數(shù)字邏輯電路 第二章t

1、2.1 邏輯代數(shù)中的幾個(gè)概念2.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則2.4 邏輯函數(shù)的性質(zhì)2.5 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn),第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ),第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ),Fundamentals of Boolean Algebra,布爾代數(shù) Boolean algebra： 用一種數(shù)學(xué)運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)描述人的邏輯思維規(guī)律和推理過(guò)程。邏輯代數(shù) Switching algebra： 將布爾代數(shù)的一些基本前提和定

2、理應(yīng)用于繼電器的分析與描述，稱為二值布爾代數(shù)，或開(kāi)關(guān)代數(shù)。繼電器是當(dāng)時(shí)最常用的數(shù)字邏輯元件，繼電器的接觸狀態(tài)（打開(kāi)或閉合）用 0 或 1表示。,邏輯代數(shù)是二值邏輯運(yùn)算中的基本數(shù)學(xué)工具邏輯代數(shù)廣泛應(yīng)用于數(shù)字系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì),第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ),Fundamentals of Boolean Algebra,邏輯代數(shù)是二值邏輯運(yùn)算中的基本數(shù)學(xué)工具邏輯代數(shù)廣泛應(yīng)用于數(shù)字系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì),在現(xiàn)代邏輯分析技術(shù)中，邏輯值對(duì)應(yīng)于各種廣泛的物

3、理?xiàng)l件：電壓的高或低、燈光的明或暗、電容器的充電或放電、熔絲的斷開(kāi)或接通，等等。下表給出了不同的計(jì)算機(jī)邏輯和存儲(chǔ)技術(shù)中表示位值的物理狀態(tài)。,不同的計(jì)算機(jī)邏輯和存儲(chǔ)技術(shù)中表示位值的物理狀態(tài),2.1 邏輯代數(shù)中的幾個(gè)概念,1. 邏輯狀態(tài) Logic State： 當(dāng)事物的某些特性表現(xiàn)為兩種互不相容的狀態(tài)，即 ①某一時(shí)刻必出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一種狀態(tài) ②一種狀態(tài)是另一種狀態(tài)的反狀態(tài) 則用符號(hào)0、1分別表示這兩種狀態(tài)

4、，稱邏輯狀態(tài)。即：0 狀態(tài) (0－state) 和 1 狀態(tài) (1－state) 一般，0狀態(tài)——邏輯條件的假或無(wú)效， 1狀態(tài)——邏輯條件的真或有效。 (兩種狀態(tài)無(wú)大小之分),2. 邏輯變量 Logic Value ：,用于表示事物狀態(tài)的邏輯狀態(tài)隨邏輯條件的變化而變化，取值“0” 或“1” 。,4. 邏輯電平 Logic Voltage：在二值邏輯電路(

5、開(kāi)關(guān)電路)中，將物理器件的物理量離散為兩種電平：高電平（用 H 表示）、低電平（用 L 表示）抽象化的高、低電平忽略其物理量值的實(shí)際含義，實(shí)際上它們是代表著一定范圍的物理量。參見(jiàn)下頁(yè)。在高、低電平之間有一邏輯不確定區(qū)，稱為“噪音區(qū)”。若電平穩(wěn)定于噪音區(qū)稱為邏輯模糊，這在邏輯電路中不允許。,3. 邏輯常量 Logic Constant ： 邏輯狀態(tài)保持不變，取值“0” 或“1”。,表2－1不同工藝器件定義的邏輯電平,圖

6、2-1 脈沖的邏輯電平表示,5. 邏輯約定 Logic Assumpsit：,規(guī)定 邏輯電平（表示物理器件的輸入、輸出物理量） 與 邏輯狀態(tài)（表示物理器件的邏輯功能） 之間的 關(guān)系，即邏輯規(guī)定（約定）。這一規(guī)定過(guò)程稱為邏輯化過(guò)程。確定了邏輯規(guī)定（約定）后，各種物理量都轉(zhuǎn)化為邏輯狀態(tài)含義，因而可用邏輯變量表示，進(jìn)而就可用各種數(shù)學(xué)或邏輯方法對(duì)電子電路進(jìn)行分析和表達(dá)。一旦完成了邏輯化工作，不再考慮邏

7、輯電路輸入輸出端的實(shí)際電平值，而是假設(shè)電路直接按照邏輯信號(hào)的0和1進(jìn)行操作。 邏輯約定有兩種：正邏輯規(guī)定（約定） 和 負(fù)邏輯規(guī)定（約定），如下：,正邏輯規(guī)定（約定）,負(fù)邏輯規(guī)定（約定）,邏輯電路Logic Circuit： 由實(shí)現(xiàn)邏輯變量之間邏輯關(guān)系的物理器件所構(gòu)成的電路稱為邏輯電路，即二值邏輯電路。,6. 邏輯代數(shù) Logic Algebra

8、 ： 用代數(shù)形式表現(xiàn)邏輯變量之間的因果關(guān)系。 用代數(shù)運(yùn)算對(duì)這些邏輯變量進(jìn)行邏輯推理。 因此，邏輯代數(shù)是一個(gè)集合：邏輯變量集、常量0和1、 “與”、“或”和“非”三種邏輯運(yùn)算。 運(yùn)算順序是：“非”最高，“與”次之，“或”最低。,7. 邏輯函數(shù) Logic Function：,輸入邏輯變量 A1，A2，… , An；輸出邏輯變量F；記為：F = f (A1，A2，… , An )，關(guān)系如下圖所示：,F = f

9、 (A1, A2, …, An)輸入變量（自變量）取值0、1；輸出變量（邏輯函數(shù)值）取值0、1.,,8. 邏輯函數(shù)的表示法 Representation：主要有四種,⑴ 真值表（窮舉法） Truth Table,真值表例,表達(dá)式例：F = A · B,⑵ 邏輯表達(dá)式 Algebraic Forms of Switching Functions,⑶ 卡諾圖 Karnaugh MAP （文氏圖 Venn Diagrams

10、）,⑷ 時(shí)間圖 （信號(hào)波形圖 ） Timing,Venn圖,2.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算,,,A,B,F,A,B,F,,2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則,2.3.1 布爾代數(shù)的基本公理 Basic Postulates,公理是基本的假設(shè)，是客觀存在，無(wú)需證明。可以用真值表驗(yàn)證等式成立，當(dāng)然等式兩邊還具有相同的卡諾圖，體現(xiàn)了表達(dá)式的多樣性。 運(yùn)算的優(yōu)先順序：括號(hào)，非，與，或。,0－1 律 0 and 1 elemen

11、ts for ＋ and ? operators A + 0 = A A ? 1 = A A + 1 = 1 A ? 0 = 0,Commutativity of the ＋ and · operations,交換律 A ＋ B = B ＋ A

12、 A ? B = B ? A,結(jié)合律 A＋(B＋C) = (A＋B)＋C A ? ( B ? C ) = ( A ? B ) ? C,Distributivity of the ＋ and · operations分配律 A＋B ? C = (A＋B)?( A＋C)“或”對(duì)“與”的分配 A ? (B＋C

13、) = A ? B＋A ? C “與”對(duì)“或”的分配,A B C,(A+B) ?(A+C),B ? C,A+BC,A+B,A+C,0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1,00010001,00011111,00111111,01011111,00011111,可以用同樣的方法證明 A ? (B+C) = A ? B+ A ? C 成立。,由此證明 A+B?C = (A+

14、B)(A+C) 成立。,例：證明 分配律 A＋B ? C = (A＋B)?( A＋C) 成立。 用真值表證明，如下：,互補(bǔ)律 Complement A + A = 1 A ? A = 0,,,可以把互補(bǔ)律看作如下命題：若 X＝A，Y＝A，則有 X + Y = 1 X ? Y = 0,可以證明，其逆命題也成立：若 X + Y = 1

15、 X ? Y = 0 ，則有 X＝A，Y＝A。,,,重疊律 Idempotency A + A = A A ? A = A,2.3.2 邏輯代數(shù)的基本定理 Fundamental Theorems,右邊 = A + 1 ? B （0—1律）,例 ：證明 A + A ? B = A + B ，可以用公理來(lái)證明。,,吸收律 Absorpti

16、on,A ? B + A ? B = A ( A + B )( A + B ) = A,= 左邊 證明成立,反演律 DeMorgan’s Theorem (摩根定理),= 1 （0—1律）,= 0 ? B + 0 ? A (互補(bǔ)律),= 0 + 0

17、 (0—1律),= 0 (基本運(yùn)算),或運(yùn)算結(jié)果的非，相當(dāng)于各變量非的與運(yùn)算。與運(yùn)算結(jié)果的非，相當(dāng)于各變量非的或運(yùn)算。摩根定理證明了變量進(jìn)行“與”和“或”運(yùn)算時(shí)的互補(bǔ)效應(yīng)。摩根定理的作用：進(jìn)行邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)和邏輯變換。,N變量的摩根定理：,（此定理證明見(jiàn)代入規(guī)則。）,包含律 Consensus (也稱多余項(xiàng)定理),= 右邊

18、 證明成立,若對(duì)兩個(gè)邏輯表達(dá)式，其邏輯變量的各種相同取值組合對(duì)應(yīng)的表達(dá)式值都相同，則稱這兩個(gè)邏輯表達(dá)式相等。 f (A,B,C) = g (A,B,C),2.3.3 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則 Basic Formulas,1. 邏輯相等：,A B C,g (A,B,C) = (A+B) ? (A+C),f (A,B,C) = A+B ? C,0 0

19、0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1,00011111,,,,,,,00011111,2. 代入規(guī)則：,又∵ 邏輯函數(shù) h 取值也是僅有 0 或 1,已知 f ( x1 , x2 , … , xi , …, xn ) = g ( x1 , x2 , … , xi , …, xn ),有任意邏輯函數(shù) h ，令： xi = h,則 f ( x1 , x2 , …, h , …

20、, xn ) = g ( x1 , x2 , … ,h , …, xn ) 依然成立。,證明： ∵ xi 取值(只有) 0 或 1，使等式成立,∴ 代入規(guī)則成立。,令 X = A2 + Y 代入,令 Y = A3 + Z 代入,依次類推，則推出 N 變量的摩根定理。,證明N變量的摩根定理：,用代入規(guī)則證明N變量的摩根定理，如下：,N變量的摩根定理：,3. 反演規(guī)則(香農(nóng)定理)

21、 Shannon’s expansion theorem,摩根定理給出了求反函數(shù)（互補(bǔ)函數(shù)）的方法，但并未能對(duì)互補(bǔ)函數(shù)之間的關(guān)系作出完善的說(shuō)明。對(duì)此，香農(nóng)定理作了推廣。,A1 + A2 + … + An = A1 ? A2 ? … ? An,,,,,A1 ? A2 ? … ? An = A1 + A2 + … + An,,,,,摩根定理的應(yīng)用：,這是反演律和代入規(guī)則的推廣使用，是對(duì)互補(bǔ)

22、函數(shù)的完善說(shuō)明。,如應(yīng)用反演律及代入規(guī)則解上例，可得：,反演規(guī)則(香農(nóng)定理) Shannon‘s expansion theorem,*注意運(yùn)算的先后順序保持不變，必要時(shí)要加括號(hào)以保證運(yùn) 算 順序不變,,反演律 (摩根定理),0－1 律 (a) A + 0 = A (b) A ? 1 = A (a)

23、 A + 1 = 1 (b) A ? 0 = 0,分配律 (a) A＋B ? C = (A＋B)?( A＋C) (b) A ? (B＋C) = A ? B＋A ? C,……,4. 對(duì)偶規(guī)則 Dual expansion theorem,例如前述的各種所有公理和由其導(dǎo)出的定理，其對(duì)偶式都成立：,……,已知原函數(shù)

24、 f ( x1 , x2 , …, xn, 0 , 1, +, · ),則對(duì)偶函數(shù) f ' ( x1 , x2 , …, xn , 0 , 1, +, · ) = f ( x1 , x2 , … , xn , 1 , 0, ·, + ) （“非”號(hào)不變）,對(duì)偶規(guī)則：1. （f ' ) ' = f,2. 若 f1

25、= f2 ，則 f1 ' = f2 ',3. 若 f ' = f ，則稱 f 為自對(duì)偶函數(shù)。 比如 f =A，f = A 等。,,,對(duì)偶規(guī)則 Dual expansion theorem,1 ? 1 = 1 1 + 1 = 1 0 + 0 = 00 ? 1 = 0 0 + 1 = 0 1 + 0

26、 = 11 ? 0 = 0 1 + 0 = 0 0 + 1 = 10 ? 0 = 0 0 + 0 = 0 1 + 1 = 1,對(duì)任何兩相等的邏輯函數(shù)，均符合上述的3個(gè)基本對(duì)偶規(guī)則。原因在于對(duì)偶規(guī)則的獲得，一方面是由于邏輯運(yùn)算本身定義所具有的對(duì)偶性，另一方面，是應(yīng)用反演規(guī)則和代入規(guī)則的結(jié)果。,非運(yùn)算 1 = 0 0 =

27、 1,,,,,,,,,,,,,,,與運(yùn)算 與運(yùn)算的對(duì)偶式 ＝ 或運(yùn)算,,,,,0－1 律 ：變量不變 A ? 1 = A A + 1 = A A + 0 = A A ? 0 = 0 A + 0 = 0 A + 1 = 1,,,,,,,,,從一個(gè)邏輯函數(shù)變換為它的對(duì)偶函

28、數(shù)叫做對(duì)偶變換。與和或、同或和異或是對(duì)偶的運(yùn)算， “ 0 ”和“ 1 ”是對(duì)偶的常量。 運(yùn)算符和邏輯量總是成對(duì)地定義的，稱為對(duì)偶的運(yùn)算符和對(duì)偶的邏輯量，這種特殊屬性可用對(duì)偶變換來(lái)表述。,對(duì)偶變換的規(guī)則是：   變量不變； 常量“0”變“1”，“1”變0”； 運(yùn)算符“與”變“或”，“或”變“與”,“同或”變“異或”，異或”變“同或”；     2個(gè)或2個(gè)以上變量非號(hào)照

29、寫。,掌握對(duì)偶規(guī)則的主要目的：當(dāng)證明了某一等式相等后，便可根據(jù)對(duì)偶規(guī)則得到其對(duì)偶式的等式，這就使要證明的式子數(shù)目減少一半。,2.4 邏輯函數(shù)的性質(zhì),2.4.1 復(fù)合邏輯與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算組合起來(lái)可以實(shí)現(xiàn)任何邏輯函數(shù)。與門、或門、非門三種基本邏輯運(yùn)算(門)組合起來(lái)可以構(gòu)成實(shí)現(xiàn)任何邏輯功能的邏輯電路，稱此三門構(gòu)成了一個(gè)邏輯完備組若實(shí)現(xiàn)一個(gè)較復(fù)雜的邏輯功能，尤其在大規(guī)模集成電路快速發(fā)展的今天，必須增加門電路的功能，以簡(jiǎn)化電路

30、。,1. 與非邏輯(NAND) 邏輯表達(dá)式為: F = A · B · C,,與非邏輯真值表 與非門的邏輯符號(hào),可以用與非門實(shí)現(xiàn)三種基本運(yùn)算：,① 與運(yùn)算 F1 = A·B,2. 或非邏輯(NOR) 邏輯表達(dá)式為: F = A ＋ B ＋ C,,或非邏輯真值表 或非門的邏輯符號(hào),可以用

31、或非門實(shí)現(xiàn)三種基本運(yùn)算：,② 或運(yùn)算 F2 = A＋B,3. 與或非邏輯(AOI－AND-OR-INVERT) 邏輯表達(dá)式為: F = AB ＋ CD ＋EF,,與或非門的邏輯符號(hào),4. 異或邏輯(XOR) 邏輯表達(dá)式為: F = A⊕B = A · B ＋A · B,,異或邏輯真值表 異或門的邏輯符號(hào),,5. 同或邏輯（XNO

32、R） 邏輯表達(dá)式為: F = A⊙B = A · B ＋A · B,,同或邏輯真值表 同或門的邏輯符號(hào),,異或運(yùn)算與同或運(yùn)算的關(guān)系：一對(duì)互補(bǔ)運(yùn)算,1. A⊕B = A⊙B A⊙B = A⊕B 2. (A⊕B) ' = A⊙B (A⊙B) ' = A⊕B 3.

33、 A⊕B ⊕C = A⊙B ⊙C,例：證明 A⊕B = A B ＋A B = A B A B = ( A ＋ B )( A ＋ B) = A B ＋ A B = A

34、⊙ B,證明 A⊕B ⊕C = A ( B⊕C ) ＋ A ( B ⊕C ) = A ( B⊕C ) ＋ A ( B ⊙ C ) = A ( B C ＋ BC ) ＋ A ( B C ＋ BC ) = A B C ＋ A B C ＋ A B C ＋ ABC,A ⊙

35、 B ⊙ C = A ( B ⊙ C ) ＋ A ( B ⊙ C ) = A ( B⊕C ) ＋ A ( B ⊙ C ) = A ( B C ＋ BC ) ＋ A ( B C ＋ BC ) = A B C ＋ A B C ＋ A B C ＋ ABC

36、 = A⊕B ⊕C,,,,,,,,,,,,,,,所以：當(dāng)變量為2時(shí)，同或運(yùn)算與異或運(yùn)算的之間具有互補(bǔ)關(guān)系；當(dāng)變量為3時(shí)，同或運(yùn)算與異或運(yùn)算的之間具有相等關(guān)系。,由代入規(guī)則可以證明：,A1⊕A2⊕A3⊕ … ⊕An = A1⊙A2⊙A3⊙ … ⊙An n 為偶數(shù)A1⊕A2⊕A3⊕ … ⊕An = A1⊙A2⊙A3⊙ … ⊙An n 為奇數(shù),,當(dāng)變量為偶數(shù)時(shí)，同或運(yùn)算與異或運(yùn)算之間具有互補(bǔ)關(guān)系；

37、當(dāng)變量為奇數(shù)時(shí)，同或運(yùn)算與異或運(yùn)算之間具有相等關(guān)系。即：,異或運(yùn)算和同或運(yùn)算的基本代數(shù)性質(zhì),0—1律 (a) A⊕0 =A A⊕1 =A (b) A⊙0 =A A⊙1 =A交換律 (a) A⊕B =B⊕A (b) A⊙B =B⊙A分配律 (a) A(B⊕C) =AB⊕AC (b) A＋(

38、B⊙C) =(A＋B)⊙(A＋C)結(jié)合律 (a) A⊕(B⊕C) = (A⊕B)⊕C (b) A⊙(B⊙C) =(A ⊙B )⊙C調(diào)換律 (a)若 A⊕B = C則 A⊕C = B ， C⊕B = A (b) 若A⊙B = C則 A⊙C = B ， C⊙B = A,,,依照邏輯運(yùn)算的規(guī)則，一個(gè)邏輯命題可以用多種形式的邏輯函數(shù)來(lái)描述，而這些邏輯函數(shù)的真值表都是相同的。,2

39、.4.2 邏輯函數(shù)的基本表達(dá)式 Algebraic Forms of Switching Functions,= ‥‥‥,如： F = A⊕B,2.4.3 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式 Canonical Forms of Switching Functions,一個(gè)邏輯命題的三種表示法：真值表

40、 表達(dá)式 卡諾圖,三者之間的關(guān)系：①真值表是邏輯函數(shù)最基本的表達(dá)方式，具有唯一性；②由真值表可以導(dǎo)出邏輯表達(dá)式和卡諾圖；③由真值表導(dǎo)出邏輯表達(dá)式的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式： 最小項(xiàng)之和 The canonical SOP(the Sum Of Products) 最大項(xiàng)之

41、積 The canonical POS(Product Of Sums),1. 最小項(xiàng) minterm,設(shè)有 n 個(gè)變量，它們組成的與項(xiàng)中每個(gè)變量或以原變量或以反變量形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，此與項(xiàng)稱之為 n 個(gè)變量的最小項(xiàng)。對(duì)于 n 個(gè)變量就可構(gòu)成 2n個(gè)最小項(xiàng)，分別記為 mi 。其中：下標(biāo)值 i的取值為當(dāng)各個(gè)最小項(xiàng)變量按一定順序排好后，用 1 代替其中的原變量， 0 代替其中的反變量，便得到一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，該二進(jìn)制數(shù)的等值十進(jìn)制

42、即為 i 的值。,2. 最大項(xiàng) maxterm,設(shè)有 n 個(gè)邏輯變量，它們組成的或項(xiàng)中，每個(gè)變量或以原變量形式或以反變量形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，此或項(xiàng)稱為 n 變量的最大項(xiàng)。對(duì)于 n 個(gè)變量可以構(gòu)成2n個(gè)最大項(xiàng)，分別記為 Mi 。其中：下標(biāo)值 i的取值規(guī)則與最小項(xiàng)中 i的取值規(guī)則相反，即將各變量按一定次序排好后，用 0 代替其中的原變量，用 1 代替其中的反變量，得到一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，該二進(jìn)制數(shù)的等值十進(jìn)制即為 i 的值。,3. 最

43、小項(xiàng)與最大項(xiàng)的性質(zhì),例：一個(gè)三變量函數(shù) F(A，B，C)，它的真值表及其最小項(xiàng)及最大項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表。,,,,最小項(xiàng)與最大項(xiàng)具有如下性質(zhì)：,⑴ 對(duì)于任意最小項(xiàng)，只有一組變量組合的取值可使其值為1；對(duì)于任意最大項(xiàng)，只有一組變量組合的取值可使其值為0。,⑶ 任意兩個(gè)最小項(xiàng)之積必為0，即： mi· mj = 0(i≠j) 任意兩個(gè)最大項(xiàng)之和必為1，即： Mi＋Mj=1(i≠j),⑵ n變量的所有最小項(xiàng)之和必為

44、1，記為： n變量的所有最大項(xiàng)之積必為0，記為：,由上表可知，最小項(xiàng)與最大項(xiàng)具有如下性質(zhì),⑷ 同變量數(shù)下標(biāo)相同的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)互為反函數(shù) 即： m i = M i M i = m i 則： m i ? M i = 0 且 m i＋M i = 1,4. 函數(shù)的最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式,邏輯函數(shù)被表達(dá)成一系列乘積項(xiàng)之和，則稱之為積之和表達(dá)式(SOP

45、)，或稱為與或表達(dá)式。如果構(gòu)成函數(shù)的積之和表達(dá)式中每一個(gè)乘積項(xiàng)(與項(xiàng))均為最小項(xiàng)時(shí)，則這種表達(dá)式稱之為最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式(The canonical SOP)，且這種表示是唯一的。,邏輯代數(shù)表達(dá)式－與或式的常用概念：與項(xiàng)：一個(gè)或一個(gè)以上的因子（變量）用與運(yùn)算符號(hào)連接起來(lái)的 式子。如，AB，AC等。標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)（最小項(xiàng)）：包含所討論問(wèn)題中的每一個(gè)變量，該變量在最小項(xiàng)中不是原變量就是反變量。如4變量函數(shù)中，ABCD，ABCD。與或式（S

46、OP）：一個(gè)或一個(gè)以上的與項(xiàng)用或運(yùn)算符號(hào)連接起來(lái)的式子。如，AB+AB，ABC+AD+C。標(biāo)準(zhǔn)和（標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)和，標(biāo)準(zhǔn)與或式）：僅是一個(gè)與或表達(dá)式，該式中所有的與項(xiàng)都是標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)（最小項(xiàng)）。最簡(jiǎn)與或式：具有最少與項(xiàng)的與或式。如：ABC+ABC+ABC+ABC+ABC＝AB+AB+ABC ＝AB+AB+AC

47、 ＝AB+AB+BC,邏輯代數(shù)表達(dá)式－與或式的常用概念：與項(xiàng)：一個(gè)或一個(gè)以上的因子用與運(yùn)算符號(hào)連接起來(lái)的 式子。如，AB，AC等。標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)（最小項(xiàng)）：包含所討論問(wèn)題中的每一個(gè)變量，該變量在最小項(xiàng)中不是原變量就是反變量。如4變量函數(shù)中，ABCD，ABCD。與或式（SOP）：一個(gè)或一個(gè)以上的與項(xiàng)用或運(yùn)算符號(hào)連接起來(lái)的式子。如，AB+AB，ABC+AD

48、+C。標(biāo)準(zhǔn)和（標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)和，標(biāo)準(zhǔn)與或式）：僅是一個(gè)與或表達(dá)式，該式中所有的與項(xiàng)都是標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)（最小項(xiàng)）。最簡(jiǎn)與或式：具有最少與項(xiàng)的與或式。如：ABC+ABC+ABC+ABC+ABC＝AB+AB+ABC ＝AB+AB+AC ＝AB

49、+AB+BC,邏輯代數(shù)表達(dá)式－與或式的常用概念：與項(xiàng)：一個(gè)或一個(gè)以上的因子用與運(yùn)算符號(hào)連接起來(lái)的 式子。如，AB，AC等。標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)（最小項(xiàng)）：包含所討論問(wèn)題中的每一個(gè)變量，該變量在最小項(xiàng)中不是原變量就是反變量。如4變量函數(shù)中，ABCD，ABCD。與或式（SOP）：一個(gè)或一個(gè)以上的與項(xiàng)用或運(yùn)算符號(hào)連接起來(lái)的式子。如，AB+AB，ABC+AD+C。標(biāo)準(zhǔn)和（標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)和，標(biāo)準(zhǔn)與或式）：僅是一個(gè)與或表達(dá)式，該式中所有的與項(xiàng)都是標(biāo)

50、準(zhǔn)與項(xiàng)（最小項(xiàng)）。最簡(jiǎn)與或式：具有最少與項(xiàng)的與或式。如：ABC+ABC+ABC+ABC+ABC＝AB+AB+ABC ＝AB+AB+AC ＝AB+AB+BC,寫出邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式的方法：,① 如果給定的函數(shù)為一般的與或表達(dá)式

51、，可以反復(fù)應(yīng)用公式X=X ( Y＋Y ) 代入缺少某變量(Y)的與項(xiàng)中，形成最小項(xiàng)之和的形式。,,② 如果給定函數(shù)用真值表表示，顯然真值表每一行變量,的組合對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)。如果對(duì)應(yīng)該行的函數(shù)值為 1 ，則函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式中應(yīng)包含該行對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)；如果該行的函數(shù)值為 0，則函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式中不包含對(duì)應(yīng)該行的最小項(xiàng)。,例：對(duì)應(yīng)前表（向前翻四頁(yè)，P39 表2.6 ）中的(A,B,C)， 其最小項(xiàng)表達(dá)式應(yīng)為：

52、,F(A,B,C) = m0＋ m3 ＋ m4 ＋ m6 ＋ m7 = ∑ m3( 0,3,4,6,7 ),顯然 F(A,B,C) = m1＋ m2 ＋ m5 = ∑ m3( 1,2,5 ),,F(A,B,C) = m0＋ m3 ＋ m4 ＋ m6 ＋ m7

53、 = ∑ m3( 0,3,4,6,7 ),,,,從真值表的角度看，其含義為：F＝1，如果A=0，B=0，C=0 或 A=0，B=1，C=1 或A=1，B=0，C=0 或 A=1，B=1，C=0 或 A=1，B=1，C=1。相當(dāng)于F＝1，如果A=1，B=1，C=1 或 A=1，B=1，C=1 或A=1，B=1，C=1 或

54、 A=1，B=1，C=1 或 A=1，B=1，C=1。因此F＝1，如果A B C＝1 或 A B C＝1 或 A B C＝1 或 A B C＝1 或A B C＝1得到F的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式：,F(A,B,C) = m0＋ m3 ＋ m4 ＋ m6 ＋ m7 ＝ ∑ m3( 0,3,4,6,7 ),,,,*③ 如果給定函數(shù)用卡諾圖表示，則卡諾圖上的每一塊區(qū),域?qū)?yīng)一個(gè)最小項(xiàng)。如果對(duì)應(yīng)該區(qū)域的函數(shù)值為 1

55、 ，則函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式中應(yīng)包含該區(qū)域?qū)?yīng)的最小項(xiàng)；如果該區(qū)域的函數(shù)值為 0，則函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式中不包含對(duì)應(yīng)該區(qū)域的最小項(xiàng)。,最小項(xiàng)與原函數(shù)、反函數(shù)的關(guān)系,對(duì)于 n 個(gè)變量的函數(shù) F ，它共有2n個(gè)最小項(xiàng)，這些最小項(xiàng)不是包含在原函數(shù) F 的最小項(xiàng)表達(dá)式中，就是包含在反函數(shù) F 的最小項(xiàng)表達(dá)式中。 用邏輯代數(shù)可以證明：,,F(x1,x2,x3, …,xn) ＋ F(x1,x2,x3, …,xn) =,,例如前例的函數(shù) F

56、 ：,F(A,B,C) = m0＋ m3 ＋ m4 ＋ m6 ＋ m7 = ∑ m3( 0,3,4,6,7 ),F(A,B,C) = m1＋ m2 ＋ m5 = ∑ m3( 1,2,5 ),5. 函數(shù)的最大項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式,邏輯函數(shù)被表達(dá)成一系列和項(xiàng)之積，則稱為和之積表達(dá)式(POS)，或稱為或與表達(dá)式。 如果構(gòu)成函數(shù)的或與表達(dá)式中的每一個(gè)和項(xiàng)均為最大項(xiàng)，則這種表達(dá)式稱為最大項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式 ( The Canonical POS)，

57、且這種表示是唯一的。,或項(xiàng)：一個(gè)或一個(gè)以上的因子用或運(yùn)算符號(hào)連接起來(lái)的 式子。如，A+B，A+C+D等。標(biāo)準(zhǔn)或項(xiàng)（最大項(xiàng)）：包含所討論問(wèn)題中的每一個(gè)變量，該變量在最大項(xiàng)中不是原變量就是反變量。如對(duì)4變量函數(shù)中，A+B+C+D，A+B+C+D?；蚺c式（POS）：一個(gè)或一個(gè)以上的或項(xiàng)用或運(yùn)算符號(hào)連接起來(lái)的式子。如，(A+B)(A+C)，(A+B+C+D)(A+C)。標(biāo)準(zhǔn)與（標(biāo)準(zhǔn)或與項(xiàng)，標(biāo)準(zhǔn)或與式）：僅是一個(gè)或與表達(dá)式，該式中

58、所有的或項(xiàng)都是標(biāo)準(zhǔn)或項(xiàng)（最大項(xiàng)）。最簡(jiǎn)或與式：具有最少或項(xiàng)的或與式。如：(A+B+C)(A+C)(A+B+C)(A+C+D)＝(A+C)(A+D)(B+C),邏輯代數(shù)表達(dá)式－或與式的常用概念：,寫出邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式的方法：,① 如果給定的函數(shù)是一般的或與表達(dá)式，可以反復(fù)應(yīng)用公式：X = X + Y·Y = (X +Y)(X +Y) 代入缺少某變量(Y)的和項(xiàng)中以形成最大項(xiàng)之積的形式。,②如果給定函數(shù)用真值表表示，顯

59、然真值表每一行變量的,組合對(duì)應(yīng)一個(gè)最大項(xiàng)。如果對(duì)應(yīng)該行的函數(shù)值為 0 ，則函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式中應(yīng)包含該行對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)；如果該行的函數(shù)值為 1 ，則函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式中不包含對(duì)應(yīng)該行的最大項(xiàng)。,例：對(duì)應(yīng)前表（向前翻八頁(yè)，P39 表2.6）中的F(A,B,C)，其最大項(xiàng)表達(dá)式應(yīng)為：,F(A,B,C) = M1 · M2 · M5 = ∏ M3( 1,2,5 ),,,,從真值表的角度看，

60、其含義為：F＝0，如果A=0，B=0，C=1 且 A=0，B=1，C=0 且 A=1，B=0，C=1 。 相當(dāng)于F＝0，如果A=0，B=0，C=0 且 A=0，B=0，C=0 或A=0，B=0，C=0 。 因此F＝0，如果A+ B+ C＝0 且 A +B +C＝0 且 A +B +C＝0 。得到 F 的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式：,,,,F(A,B,C) = M1 &

61、#183; M2 · M5 = ∏ M3( 1,2,5 ),,,,*③ 如果給定函數(shù)用卡諾圖表示，則函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式,可以通過(guò)卡諾圖得到。,從最小項(xiàng)和最大項(xiàng)的關(guān)系看：,F(A,B,C) = m1＋ m2 ＋ m5 = M1 · M2 · M5 = ∏ M3( 1,2,5 ),F(A,B,C) = m0＋ m3 ＋ m4 ＋ m6 ＋ m7

62、 = M0 · M3 · M4 · M6 · M7 = ∏ M3( 0,3,4,6,7 ),F(A,B,C) = m0＋ m3 ＋ m4 ＋ m6 ＋ m7= ∑ m3( 0,3,4,6,7 ),F(A,B,C) = m1＋ m2 ＋ m5 = ∑ m3( 1,2,5 ),,,最大項(xiàng)與原函數(shù)、反函數(shù)的關(guān)系,對(duì)于 n 個(gè)變量的函數(shù) F ，它共有2n個(gè)最大項(xiàng)，這些最大項(xiàng)不是包含在原函數(shù) F

63、的最大項(xiàng)表達(dá)式中，就是包含在反函數(shù) F 的最大項(xiàng)表達(dá)式中?？梢宰C明：,F(x1,x2,x3, …,xn) ? F(x1,x2,x3, …,xn) =,,同一函數(shù)的最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式與其最大項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式的關(guān)系:,同一邏輯函數(shù)的一種標(biāo)準(zhǔn)式變換成另一種標(biāo)準(zhǔn)式時(shí)，互換∑mn 和 ∏Mn 的符號(hào)，并在符號(hào)后列出原式中缺少的那些數(shù)字。而且這兩種標(biāo)準(zhǔn)式都是唯一的。例： F = ∑m3( 0,2,3 ) = ∏M 3( 1,4,5,6,7 ),,,,F(A,

64、B,C) = m0＋ m3 ＋ m4 ＋ m6 ＋ m7 = ∑ m3( 0,3,4,6,7 )F(A,B,C) = M1 · M2 · M5 = ∏ M3( 1,2,5 ),,回到剛才的例子：,2.5 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn) Simplification of Switching Expression,一個(gè)邏輯函數(shù)對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)現(xiàn)其邏輯功能的邏輯電路，當(dāng)使該函數(shù)最簡(jiǎn)意味著使這個(gè)電路也最簡(jiǎn)。,最簡(jiǎn)邏輯電路

65、：門數(shù)最少；門的輸入端最少；門的級(jí) 數(shù)最少。最簡(jiǎn)與或式：與項(xiàng)的數(shù)目最少；每個(gè)與項(xiàng)的變量個(gè)數(shù) 最少。最簡(jiǎn)或與式：或項(xiàng)的數(shù)目最少；每個(gè)或項(xiàng)的變量個(gè)數(shù) 最少。,例： F = AB ( B＋C ) ＋ AC ＋ BC = AB ＋C對(duì)應(yīng)兩種邏輯電路圖，如下,2.5.1 代數(shù)化

66、簡(jiǎn)法：,一、與或式的化簡(jiǎn),所謂化簡(jiǎn)過(guò)程就是運(yùn)用代入規(guī)則，把某一子函數(shù)看成一個(gè)變量，進(jìn)而應(yīng)用公式簡(jiǎn)化，在這一過(guò)程中經(jīng)常需要變換子函數(shù)的形式，以便能夠應(yīng)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)化，最終將函數(shù)化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或式 (minimizing SOP) ，常用的方法有如下幾種：,1. 吸收法 ① 利用公式：A+AB=A 消去多余變量。例： F＝ AB+AB · (C+D) · E ＝ AB,② 利

67、用公式： A + AB = A + B 消去反變量。例： F = AB + AC + BC = AB + (A + B)C = AB + AB C = AB + C,3. 消去法利用公式：AB＋AC＋BC＝AB ＋AC 消去多余項(xiàng)。 例：F = AC + ADE + CD = AC + CD + AD + AD

68、E = AC + CD,2. 合并項(xiàng)法 利用公式： AB + AB = B ，兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)且消去一個(gè)變量。例： F = ∑m4 (5,7,13,15) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD = ABD + ABD = BD,,,,,,① 利用公式： 1 ＝A ＋A 增加項(xiàng)數(shù)。例：

69、 F = AB + BC + BC + AB = AB + BC + BC(A+A) + AB(C+C) = AB + BC + ABC + ABC + ABC + ABC = AB + BC + AC思考：分析對(duì)前兩項(xiàng)增加與項(xiàng)，得到的結(jié)果（F= AB + BC + AC ）與上式等價(jià)。,4. 配項(xiàng)法,當(dāng)無(wú)法發(fā)現(xiàn)直接應(yīng)用公式時(shí)，可先增加一些與項(xiàng)，再利用增加項(xiàng)消除多余項(xiàng)，