信號(hào)與系統(tǒng)第九章線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析

1、第九章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析,§9.1引言,1、輸入——輸出描述法 特征：分析輸入——輸出之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,優(yōu)點(diǎn)：方便、明確，物理概念清楚。缺點(diǎn)：（1）不能提供系統(tǒng)內(nèi)部信息； （2）對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)分析困難； （3）高次代數(shù)方程或微分方 程求解困難。,2、狀態(tài)變量分析法 特征：分析系統(tǒng)的儲(chǔ)能狀態(tài),優(yōu)點(diǎn)：（

2、1）能提供系統(tǒng)內(nèi)部信息； （2）可分析復(fù)雜系統(tǒng)（非線性、時(shí)變）系統(tǒng)； （3）便于利用計(jì)算機(jī)。缺點(diǎn)：只適用于復(fù)雜系統(tǒng)和多輸入多輸出系統(tǒng)。,§9.2 系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程,9.2—1 狀態(tài)、狀態(tài)變量和狀態(tài)方程1、狀態(tài)變量的定義 在t=t0時(shí)，為初始狀態(tài)，在t>t0時(shí)的狀態(tài)，由初始狀態(tài)和t>t0 時(shí)的激勵(lì)決定。,狀態(tài)變量的定義： 一個(gè)

3、系統(tǒng)的狀態(tài)可以用一組最少的變量來(lái)代表，這組變量稱作狀態(tài)變量(state variable)，通常用x1(t), x2(t),…, xn(t)來(lái)表示，狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)就是系統(tǒng)的階數(shù)。,某系統(tǒng)有k個(gè)變量，已知n個(gè)變量的值， (k-n) n 最小,例：uc(t)和i l(t)為已知，則uR(t)=Ri l(t); ul(t)=uc(t) - Ril(t); 可確定uR(t)和u l(t)的值。,又如 ul(t

4、) 和 i1(t) 為已知，則,（2）狀態(tài)變量的選取不是唯一的。,（3）狀態(tài)變量是互相獨(dú)立的，它們之間互無(wú)依賴關(guān)系，不能互求。,和,（1）只要選兩個(gè)變量作為狀態(tài)變量，就可以由它們?cè)谀乘查g的值和激勵(lì)信號(hào)確定其余8個(gè)變量在該瞬間的值。,2. 網(wǎng)絡(luò)（或電路）的復(fù)雜度,網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度 n=b l c-n c-n l,式中 b l c 為網(wǎng)絡(luò)中儲(chǔ)能元件 L、C 的總數(shù)；,n c 為僅由電容或電容和電壓源組成的獨(dú)立回路的總

5、數(shù)；,n l 為僅由電感或電感和電流源組成的獨(dú)立割集的總數(shù)。,節(jié)點(diǎn),獨(dú)立狀態(tài)變量的數(shù)目,僅由------,僅由---,bLC=7，nC=1， nL=1，故,n=7-1-1=5,選定狀態(tài)變量之后，即可列寫出狀態(tài)方程，方程的解就是待求的狀態(tài)變量。,3. 狀態(tài)方程的建立,狀態(tài)方程是描述輸入信號(hào) e(t) 與狀態(tài)變量 x 間關(guān)系的一階微分方程。狀態(tài)方程的建立方法可分為兩大類：直接法與間接法。,直接法包括直觀編寫法和系統(tǒng)編寫法；,間接法包括

6、由輸入輸出方程編寫法和由系統(tǒng)模擬圖編寫法。,例1 bLC=3, nL= nL=0；,故 n = bLC -nL- nL=3,選 iL1 、iL2 、及uc 作為狀態(tài)變量。并分別記為,x1=iL1, x2=iL2, x3=uC,對(duì)節(jié)點(diǎn) A 列 KCL 方程,對(duì)網(wǎng)孔Ⅰ、 Ⅱ列 KVL 方程,整理成標(biāo)準(zhǔn)形式,,即,,將其寫成矩陣形式,主要步驟：,（3）消去非狀態(tài)變量；,（1）選擇狀態(tài)變量；,（2）列寫基本方程；,（4）整理

7、成標(biāo)準(zhǔn)形式。,例 （1）bLC=2，nC=nL=0。,故 n = 2,選 iL 和 uC 作為狀態(tài)變量，記為 x1=iL，x2=uC。,（2）A 點(diǎn)右側(cè)的 KVL 方程為,A 點(diǎn)處的 KCL 方程為,(3) 略去。,（4）整理。,,即,,其矩陣形式為,狀態(tài)方程的典型形式：,定義,(9---6b),e,（9---7）,（9---8）,A,B,狀態(tài)方程可簡(jiǎn)記為,x' =Ax+Be

8、 (9---10),9.2---2 輸出方程,以 y1(t), y2(t) 和 y3(t) 為待求響應(yīng)，則,,同樣有,y=Cx+De (9---14),若只需 R2上的電壓作為輸出，則,(9---11b),簡(jiǎn)記為,,,

9、,,,y5(t)=R2x2,其矩陣形式為,式中 C=[ 0 R2 0 ]， D=[ 0 ],§9.3 由輸入---輸出方程求狀態(tài)方程（狀態(tài)方程的間接編寫法）,9.3---1由輸入---輸出方程導(dǎo)出狀態(tài)方程,設(shè),試導(dǎo)出相應(yīng)的狀態(tài)方程。,解：選取 x1= y(t)； x2= x1'= y'(t)； x3= x2'= y ' ' (t) 。,將原方程改寫,于是得狀態(tài)方程

10、為,,將上式寫成矩陣形式，則有,x' A x B e,,,,,,輸出方程,y,C,D=[0],x,,,,9.3---2 由轉(zhuǎn)移函數(shù)和模擬框圖建立狀態(tài)方程,1. 由級(jí)聯(lián)模擬圖建立狀態(tài)方程,設(shè),寫成算子形式 (p3 + 8p2 +19p +12)y = (4p+10)e

11、 (9---15),顯然，系統(tǒng)函數(shù)為,(9---16),其模擬圖為,把模擬圖每個(gè)積分器的輸出作為狀態(tài)變量。因?yàn)?（1）積分器的個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)的階數(shù)，即為狀態(tài)變量數(shù)；（2）用積分器的輸出作為狀態(tài)變量，容易直觀地建立狀態(tài)方程。,輸出方程,其矩陣形式為,y =10x1+4x2,(9---17b),(9---18a),x' =Ax+Be,推廣到一般，并分 m ? n-1 和 m = n 兩種情況討論。,（1

12、） m ? n-1 （自學(xué) p135---136）,（2）m = n ，此時(shí)乘法器 bm = bn 的輸入為 xn 。,寫成矩陣形式,即矩陣 D=[bn]= bn 而不為零。,2. 由并聯(lián)模擬圖建立狀態(tài)方程,于是,寫成矩陣形式,對(duì)角線變量,3. 多輸入---輸出系統(tǒng),設(shè)有 m 個(gè)輸入和 r 個(gè)輸出，狀態(tài)變量仍為 n 個(gè)。,若轉(zhuǎn)移函數(shù)中 m ? n-1 , 則,x' = Ax+Be

13、 y = Cx,若轉(zhuǎn)移函數(shù)中 m > n-1 , 則,Y = Cx+De,4. DTS 的狀態(tài)方程,在 CTS 中,從離散系統(tǒng)的模擬圖取延時(shí)器的輸出作為狀態(tài)變量建立狀態(tài)方程。,x'(t) = Ax(t) +Be(t) ; y(t) = Cx(t) + De(t),類似地，在 DTS 中,x(k+1) = Ax(k) + Be(k) ； y(k) =

14、 Cx(k) + De (k),故,例：設(shè)描述 DTS 的輸入---輸出差分方程為,y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=e(k),試導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸出方程。,解：選取狀態(tài)變量,x1(k) = y (k),x2(k) = x1(k+1) = y (k+1),將上兩式代入原方程，可得,x2(k+1) = -2x1(k)-3 x2(k)+e (k),則狀態(tài)方程為,寫成矩陣形式,x1(k+1) = x2(k),x2(k+1) = -2x1

15、(k)-3 x2(k)+e (k),,輸出方程為,y (k) = x1(k),§9.4 CTS 狀態(tài)方程的復(fù)頻域解法,1. 用 LT 求解狀態(tài)變量和輸出響應(yīng),同樣,? {Ax(t)}=AX(s),根據(jù) LT 的微分性質(zhì),? {x'(t)}=sX(s)-x(0),(9---33),(9---34),對(duì),x'(t)=Ax(t)+Be(t),進(jìn)行 LT ，可得,sX(s)-x(0) = AX(s)+BE(s),或,

16、sX(s)- AX(s) = x(0)+BE(s),引用 n?n 的單位矩陣 I 以便將含有 X(s) 的項(xiàng)歸并，即得,(sI-A)X(s)=x(0)+BE(s) (9---35),式中,于是得,X(s)= (sI-A)-1[x(0)+BE(s)]= (sI-A)-1x(0) + (sI-A)-1 BE(s),(

17、9---36),此即復(fù)頻域解，取此式的反變換，即得,x(t) = ? -1{(sI-A)-1x(0) }+ ? -1{(sI-A)-1BE(s),,,零輸入分量,零狀態(tài)分量,將輸出方程 y(t)=Cx (t) +De(t) 進(jìn)行 LT ，得,Y(s)=CX(s)+DE(s),(9---38),將 X(s) 代入此式，得,Y(s)=C (sI-A)-1x(0) + [C(sI-A)-1B+D]E(s)= Yzi(s)+Yzs

18、(s),(9---39),2. 多輸入---輸出系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)矩陣和自然頻率,Yzs(s) =[C(SI-A)-1B+D]E(s),系統(tǒng)函數(shù)矩陣，記為,H(s) =C(SI-A)-1B+D,于是，有,Yzs(s) =H(s)E(s),R行m列，r是輸出數(shù)目，m是輸入數(shù)目。H(s)的元素,由矩陣代數(shù)知,(9---40),(9---41),(9---42),(9---43),伴隨矩陣 行列式 H(s)與(SI-A)-1具有共同的

19、分母，即 |SI-A|, 結(jié)論：,這些根為λ1、 λ2、…、 λn,,|SI-A|=0,的根是H(s)的極點(diǎn)[各Hij(s)的公共極點(diǎn)]。也就是系統(tǒng)的自然頻率。,特征方程,特征根,則,當(dāng) E(s)=0 時(shí) ，再令 Φ(s)= (sI-A) -1,則 X(s)=Φ(s)X(0),x(t)=Φ(t)x(0),(9---45),(9---46),(9---47),對(duì)上式雙方取 LT 反變換，得,(9--

20、-48),其中,(9---49),矩陣Φ(t) 稱為狀態(tài)過(guò)渡矩陣或狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，亦稱基本矩陣。,Φ(t) = e At,例題9---5 設(shè),y(t)= (-1/4)x1(t)+ x2(t),系統(tǒng)的初始狀態(tài) 為 x1(0)=1， x2(0)=2，輸入激勵(lì)為 ? (t)。試求此系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。,解：,由此可知,D=[ 0 ],系統(tǒng)的初始狀態(tài)為,| sI-A |=(s-1) (s+3),利用代數(shù)余子式求伴隨矩陣中的各元素,(sI-

21、A)11=(-1)1+1·|s+3|=s+3,(sI-A)12=(-1)1+2·|-1|=(-1)×(-1)=1,(sI-A)21=(-1)2+1·|0|=0 , (sI-A)22=(-1)2+2·|s-1|=s-1,又 D=[0] , E(s)=L[?(t)]=1/S , 故Yzs(s)=[C(sI-A )-1B+D]E(s),Yzs(s) =[C(sI-A)-1B

22、+D]E(s) =,將Yzi(s)和Yzs(s)進(jìn)行反變換后相加，即得全響應(yīng),例題9---6 求系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)矩陣和狀態(tài)過(guò)渡矩陣。,解：H(s) = C(sI-A )-1B+D =,§9.5 CTS狀態(tài)方程的時(shí)域解法,1、狀態(tài)方程的時(shí)域解法 y’(t)=ay(t)+be(t),雙方乘以e –at ,并移項(xiàng)得 e –at y’(t)-a e –at y(t) = e –at be(t),故,雙方取定積

23、分，則有,(9---50),(9---51),矩陣指數(shù)函數(shù)的定義,或,對(duì)此式取導(dǎo)數(shù)，從而得到,因此,令t=0, 則有 e0=I,(9---52),(9---53),(9---54),(9---55),應(yīng)用,可有,x’=Ax+Be,雙方均用e –At左乘，得 e –At x’ = e –At A x+ e –At B e,或 e –At x’ - e –At A x= e –At Be,故狀態(tài)方程可寫成,將上式兩邊從 0

24、到 t 積分 ,則有,或,雙方均以eAt左乘并移項(xiàng),在時(shí)域中狀態(tài)方程的解,(9---56),,(9---56a),兩個(gè)矩陣的卷積,x(t)= eAt x(0)+ eAt *Be(t),X(s) =(sI-A) -1 X(0)+ (sI-A) -1 BE(s),復(fù)頻域解,時(shí)域解,x(t)= eAt x(0)+ eAt *Be(t),x(t)? x(s),根據(jù)時(shí)域卷積定理,L [eAt]= (sI-A) -1= Φ(s),L-1 [(sI

25、-A) -1 ] = eAt = ?(t),或,推廣,(9---57b),(9---58),2、輸出響應(yīng)的時(shí)域解,輸出方程為 y(t)=Cx(t)+De(t)=C[eAt x(0)+ eAt ?Be(t)]+De(t),y(t) =C[eAt x(0)+ eAt B?e(t)]+De(t),又 δ(t)?e(t)=e(t),對(duì)角線矩陣[δ(t)]，它的行數(shù)和列數(shù)都得等于輸入激勵(lì)的個(gè)數(shù)m，它所有對(duì)角線上的元素均為單位沖激函數(shù)[

26、δ(t)]。于是有 δ(t) ? e(t)=e(t) y(t)=C[eAt x(0)+ eAt B?e(t)]+D δ(t) ? e(t) =CeAt x(0)+ [CeAt B+ Dδ(t)] ? e(t) =CФ(t) x(0)+ [

27、C? (t)B+ Dδ(t)] ? e(t) (9---65),3、單位沖激響應(yīng)矩陣 yzs(t) = [CeAt B+ D δ(t)] ? e(t)=[C ? (t)B+ Dδ(t)] ? e(t)= h(t) ?e(t) (9---66)其中 h(t) = C ? (t) B+ D δ(t)比較 H(s)=C(sI-A)-

28、1 B+D 可看出 L[h(t)]=H(s) 或 L-1 [H(s)]=h(t),例題9---7 設(shè)已得一系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為,系統(tǒng)的初始狀態(tài)為 x1(0)=1， x2(0)=2，試用時(shí)域分析法求此系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)激勵(lì)下的輸出響應(yīng)。 解：,,x’1(t)=x1(t)+e(t),x’2(t)=x1(t)-3 x2(t),D=[ 0 ],已求得

29、,故,則,h(t)=h(t)= C ?(t)B,§9.6 DTS 狀態(tài)方程的解,標(biāo)準(zhǔn)形式為 x(k-1)=Ax(k)+Be(k) (9---69a) y(k)=Cx(k)+De(k)

30、 (9--69b),8.6---1 狀態(tài)差分方程的時(shí)域解法,給定 e(k) 和 x(0) ，則,x(1)=Ax(0)+Be(0),x(2)=Ax(1)+Be(1)= A2x(0)+ABe(0)+Be(1),x(3)=Ax(2)+Be(2)= A3x(0)+A2Be(0)+ABe(1)+Be(2),,可推知,x(k)= Akx(0)+

31、Ak-1Be(0)+ Ak-2Be(1)+------+Be(k-1),(9---70a),,,零輸入分量,零狀態(tài)分量,?(t)=eAt -------- 狀態(tài)過(guò)渡矩陣,同樣，令 ?(t)=Ak -------- DTS 的狀態(tài)過(guò)渡矩陣或基本矩陣。于是,(9---70b),由式 (9---69b) 直接寫出輸出矢量,(9---72),,零輸入分量,,零狀態(tài)分量,與,相當(dāng)。,8.6---2 狀態(tài)差分方程的 z