正交試驗設計原理與實例

1、正交試驗設計,在試驗研究中，對于單因素或兩因素試驗，因其因素少 ，試驗的設計 、實施與分析都比較簡單 。但在實際工作中 ，常常需要同時考察 3個或3個以上的試驗因素 ，若進行全面試驗 ，則試驗的規(guī)模將很大 ，往往因試驗條件的限制而難于實施 。正 交設計就是安排多因素試驗 、尋求最優(yōu)水平組合 的一種高效率試驗設計方法。,1　正交試驗設計的意義 正交試驗屬于試驗設計方法的一種。簡單地講，試驗設計是研究如何科學安排試驗，以較少的人力

2、物力消耗而取得較多較全面的信息。 試驗安排得好，事半功倍；反之則事倍功半，甚至達不到預期目的。因此，如何進行試驗設計是一個至關重要的問題。,正交試驗設計是試驗優(yōu)化的常用技術。所謂試驗優(yōu)化，是指在最優(yōu)化思想的指導下，進行最優(yōu)設計的一種優(yōu)化方法。它從不同的優(yōu)良性出發(fā)，合理設計試驗方案，有效控制試驗干擾，科學處理試驗數(shù)據(jù)，全面進行優(yōu)化分析，直接實現(xiàn)優(yōu)化目標，已成為現(xiàn)代優(yōu)化技術的一個重要方面。,正交設計的基本特點是：用部分試驗來代替全面

3、試驗，通過對部分試驗結(jié)果的分析，了解全面試驗的情況。,１.１試驗為什么要設計　　　　全面試驗包含的水平組合數(shù)較多，工作量大 ，由于受試驗場地、試驗材料、經(jīng)費等限制而難于實施 。例如，有6個因素： 每因素取 5個水平，全面試驗就需要56=15625個組合。 若試驗的主要目的是 尋 求 最 優(yōu)水平組合 ，則 可利用正交 設計來安排試驗。,１.２ 正交拉丁方 在試驗安排中 ，每個因素在研究的范圍內(nèi)選幾個水

4、平，就好比在選優(yōu)區(qū)內(nèi)打上網(wǎng)格 ，如果網(wǎng)上的每個點都做試驗，就是全面試驗。3個因素的選優(yōu)區(qū)可以用一個立方體表示(圖11-2)，3個因素各取 3個水平，把立方體劃分成27個格點，反映在 圖11上就是立方體內(nèi)的27個“.”。若27個網(wǎng)格點都試驗，就是全面試驗，其試驗方案如表11所示。,3 因 素 3 水 平 的 全 面試驗水平組合數(shù)為33=27，4 因素3水平的全面試驗水平組合數(shù)為34=81 ，5因素3水平的全面試驗水平組合數(shù)為35=243，

5、這在試驗中是不可能做到的。,正交設計就是從選優(yōu)區(qū)全面試驗點（水平組合）中挑選出有代表性的部分試驗點（水平組合）來進行試驗。圖11-A中標有試驗號的九個“(·)”，就是利用正交表L9(34)從27個試驗點中挑選出來的9個試驗點。即：,關于正交的直觀印象,數(shù)據(jù)點分布是均勻的每一個面都有3個點每一條線都有1個點,1.3　正交試驗設計 正交試驗設計也稱正交設計(orthogonal design)，是用來科學地設計多因素試

6、驗的一種方法。它利用一套規(guī)格化的正交表(orthogonal table)安排試驗，得到的試驗結(jié)果再用數(shù)理統(tǒng)計方法進行處理，使之得出科學結(jié)論。正交表是試驗設計的基本工具，它是根據(jù)均衡分布的思想，運用組合數(shù)學理論構造的一種數(shù)學表格，均衡分布性是正交表的核心。,19世紀20年代，英國統(tǒng)計學家R. A. Fisher首先后馬鈴薯肥料試驗當中，運用排列均衡的拉丁方，解決了試驗時的不均勻試驗條件，獲得成功，并創(chuàng)立了“試驗設計”這一新興學科?！熬?/p>

7、分布”思想在20世紀50年代應用于工業(yè)領域， 60年代應用于農(nóng)業(yè)領域，使正交試驗在科研生產(chǎn)實際中得到推廣。,2、正交表２.１ 正交表 －正交拉丁方的自然推廣 由于正交設計安排試驗和分析試驗結(jié)果都要 用 正交表，因此，我們先對正交表作一介紹。 安排的4因素3水平的試驗，編上試驗號，列成另外一種形式，見正交表L9(34)（表11-6） 。可以由此得到系列正交表(orthogonal table)。,,,常用的正交表已

8、由數(shù)學工作者制定出來，供進行正交設計時選用。2水平正交表除L8(27)外，還有L4(23)、L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(213)……等（詳見附表17及有關參考書）。 表11-6是一張正交表，記號為L9(34)，其中“L”代表正交表；L右下角的數(shù)字“9”表示有9行 ，用這張正交表安排試驗包含3個處理(水平組合) ；括號內(nèi)的底數(shù)“3” 表示因素的水平數(shù)，括號內(nèi)3的指數(shù)“4”表示有4列 ，也指安排的因

9、素數(shù)，用這張正交表最多可以安排4個3水平因素。,2.2 正交表的表示符號 ①正交表記號所表示的含義歸納如下： Ln (tq）式中：L為正交表符號，是Latin的第一個字母；n為試驗次數(shù)，即正交表行數(shù)；t為因素的水平數(shù)，即1列中出現(xiàn)不同數(shù)字的個數(shù);q為最多能安排的因素數(shù)，即正交表的列數(shù)。,正交表表示方法,L9（34）,,,正交表列數(shù),,,一列中出現(xiàn)的數(shù)字個數(shù),,,正交表行數(shù),,,正交表的代號,②正交表中1列可以安

10、排1個因素，因此它可安排的因素數(shù)可以小于或等于q，但不能大于q。 ③括號內(nèi)的tq表示q個因素、每個因素t個水平全面試驗的水平組合數(shù)（即處理數(shù)）。因為安排因素個數(shù)不能大于q，所以n /tq為最小部分實施。 顯然，L4(23)是最簡單的正交表，有4列3行用它最多能安排3個2水平因素的試驗。部分試驗為4次，全面試驗為8次，最小部分實施為1/2，即用它安排試驗可比全面試驗少做1/2。所以，當試驗因素數(shù)q及每個因素的水平

11、數(shù)t增加時n /tq則下降，節(jié)省試驗次數(shù)的效果更明顯。,④一般非等水平正交表表示為Ln (t1q1 X t2 q2）（q1不等于q2）Ln (tlq1 X t2q2 X t3q3）（q1q2q３），它們各代表一個具體的數(shù)字表格。又稱混合型正交表。 當用非等水平正交表示為Ln (t1q1 X t2 q2 )安排試驗時。則因素數(shù)應不大于q1 +q2 ,且t1水平的因素數(shù)不大于q1 ，t2水平的因素數(shù)不大于q2，最小部分實施為n/(t

12、1q1+t2 q2）。,2.3 常用正交表的分類及特點 1、標準表（相同水平正交表） 2水平:L4(23）,L8 (27）,L16 (215），… 3水平:L9 (34），L27（313），L81(340），… 4水平：L16 (45）,L64 (4 21）,L256 (485），… 5水平：L25（56）,L125(5 31）,L625 (5156），…　 各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字相同的正交表

13、稱為相同水平正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大數(shù)字為2，稱為兩水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列中最大數(shù)字為3，稱為3水平正交表。凡是標準表，水平數(shù)都相等。且水平數(shù)只能取素數(shù)或素數(shù)冪。因此有7水平，9水平的標準表，沒有6水平，8水平的標準表。,2.3 常用正交表的分類及特點 2、非標準表（混合水平正交表） 各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字不完全相同的正交表稱為混合水平正交表。如L

14、8(4×24)表中有一列最大數(shù)字為4，有4列最大數(shù)字為2。也就是說該表可以安排一個4水平因素和4個2水平因素。再如L16(44×23)，L16(4×212)等都混合水平正交表。,2.4正交表的基本性質(zhì) 任何一張正交表都有如下三個特性：（１）正交性　1、任一列中，不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等 例如L8(27)中不同數(shù)字只有1和2，它們各出現(xiàn)4次；L9(34)中不同數(shù)字有1、

15、2和3，它們各出現(xiàn)3次 。,2、任兩列中，同一橫行所組成的數(shù)字對出現(xiàn)的次數(shù)相等 例如 L8(27)中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出現(xiàn)兩次；L9(34) 中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出現(xiàn)1次。即每個因素的一個水平與另一因素的各個水平互碰次數(shù)相等，表明任意兩列各個數(shù)

16、字之間的搭配是均勻的。,由正交表的正交性可以看出：①正交表各列的地位是平等的，表中各列之間可以互相置換，稱為列間置換；②正交表各行之間也可相互置換，稱行間置換；③正交表中同一列的水平數(shù)字也可以相互置換，稱水平置換。 上述3種置換即正交表的3種初等置換。經(jīng)過初等置換所能得到的一切正交表，稱為原正交表的同構表或等價表，顯然，實際應用時，可以根據(jù)不同需要進行變換。,(2)代表性。代表性的含義之一，在于正交表的正交性中：

17、 ①任一列的各水平都出現(xiàn)，使得部分試驗中包含所有因素的所有水平。 ②任意2列間的所有組合全部出現(xiàn)，使任意兩因素間都是全面試驗。因此，在部分試驗中，所有因素的所有水平信息及兩兩因素間的所有組合信息都無一遺漏。這樣，雖然安排的是部分試驗，卻能夠了解全面試驗的情況，從這個意義上講可以代表全面試驗。,因為正交性，使部分試驗點必然均衡地分布后全面試驗的試驗點中。所謂均衡分散，是指用正交表挑選出來的各因素水平組合在全部水平組合中的分布是均

18、勻的 。 由 圖11-2可以看出，在立方體中 ，任一平面內(nèi)都包含 3 個“(·)”， 任一直線上都包含1個“(·)” ，因此 ，這些點代表性強 ，能夠較好地反映全面試驗的情況。,（3）綜合可比性。反映在正交性當中： ①任一列各水平出現(xiàn)的次數(shù)都相等。 ②任2列間所有可能的組合出現(xiàn)的次數(shù)都相等。因此使任一因素各水平的試驗條件相同。這就保證了在每列因素各個水平的效果中，最大限度地排除其他因素的干擾，突出本列因素的作

19、用，從而可以綜合比較該因素不同水平對試驗指標的影響。這種性質(zhì)稱為綜合可比性或整齊可比性。如在A、B、C 3個因素中，A因素的3個水平 A1、A2、A3 條件下各有 B 、C 的 3 個不同水平，即：,在這9個水平組合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3個水平，雖然搭配方式不同，但B、C皆處于同等地位，當比較A因素不同水平時，B因素不同水平的效應相互抵消，C因素不同水平的效應也相互抵消。所以A因素3個水平間具有可比性。同樣，B、C因

20、素3個水平間亦具有可比性。,根據(jù)以上兩個特性，我們用正交表安排的試驗，具有均衡分散和整齊可比的特點。 正交表的3個基本性質(zhì)中，正交性即均衡性是核心，是基礎，代表性和綜合可比性是正交性的必然結(jié)果，從而使正交表得以具體應用。 正交表集其3個性質(zhì)于一體，成為正交試驗設計的有效工具，用它來安排試驗，也必然具有“均衡分散，整齊可比”的特性，代表性強，效率也高。因而，實際應用越來越廣。,交互作用的處理。在試驗設計中，交互作一律當做

21、因素看待，這是處理交互作用的一條總原則。,,,,,3 正交試驗設計的基本步驟,正交試驗設計（簡稱正交設計）的基本程序是設計試驗方案和處理試驗結(jié)果兩大部分。主要步驟可歸納如下： 第一步，明確試驗目的，確定考核指標。 第二步，挑因素，選水平。 第三步，選擇合適的正交表。 第四步，進行表頭設計。 第五步，確定試驗方案。 第六步，試驗結(jié)果分析。,3.1明確試驗目的，確定考核指標,試驗目的，就是通過

22、正交試驗要想解決什么問題。 考核指標，就是用來衡量或考核試驗效果的質(zhì)量指標。試驗指標一經(jīng)確定，就應當把衡量和評定指標的原則、標準，測定試驗指標的方法及所用的儀器等確定下來。這本身就是一項細致而復雜的研究工作。,3.2 挑因素，選水平,影響指標者稱為因素。因素在試驗中變化的各種狀態(tài)，稱為水平。因素的變化引起指標的變化，正交試驗法適用于試驗中能人為加以控制和調(diào)節(jié)的因素—可控因素。選好的因素、水平通?？闪谐梢蛩厮奖怼?3.3

23、 選擇合適的正交表,總原則：能容納所有考察因素，又使試驗號最小。一般有這樣幾條規(guī)則： (1)先看水平數(shù)。根據(jù)水平數(shù)選用相應的水平的正交表。 (2)其次看試驗要求。如只考察主效應，則可選擇較小的表，只要所有因素均能順序上列即可。如果還需考察交互效應，那么就要選用較大的表，而且各因素的排列不能任意上列，要按照各種能考察交互作用的表頭設計來安排因素。,3.3 選擇合適的正交表,(3)再看允許做試驗的正交表的次數(shù)和有無重點因素

24、要考察。如果只允許做9次試驗，而考察因素只有3-4個，則用3水平的L9 (34）表來安排試驗。若有重點因素要詳細考察則可選用水平數(shù)不等的正交表如L8(4X24）等，將重點因素多取幾個水平加以詳細考察。 ①要求精度高，可選較大的n值的L表。 ②切不可遺漏重要因素，所以可傾向于多考察些因素。 ③可以先用水平數(shù)少的正交表作試驗，找出重要因素后，對少數(shù)重要因素再作有交互作用的細致考察。,3.4 進行表頭設計,所謂表頭

25、設計，就是將試驗因素安排到所選正交表的各列中去的過程。 (1)只考察主效應，不考察交互效應，正交表中每一列的位置是一樣的，可以任意變換。因此，不考察交互效應的表頭設計非常簡單，將所有因素任意上列即可。 (2)考察交互作用的表頭設計，各因素及各交互作用不能任意安排，必須嚴格按交互作用列表進行配列。這是有交互作用正交設計的重要特點，也是試驗方案設計的關鍵一步。,3.4 進行表頭設計,避免混雜，是表頭設計的一個重要原則，也是

26、表頭設計選優(yōu)的一個重要條件。所謂混雜，是指在正交表的同一列中，安排了2個或2個以上的因素或交互作用。這樣，就無法確定同一列中的這些不同因素或交互作用對試驗指標的作用效果。為避免混雜，使表頭設計合理、更優(yōu)，那些主要因素，重點考察的因素，涉及交互作用較多的因素，就應該優(yōu)先安排；而另一些次要因素，涉及交互作用較少的因素和不涉及交互作用的因素，可放在后面安排。表11-10是L8(4X24)的表頭設計。,3.5 排出試驗方案 【例1】

27、 鴨肉保鮮天然復合劑的篩選。雖然有機酸和鹽處理對鴨肉保鮮有明顯效果，但是大部分有機酸和鹽屬于合成的化學藥劑，在衛(wèi)生安全上得不到保證，并且不符合消費者純天然，無污染的要求，試驗以茶多酚作為天然復合保鮮劑的主要成分，分別添加不同的增效劑、被膜劑和不同的浸泡時間，進行了4因素和4水平的正交試驗，試安排一個正交試驗方案。 正交設計一般有以下幾個步驟：（1）明確目的，確定指標：本例是一個食品加工工藝的研究試驗，目的是通過試驗

28、，尋求一個最佳的鴨肉天然復合保鮮劑。,（2）挑因素、選水平 影響試驗結(jié)果的因素很多，我們不可能把所有影響因素通過一次試驗都予以研究，只能根據(jù)以往的經(jīng)驗，挑選和確定若干對試驗指標影響最大、有較大經(jīng)濟意義而又了解不夠清楚的因素來研究。同時還應根據(jù)實際經(jīng)驗和專業(yè)知識，定出各因素適宜的水平，列出因素水平表。【例1】的因素水平表如表11-11所示，選定了4個因素，每個因素4個水平的正交試驗。,(3) 選用合適的正交表

29、 確定了因素及其水平后，根據(jù)因素、水平及需要考察的交互作用的多少來選擇合適的正交表。選用正交表的原則是：既要能安排下試驗的全部因素，又要使部分水平組合數(shù)（處理數(shù)）盡可能地少。一般情況下，試驗因素的水平數(shù)應恰好等于正交表記號中括號內(nèi)的底數(shù)；因素的個數(shù)（包括交互作用）應不大于正交表記號中括號內(nèi)的指數(shù)；各因素及交互作用的自由度之和要小于所選正交表的總自由度，以便估計試驗誤差。若各因素及交互作用的自由度之和等于所選正交表總自由度，則

30、可采用有重復正交試驗來估計試驗誤差。本例選L16（45）最合適，有1空列，可以作為試驗誤差以衡量試驗的可靠性。,(4) 表頭設計 所謂表頭設計，就是把挑選出的因素和要考察的交互作用分別排入正交表的表頭適當?shù)牧猩稀?在不考察交互作用時，各因素可隨機安排在各列上；若考察交互作用，就應按該正交表的交互作用列表安排 各 因 素與交互作用。 此例不考察交互作用，可將 (A)、 (B)和 (C)依次安排在L1

31、6(45)的第1、2、3列上，第 4 列 為空列，見表11-12。,(5) 排出試驗方案 把正交表中安排各因素的每個列(不包含欲考察的交互作用列)中的每個數(shù)字依次換成該因素的實際水平，就得到一個正交試驗方案。表11-12就是[例11-2] 的正交試驗方案。 從而得出試驗的16個處理，即：123 3，241 2，343 4，421 1，131 4，213 1，311 3，433 2，114 2，232 3，334

32、 1，412 4，142 1，224 4，322 2，444 3。,,【例2】要生產(chǎn)某種食品添加劑，根據(jù)試驗發(fā)現(xiàn)影響添加劑收率的因素有4個，每個因素設置2種水平（表11-13）。 本例有4個因素，如果安排后L8 (27）表中，從表11-8 L8(27)表頭設計可以查出,4個因素應安排在1,2,4,7列為好，這樣考察4個因素各自的效應都不會與交互作用混雜。另外根據(jù)專業(yè)知識可知，D因素與A，B，C3因素之間沒有或者少

33、有交互作用。故將D因素安排后第七列，則3，5，6列就僅為AXB，AXC和BXC單獨的交互作用。,,本例有4個因素，如果安排后L8 (27）表中，從表11-8 L8(27)表頭設計可以查出,4個因素應安排在1,2,4,7列為好，這樣考察4個因素各自的效應都不會與交互作用混雜。另外根據(jù)專業(yè)知識可知，D因素與A，B，C3因素之間沒有或者少有交互作用。故將D因素安排后第七列，則3，5，6列就僅為AXB，AXC和BXC單獨的交互作用。,4正交試驗

34、的結(jié)果分析4.1直觀分析法（極差分析法）,凡采用正交表設計的試驗，都可用正交表分析試驗的結(jié)果，正交試驗的結(jié)果分析，有直觀分析和方差分析2種方法，現(xiàn)分別予以介紹。 4.1.1不考慮交互作用的分析法 現(xiàn)對【例1】進行分析，該試驗的結(jié)果見表11-14。,分析方法：首先從16個處理中直觀地找出最優(yōu)處理組合為9號處理，即A1B1C4D2，指標為38.79；其次為13號處理A1B4C2D1，指標為38.02，但是究竟哪一個是最好的指標呢

35、？現(xiàn)后通過直觀分析進行驗證：,4、正交試驗結(jié)果的結(jié)果分析 若各號試驗處理都只有一個觀測值，則稱之為單獨觀測值正交試驗；若各號試驗處理都有兩個或兩個以上觀測值，則稱之為有重復觀測值正交試驗。 下面分別介紹單獨觀測值和有重復觀測正交試驗結(jié)果的方差分析。,4.1.2 考察交互作用的試驗結(jié)果分析,考察交互作用的試驗結(jié)果的分析方法與前面并無本質(zhì)不同，只是：①應把每個互作當成一個因素看待進行分析；②應根據(jù)互作的效應，選

36、擇出最優(yōu)試驗組合。見表11-15。,,,,4.2.1 無重復試驗的方差分析 這種分析方法要求用正交表設計試驗時，必須留有不排入因素或互作的空例，以作為誤差的估計值。 【例3】某食品廠或產(chǎn)口香糖，檢驗口香糖的質(zhì)量好壞需要分析：①拉伸率（越大越好）；②變形（越小越好）；③耐彎曲次數(shù)（越多越好）這3種指標，要求對3種指標都取得較好水平，現(xiàn)要進行口香糖配方的試驗分析，因素水平表見表11-17，結(jié)果分析見表11-18。,,①資

37、料整理：本試驗3個指標同等重要，我們只以拉伸率1項為例作方差分析，其余2項及綜合考察留給大家作練習之用。 表11-18中一共有A，B，C，D4項因素，每一因素為4水平，每一水平的重復次數(shù)為4次，總次數(shù)為16次(n)。 ②自由度與平方和分解： 該次試驗的16個觀測值總變異由A因素、B因素、C因素、D因素及誤差變異五部分組成，因而進行方差分析時平方和與自由度的劃分式為： SST = SS

38、A+SSB+SSC + SSD +SSe dfT = dfA + dfB + dfC + dfD + dfe,表11-18中，Ki為各因素同一水平試驗指標（拉伸率%）之和。 如 A因素第1水平 K1=y1+y2+y3 +y4 =545+490+515+505=2055 A因素第2水平 K2=y5+y6 + y7 +y8 =492+485+499+480=1956，

39、 A因素第3水平 K3=y9+y10+y11+y12 =566+539+511+515=2131， A因素第4水平 K4=y13+y14+y15+y16 =535+488+495+475=1993,B因素第1水平 K1=y1+y5+y9 +y13 =545+492+566+535=2138，B因素第3水平K3=y3+y7+y11 +y15 =515+499+511+495=2020同理可求得C因素和D

40、因素各水平試驗指標之和。,為各因素同一水平試驗指標的平均數(shù)。 如A因素第1水平 =2055/4=513.75， A因素第2水平 =1956/4=489.0， A因素第3水平 =2131/4=532.75， A因素第4水平

41、 =1993/4=489.25，同理可求得B、C因素各水平試驗指標的平均數(shù)。,1、計算各項平方和與自由度 矯正數(shù) C = T2/n = 81352/15 = 4136139.063 總平方和 SST =Σy2-C =5452+4902+…+4752 - 4136139.063

42、 =10167.9375,A因素平方和 SSA=Σ /a-C =(20552+19562+21312+19932)/4 –4136139.063=4403.6875,B因素平方和 SSB = Σ /b-C =(2138

43、2+20022+20202+19752)/4,-4136139.063 =3897.1875,C因素平方和 SSC=ΣT2C/c-C =(20162+19922+20212 +20782)/4 –4136139.063 =1062.1875 D因素平方和 SSD=ΣT2D/d-C =(20472+20162+20212 +20

44、512)/4 – 4136139.063 =237.6875,誤差平方和 SSe=SST-SSA-SSB-SSC-SSD =10167.9375-4403.6875-3879.1875 – 1062.1875-237.6875 =585.1875,總自由度 dfT =n-1=16-1=15 A因素自由度 dfA =ka-

45、1=4-1=3 B因素自由度 dfB =kb-1=4-1=3 C因素自由度 dfC =kc-1=4-1=3D因素自由度 dfd =kd-1=4-1=3 誤差自由度 dfe = dfT-dfA-dfB-dfC -dfd = 15-3-3-3 -3= 3,2、列出方差分析表，進行F檢驗,F 檢驗結(jié)果表明，四個

46、因素對拉伸率的影響都不顯著。究其原因可能是本例試驗誤差大且誤差自由度小(僅為3)，使檢驗的靈敏度低，從而掩蓋了考察因素的顯著性。由于各因素對增重影響都不顯著，不必再進行各因素水平間的多重比較。此時，可直觀地從表11-18中選擇平均數(shù)大的水平A3、B1、C3、 D4組合成最優(yōu)水平組合A3B1C3 D4 。,上述無重復正交試驗結(jié)果的方差分析，其誤差是由“空列”來估計的。然而“空列”并不空，實際上是被未考察的交互作用所占據(jù)。這種誤差既包含試驗

47、誤差，也包含交互作用，稱為模型誤差。若交互作用不存在，用模型誤差估計試驗誤差是可行的；若因素間存在交互作用，則模型誤差會夸大試驗誤差，有可能掩蓋考察因素的顯著性。這時，試驗誤差應通過重復試驗值來估計。所以，進行正交試驗最好能有二次以上的重復。正交試驗的重復，可采用完全隨機或隨機單位組設計。,④多重比較。從本試驗的方差分析，相對來說A因素和B因素為重要因素，C因素和D因素為次要因素。對A，B兩因素進行多重比較表11-20至表11-22，用

48、LSR法。,當dfe=3時，多重比較的結(jié)果以A3和B1為最好，另外A3和B1也可考慮，作為分析其他指標后綜合平衡選擇之用。從拉伸率這一指標來講，最優(yōu)組合為：A：膠基添加量21％；B：葡萄糖漿添加量17％；C，D因素不論。,4.2.2 有重復觀測值正交試驗結(jié)果的方差分析 有重復試驗的方差分析與無重復試驗的方差分析，除誤差平方和、自由度的計算有所不同外，其余各項計算基本相同。【例4】有一水稻3因素試驗，A因素為品種(4水平）；B因

49、素為栽插密度(2水平);C因素為施肥量(2水平)；選用L8 (4 X24)，其表頭設計和產(chǎn)量結(jié)果（小區(qū)面積30 m2）。見表11-23。 用n表示試驗(處理)號數(shù)，r表示試驗處理的重復數(shù)。a、b、c、ka、kb、kc的意義同上。,對于有重復、且重復采用隨機單位組設計的正交試驗，總變異可以劃分為處理間、單位組間和誤差變異三部分，而處理間變異可進一步劃分為A因素、B因素、C因素與模型誤差變異四部分。此時，平方和與自由度劃分式為：

50、 SST=SSt+SSr+SSe2 dfT = dft + dfr + dfe2 而 SSt=SSA+SSB+SSC+SSe1 dft = dfA + dfB + dfC + dfe1 于是 SST=SSA+SSB+SSC+SSr+SSe1+SSe2

51、 dfT = dfA + dfB + dfC + dfr + dfe1 + dfe2,式中：SSr為單位組間平方和；SSe1為模型誤差平方和；SSe2為試驗誤差平方和；SSt為處理間平方和；dfr、dfe1、dfe2 、dft為相應自由度。 注意，對于重復采用完全隨機設計的正交試驗，在平方和與自由度劃分式中無SSr、dfr項。 1、計算各項平方和與自由度 矯正數(shù) C =

52、T2/ r n = 4962/3×8 =10250.67,總平方和 SST=Σx2-C =172+162+…+262 - 10250.67 =451.33 單位組間平方和 SSr=ΣT2r /n-C =(1692+1652 +1622)/8 - 10250.67 =3.08,處理

53、間平方和 SSt = ΣT2t / r - C = (522+592+…+822)/3 - 10250.67 = 406.67 A因素平方和 SSA = ΣT2A / ar - C = (1112+1382+932 +1542)/2×3 -10250.67

54、 = 371.0,B因素平方和 SSB =ΣT2B / br - C =(2452+2512)/4×3 -10250.67 =1.50C因素平方和 SSC = ΣT2C / cr - C = (2342+2622)/4×3 -10250.67 = 32.66,模型誤差平方和

55、 SSe1 = SSt – SSA – SSB - SSC =406.67-371.00-0 –32.67 =3.00試驗誤差平方和 SSe2 =SST – SSr - SSt =451.33-3.08 – 405.16 =41.58,總自由度 dfT=rn-1=3×8-1=23

56、 單位組自由度 dfr=r-1=3-1=2 處理自由度 dft=n-1=8-1=7 A因素自由度 dfA=ka-1=4-1=3 B因素自由度 dfB=kb-1=2-1=1 C因素自由度 dfC=kc-1=2-1=1,模型誤差自由度 dfe1= dft-dfA-dfB-dfC

57、 = 7-3-1-1= 2 試驗誤差自由度 dfe2=dfT-dft - dfr =23-7-2 = 14,2、列出方差分析表，進行F檢驗,首先檢驗MSe1與MSe2差異的顯著性，若經(jīng)F檢驗不顯著，則可將其平方和與自由度分別合并，計算出合并的誤差均方，進行F檢驗與多重比較，以提高分析的精度；若F檢驗顯著，說明存在交互作用，二者不能合并，此時只能以MSe2進行F檢驗與多重比較。本例MSe1/ MSe2<1，MSe1

58、與MSe2差異不顯著，故將誤差平方和與自由度分別合并計算出合并的誤差均方MSe，即 MSe = ( SSe1+ SSe2)/(dfe1+ dfe2) = (3.00+41.58)/(2+14) = 2.78625 并用合并的誤差均方MSe進行F檢驗與多重比較。,F檢驗結(jié)果表明，A、C因素對水稻產(chǎn)量有顯著影響，B因素作

59、用不顯著。4、 A因素各水平平均數(shù)的多重比較 表11-25 A因素各水平平均數(shù)多重比較表 (SSR法) 單位：%,在實際研究中，有時試驗因素之間存在交互作用。對于既考察因素主效應又考察因素間交互作用的正交設計，除表頭設計和結(jié)果分析與前面介紹略有不同外，其它基本相同。 【例5】 某一種抗菌素的發(fā)酵培養(yǎng)基由A、B、C 3種成分組成，各有兩個水平，

60、除考察A、B、C三個因素的主效因外，還考察A與B、B與C的交互作用。試安排一個正交試驗方案并進行結(jié)果分析。,(一) 選用正交表，作表頭設計 由于本試驗有3個兩水平的因素和兩個交互作用需要考察，各項自由度之和為：3×(2-1)+2×(2-1)×(2-1)=5，因此可選用L8(27)來安排試驗方案。 正交表L8(27)中有基本列和交互列之分，基本列就是各因素所占的列，交互列則為兩因素交互作用所占

61、的列?？衫肔8(27)二列間交互作用列表(見表12-30)來安排各因素和交互作用。,如果將A因素放在第1列 ，B 因素 放在第 2列，查表可知，第1列與第2列的交互作用列是第3列 ，于是將 A與B 的交互作用 A×B放在第3列。這樣第3列不能再安排其它因素 ，以免出現(xiàn)“混雜”。然后將C放在第4列， 查表 可知，B×C應放在第6列，余下列為空列 ，如此可得表頭設計，見表12-31。,(二) 列出試驗方案

62、 根據(jù)表頭設計，將A、B、C各列對應的數(shù)字“1”、“2”換成各因素的具體水平，得出試驗方案列于表12-32。,(三) 結(jié)果分析 按表12-33所列的試驗方案進行試驗，其結(jié)果見表12-34。 表中Ti、 計算方法同前。此例為單獨觀測值正交試驗，總變異劃分為A因素、B因素、C因素、A×B、B×C、與誤差變異5部分，平方和與自由度劃分式為： SST=SSA+SSB+SSC+SSA

63、15;B+SSB×C+SSe dfT = dfA + dfB + dfC +dfA×B + dfB×C + dfe,,1、計算各項平方和與自由度 矯正數(shù) C=T2/n=6652/8=55278.1250,總平方和 SST=Σx2-C =552+382+…+612 -55278.1250=6742.8750A因素平方和

64、 SSA=ΣT2A/a-C=(2792+3862)/4 -55278.1250=1431.1250,B因素平方和 SSB=ΣT2B/b-C =(3392+3262)/4-55278.1250 =21.1250 C因素平方和 SSC=ΣT2C/c-C =(3532+3

65、122)/4-55278.1250 =210.1250 A×B平方和 SSA×B=ΣT2A×B/4-C =(2332+4322)/4 -55278.1250 =4950.1250,B×C平方和 SSB×C =ΣT2B×C

66、 /4 - C = (3272+3382)/4 - 55278.1250 = 15.1250 誤差平方和 SSe = SST-SSA-SSB-SSA×B-SSB×C = 6742.8750-1431.1250-21.1250 -210.1250-

67、4950.1250-15.1250 =115.2500,總自由度 dfT=n-1=8-1=7各因素自由度 dfA=dfB=dfC=2-1=1交互作用自由度 dfA×B=dfB×C =(2-1) ×(2-1)=1誤差自由度

68、 dfe=dfT-dfA-dfC-dfA×B -dfB×C =7-1-1-1-1-1 =2,*試驗結(jié)果以對照為100計。,2、列出方差分析表，進行F檢驗,F檢驗結(jié)果表明：A因素和交互作用A×B顯著，B、C因素及B×C交互作用不顯著。因交互作用A×B顯著，應

69、對A與B的水平組合進行多重比較，以選出A與B的最優(yōu)水平組合。 3、A與B各水平組合的多重比較 先計算出A與B各水平組合的平均數(shù)： A1B1水平組合的平均數(shù)=(55+38)/2=46.50 A1B2水平組合的平均數(shù)=(97+89)/2=93.00 A2B1水平組合的平均數(shù)=(122+124)/2=123.00 A2B2水平組合的平均數(shù)=(79+61)/2=70.00,列出A