兩直線的

20、長度之比等于其同面投影長度之比, 即AB:CD=ab：cd=a’b’:c’d’=a”b”:c”d”,,,,,,,,,,a,b,c,d,c?,a?,b?,d?,例1：判斷圖中兩條直線是否平行。,對于一般位置直線，只要有兩個同面投影互相平行，空間兩直線就平行。,AB//CD,①,,,,,,,,,b?,,,,,,,,d?,c?,a?,c,,,,,,,,b,a,d,d?,b?,a?,c?,對于特殊位置直線，只有兩個同名投影互相平行，空間直線

21、不一定平行。,求出側面投影后可知：,AB與CD不平行。,例2：判斷圖中兩條直線是否平行。,②,,求出側面投影,2. 相交兩直線,投影特性：,若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。反之亦然,交點是兩直線的共有點,,,例：過C點作水平線CD與AB相交。,先作正面投影,分析：CD首先是水平線 所以正面投影平 行X 軸.其次要 與AB相交，要符 合相交兩

22、直線的 投影特性。,一般情況下，只要兩直線的兩組同面投影相交；且兩投影交點的連線垂直投影軸，就可以判斷這兩條直線在空間相交。但是，當兩直線之一是投影面的平行線時，則需要對投影作進一步的分析以確定兩直線是否相交。,1?(2?),3(4 ),3. 交叉兩直線,投影特性：,★ 同名投影可能相交，但 “交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律。,★ “交點”是兩直線上的一 對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。,●,●,Ⅰ、Ⅱ是Ｖ

23、面的重影點，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點。,,為什么？,兩直線相交嗎？,,例題 判斷兩直線的相對位置,,1?d?,1?c?,結論：,交叉兩直線,判斷兩直線重影點的可見性,判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。,例題 判斷兩直線重影點的可見性,3.2.6 垂直兩直線的投影,若相交兩直線互相垂直，且其中一條直線為投影面的平行線，則兩直線在該投影面的投影必定相互垂直。此

24、投影特性稱為直角投影定理。,設 直角邊BC//H面,BC⊥AB因 BC⊥AB, 同時BC⊥Bb所以 BC⊥ABba平面,直線在H面上的投影互相垂直,即 ∠abc為直角,因此 bc⊥ab,故 bc ⊥ABba平面,又因 BC∥bc,證明：,1. 垂直兩直線的投影特性,,反之如果相交兩直線的任意一組同面投影互相垂直，且其中一條直線為該投影面的平行線，

25、則此兩直線在空中一定互相垂直。,垂直交叉？,,,,,,,,a,b,c,a?,b?,c?,,●,●,例：過C點作直線與AB垂直相交。,2. 作圖,,,,,e,e,e',e',c',c',例 已知直線AB的兩面投影和C點的水平投影,試過C點作直線CE與AB垂直相交,求直線CE的兩面投影。,分析：過一點作一直線與已知 直線垂直，可做無數(shù)條， 但在投影中反映直角的只

26、 有兩條。一條是水平線， 一條是正平線。,例題 過點E 作線段EF,分別與直線AB、CD 垂直。,,分析：,AB為正平線，所以e’f’必垂直a’b’；CD為水平線，所以ef必垂直Cd。,,,,,例：已知AB、CD 兩直線的H面和V面投影， 求AB、CD 兩直線的公垂線。,分析：直線AB是一條鉛垂線，垂 直AB的線一定是一條水平 線；水平線要與AB相交，

27、 水平投影應過a（b），還 要與CD垂直，所以水平投 影必垂直cd。,3.2.7 直線的跡點,跡點及投影性質:直線與投影面的交點稱為直線的跡點。 跡點是直線與投影面的共有點。,,小 結,★點與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性?！稂c與直線及兩直線的相對位置的判斷方法及投影特性?！锒ū榷ɡ??！镏苯嵌ɡ?，即兩直線垂直時的投影特性。,重點掌握：,一、各種位置直線的投影特性

28、,⒈ 一般位置直線,三個投影與各投影軸都傾斜。,⒉ 投影面平行線,在其平行的投影面上的投影反映線段實長及與相應投影面的夾角。另兩個投影平行于相應的投影軸。,⒊ 投影面垂直線,在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。另兩個投影反映實長且垂直于相應的投影軸。,,二、直線上的點,⒈ 點的投影在直線的同名投影上。,⒉ 點分線段成定比，點的投影必分線段的投影 成定比——定比定理。,三、兩直線的相對位置,⒈ 平行,⒉ 相交,⒊ 交叉（異面）,

29、同名投影互相平行。,同名投影相交，交點是兩直線的共有點，且符合空間一個點的投影規(guī)律。,同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律?！敖稽c”是兩直線上一對重影點的投影。,四、相互垂直的兩直線的投影特性,⒈ 兩直線同時平行于某一投影面時，在該 投影面上的投影反映直角。,⒉ 兩直線中有一條平行于某一投影面時， 在該投影面上的投影反映直角。,⒊ 兩直線均為一般位置直線時， 在三個投影面上的投影都不

30、 反映直角。,直角定理,3.3 平面的投影,,,3.3.1 平面的表示法,不在同一直線上的三個點,,,直線及線外一點,,,,兩平行直線,,兩相交直線,,平面圖形,1. 平面的投影,用幾何元素表示平面的形式有以下幾種：,2. 平面的跡線表示法,Px,,,投 影 特 性,★ 平面平行投影面-----投影就把實形現(xiàn),★ 平面垂直投影面-----投影積聚成直線,★ 平面傾斜投影面-----投影類似原平面,實形性,類似

31、性,積聚性,平面對一個投影面的投影特性,3.3.2 各種位置平面的投影及特性,,,,平面對于三投影面的位置可分為三類：,投影面垂直面,投影面平行面,垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面,平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面,與三個投影面都傾斜,,投影面傾斜面,,一般位置平面,1. 投影面垂直面,鉛垂面,正垂面,側垂面,鉛垂面,投影特性：1、 abc積聚為一條與X、Y軸傾斜的直線 2 、 abc

32、與OX、 OY的夾角反映?、?角的真實大小 3 、 a?b?c?、 a?b?c?為?ABC的類似形,正垂面,投影特性：1、 a?b?c? 積聚為一條直線 2、 a?b?c?與OX、 OZ的夾角反映α、? 角的真實大小 3、 abc、a?b?c?? ABC的類似形,側垂面,投影特性：1、 a?b?c?積聚為一條直線

33、 2 、 a?b?c?與OZ、 OY的夾角反映α、β角的真實大小 3 、 abc、 a?b?c?為? ABC的類似形,,,,,,,,a,b,c,a?,c?,b?,c?,b?,a?,,,,,,,,,類似性,類似性,積聚性,鉛垂面,投影特性：,1、 在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。,2、另外兩個投影面上

34、的投影有類似性。,為什么？,2. 投影面平行面,水平面,正平面,側平面,正平面,投影特性： 1 、 ? a?b?c?反映? ABC實形 2、abc 、 a?b?c? 具有積聚性 3、abc平行于X軸， a?b?c? 平行于Z軸,,水平面,投影特性： 1 、 ? abc反映? ABC實形 2、 a?b?c?、

35、a?b?c? 具有積聚性 3、 a?b?c? 平行于X軸， a?b?c? 平行于YW軸,,投影特性： 1 、 ? a?b?c? 反映? ABC實形 2 、 abc 、 a?b?c? 具有積聚性 3、 abc 平行于YH軸， a?b?c? 平行于Z軸,側平面,,積聚性,積聚性,實形性,水平面,投影特性：,1、在它所平行的投影面上的

36、投影反映實形。,2、另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。,投影面垂直面和平行面的跡線表示,3. 投影面的傾斜面（一般位置平面）,一般位置平面,投影特性 1 、 abc 、 a?b?c? 、 a?b?c? 均為? ABC的類似形 2 、 不反映?、?、? 的真實角度,,,,1. 平面上的點和直線,3.3.3 平面上的點和直線,1）平面上取直線,,,,,,,

37、,,a,b,c,b?,c?,a?,,,d?,,n?,,m?,例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內任作一條直線。,解法一,解法二,根據(jù)定理二,根據(jù)定理一,有無數(shù)解。,⒉ 平面上取點,定理：點在平面內的任 一直線上，則該 點一定在該平面 內。,,,先在平面內作一條直線作為輔助線，然后再在該直線上取點。,面上取點的方法：,首先面上取線,例1：已知K

38、點在平面ABC上，求K點的水平投影。,,,,利用平面的積聚性求解,通過在面內作輔助線求解,例題2 已知? ABC 給定一平面，試判斷點D是 否屬于該平面。,d?,,,,,d,,,,,,,,a?,b?,c?,a,b,c,,,,,e,e?,結論：D點不在ABC平面內,分析：判斷一點是否在平 面上，首先在平面 上取直線，再看點 是否屬于直線。,,,,,k?,,,,b

39、,,,,例3：已知AC為正平線，補全平行四邊形 ABCD的水平投影。,解法一,解法二,例2、已知平面ABCD內有一△RST，根據(jù) 其V面投影，作出其H面投影。,分析：根據(jù)平面上取點、線的方法，求作平面上的 三角形H 面投影。,3. 平面上的投影面平行線,一般位置平面上存在一般位置直線和投影面平行線，不存在投影面垂直線。,例2：在平面ABC內作一條水平線，使其到H面的距離為10

40、mm。,,n?,m?,n,m,,,,,唯一解！,分析：該直線即符合水平線的投影特性，又要符合平面 上直線的投影特性,特性；水平線的正面投影平行X軸，且反映Z坐標。,例題 已知? ABC 給定一平面，試過點C 作屬于該平面的正平線，過點A 作屬于該平面的水平線。,,,,m?,,,,n?,n,m,例：在平面ABC上取一點K，使點K在點A之下 15mm、在點A之后20mm處。,分析：在平面內A 點之下15mm

41、的點組成一條水平線， 同理在平面內A 點之后 20mm的點組成一條正平 線，兩線之交點即為所 求。,小 結,重點內容,二、如何在平面上確定直線和點。,一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。,要 點,一、各種位置平面的投影特性,⒈ 一般位置平面,⒉ 投影面垂直面,⒊ 投影面平行面,三個投影為邊數(shù)相等的類似多邊形——類似性。,在其垂直的投影面上的投影積聚成直線 ——積聚性。

42、另外兩個投影類似。,在其平行的投影面上的投影反映實形 ——實形性。另外兩個投影積聚為直線。,二、平面上的點與直線,3. 平面上的投影面平行線,即符合直線在平面上的幾何條件,又符合投影面平行線的投影特性。,3.4 直線、平面的相對位置,相對位置有平行、相交和垂直。,3. 4. 1 直線與平面、平面與平面平行,1. 直線與平面平行,,,,,,,,,,,,,,,,●,●,a?,c?,b?,m?,a,b,c,m,例［3-11］：過

43、已知點M 作一直線MN 平行于平 面ABC。,有無數(shù)解,,分析：過M 作一直線平行于平面內一直線即可，在投 影上運用平行兩直線的投影特性作圖。,,,,正平線,例2：過M 點作直線MN 平行于V 面和平面ABC。,,c?,,,,,,,,,,,●,●,b?,a?,m?,a,b,c,m,唯一解,,,,n?,分析：MN 應是正平線，所以只要平行 平面ABC內的一條正平線

44、即可。,d’,d,例［3-12］ 試判斷已知直線AB 是否平行于平面△CDE 。,,結論：直線AB 不平行于平面CDE,分析：在平面內是否可作出一直線平行于直線AB。,2. 平面與平面平行,定理：若一平面內的兩相交直線對應平行于另一平面內的兩相交直線，則這兩平面相互平行。,推論：若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。,,例題1 試判斷兩平面是否平行,,,,,結論：兩平面平行,分析：根據(jù)定理看是

45、否能在一平面內找到相交兩直線對應的 平行于另一平面內的相交兩直線,例題2 已知定平面由平行兩直線AB 和CD 給定。 試過點K 作一平面平行于已知平面 。,,,,,,,,d?,d,c?,a?,a,c,,,b?,b,分析：可先在已知平面上任作兩相交直線，然后過K點作與兩 相交直線對應平行的直線即可,,K‘,,,有唯一解,3. 4. 2 直線與平面、平面與平面相交,直

46、線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。,要討論的問題：,● 求直線與平面的交點，求平面與平面的交線。,● 判別兩者之間的相互遮擋關系，即判別可見性。,平面與平面相交，其交線是兩平面的共有線。,1. 特殊位置直線或平面相交,當直線和平面相交，直線或平面其中之一垂直某一投影面時，它在該投影面中的投影具有積聚性，因此所求交點在該投影面的投影可直接得出，其他投影可方便求出。,,k,m(n),,,b,,,,●,,,,,,,,,,,,m?,

47、n?,c?,b?,a?,a,c,,,例［3-14］ 求鉛垂線MN 與平面△ABC 的交點K 。,空間及投影分析,直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。,① 求交點,② 判別可見性,點Ⅰ位于平面上，在前；點Ⅱ位于MN上，在后。故k? 2?為不可見。,1?(2?),,●,作圖,用面上取點法,用重影點來判別,a,b,c,m,n,c?,n?,b?,a?,m?,,,,例2：求直線MN與平面ABC的交點K并判

48、別可見性。,空間及投影分析:,平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。,① 求交點,② 判別可見性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k?n?為可見。,,還可通過重影點判別可見性。,1?(2?),作 圖,,●,2. 特殊位置平面和一般位置平面相交,兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。,要討論的問題：,① 求兩平面的交線,方法：,確定

49、兩平面的兩個共有點。,② 判別兩平面之間的相互遮擋關系，即： 判別可見性。,可通過正面投影直觀地進行判別。,a,b,c,d,e,f,c?,f?,d?,b?,e?,a?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,m?(n?),,空間及投影分析,平面ABC 與DEF 都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，正面投影可直接求得，水平投影可根據(jù)投影規(guī)律求得。,① 求交線,② 判別可見性,作

50、圖,從正面投影上可看出，在交線左側，平面ABC在上，其水平投影可見。,●,例：求兩平面的交線MN并判別可見性。,⑴,b?,c?,f?,h?,a?,e?,a,b,c,e,f,h,,,,,1(2),空間及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。交線m?n?也一定積聚在平面的有積聚性的投影上，即m’n’在e’f’h’上。,① 求交線,② 判別可見性,點Ⅰ在FH上，點Ⅱ在BC上，點Ⅰ在上，點Ⅱ在下，故fh可見，n2不可見。,作

51、圖,●,例 求傾斜面△ABC 與水 平面EFH 的交線MN 。,3. 一般位置直線和一般位置平面相交,求交點的方法：輔助平面法,輔助平面法的幾何分析：,直線AB 與平面△EFG 相交，交點為K。過直線AB 任作一輔助平面P，（為作圖方便一般作投影面的垂直面），輔助平面P 與平面△EFG 相交于MN， MN 必定與直線AB 相交，交點即為直線AB 與平面△EFG 的交點K 。,1）過已知直線作輔助平面；,2）作出輔助平面與已知平面

52、的交線；,3）求出該交線與已知直線的交點， 即為已知直線與已知平面的交點；,4）判斷投影圖中的可見性。,作圖,分析：直線和平面都是一般位置，用輔助平面法求交點。先 包含AB 直線作輔助平面P，然后求出P 與△EFG 的 交線MN ，再求出MN 與AB的交點即為K。,,,,例4 求直線AB與平面△EFG的交點K。,,4. 兩一般位置平面相交,方法：用輔助平面法求得兩平面的

53、任意兩個共有點，即可確 定交線的位置。,兩平面相交會出現(xiàn)兩種情況：①一個平面全部穿過另一個平面，稱為全交；②兩個平面的一條邊互相穿過，成為互交。這兩種相交的情況的實質是相同的，只是相交部分的范圍不同，因此求解方法是相同的。求解兩任意平面的交線通常采用輔助平面法。,分析：選取平面△DEF的兩條邊DE和EF ，分別求出它們與 平面△ABC的交點，兩交點連接后即為所求交線。,作圖：1）過直線

54、DE作輔助正垂面P， 求出DE與平面△ABC的交 點M（m、m’）。,2）過直線EF作輔助正垂面Q， 求出EF與平面△ABC的交 點N（n、n’）。,3）連接m’ n’、 m n，即為兩 平面的交線MN的投影。,4）利用重影性判別V、H 面投 影中的可見性,例5 求平面△ABC 與平面△DEF 的交線。,,,,,,,,,3.4.3 直線與平面、平面與平面垂直,若

55、一直線垂直于平面內兩條相交直線，則此直線垂直于這個平面；反之，若直線垂直平面，則該直線垂直于平面內的所有直線。,投影特性：若一直線垂直于平面，則直線的水平投影必垂直于該平面內 水平線的水平投影；該直線的正面投影必垂直于該平面內正 平線的正面投影。反之，若一直線的水平投影和正面投影分 別垂直于平面內水平線的水平投影和正平線的正面投影，則

56、 該直線一定垂直于該平面。,1. 直線與平面垂直,分析：點到平面的距離即由點向平面作垂線，垂線的實長即是。,作圖：,1）在平面△EFG內作正平 線GⅡ，水平線EⅠ；,2）由點D作平面△EFG的 垂線，即自d引直線垂 直于e1，自d’引直線垂 直于g’2’；,3）用求直線與平面交點的 方法求出垂足K（k、k’）；,4）用直角三角形法求出 DK的實長即是點D到

57、 平面的距離。,例3-19 求點D到平面△EFG的距離。,,,,,2. 兩平面垂直,,若一直線垂直于一平面，則包含這條直線的一切平面都垂直于該平面。反之，若兩平面互相垂直，必定能在一個平面內作出與另一個平面垂直的直線。,,分析：過E 點作一直線垂直于平 面ABCD，則包含該直線的 平面都垂直于平面ABCD。,作圖：,1）過E點作一直線EF垂直于 平面ABCD，EF必定為 正平

58、線，即e’f’⊥a’b’c’d’， ef∥OX軸；,2）過E點任作一直線EG。由 EF、EG兩相交直線所決 定的平面一定垂直于平面 ABCD。,,例2、已知正垂面ABCD 及E 點，過E點作 一平面垂直于平面ABCD。,例（習題P18）,已知△ABC與△DEF互相垂直，作出△DEF的正面投影。,分析：兩平面垂直，從一個 平面上一點向第二個

59、 平面作垂線，此線包 含在第一平面內。,作圖：1）先在平面ABC內作 水平線及正平線；,2）通過F點作ABC的 垂線；,3）找到垂線上的交點 Ⅰ，求出正面投影。,小 結,重點掌握,1）若直線平行于平面內的任一直線，則直線與平 面平行。,2、相交問題,,1、平行問題,2）兩平面內的兩組相交直線對應平行，則兩平

60、面 平行。,1）直線與平面相交，交點是共有點。,2）平面與平面相交，交線是共有線。,3、垂直問題,1）若直線垂直于平面內任意兩條相交直線，則直 線垂直于平面,2）若一直線垂直于一平面，則包含這條直線的一 切平面都垂直于該平面。,平行,1、作直線與平面平行，只要使直線平行平面內的 一條直線，在投影上運用兩平行直線的投影特 性作圖即可。,2、作平面與平面平行，只要使一平

61、面內兩相交直 線對應地平行另一平面內兩相交直線，在投影 上運用兩平行直線的投影特性作圖即可。,相交,⒈ 求直線與平面的交點的方法,⑴ 一般位置直線與特殊位置平面求交點，利用交點的共有性和平面的積聚性直接求解。,⑵ 投影面垂直線與一般位置平面求交點，利用交點的共有性和直線的積聚性，采取平面上取點的方法求解。,⒉ 求兩平面的交線的方法,⑴ 兩特殊位置平面相交，分析交線的空間位置，有時可找出兩平面的一個共有點，根

62、據(jù)交線的投影特性畫出交線的投影。,⑵ 一般位置平面與特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的積聚性找出兩平面的兩個共 有點，求出交線。,⑶ 一般位置直線與一般位置平面求交點用輔助平面法求解,⑶ 兩個一般位置平面相交，用輔助平面法分別求得一個平 面的兩條邊與另一個平面的兩個交點，連接起來即得交線,垂直,一、直線與平面垂直，則直線的H面投影必垂直于該平面內 水平線的H 面投影；該直線的V面投影必垂直于該平面 內的正平