二 面 角

1、制作人：趙中興高一二面角二面角二面角問題因其需要充分運(yùn)用立體幾何第一章的線線、線面、面面關(guān)系，具有綜合性強(qiáng)，靈活性大的特點(diǎn)，因此，一直成為高考、會(huì)考的熱點(diǎn)。求解二面角問題一般可分為直接法和間接法二大類。一、直接法直接法就是根據(jù)已知條件，首先作出二面角的平面角，再求平面角大小的方法。求作二面角平面角的方法主要有：①利用定義即在二面角l的棱l上任取一點(diǎn)，然后在兩??個(gè)半平面內(nèi)分別作棱的垂線ab，則這兩條垂線ab所成的角即為二面角的平面角。例

2、1、在三棱錐PABC中，APB=BPC=CPA=600，求二面角APBC的余弦值。???分析：所求二面角與底面ABC所在的位置無(wú)關(guān)，故不妨利用定義求解。略解：在二面角的棱PB上任取一點(diǎn)Q，在半平面PBA和半平面PBC上作QMPB，QNPB，則由定義??可得MQN即為二面角的平面角。設(shè)PM=a則在Rt??PQM和RtPQN中可求得QM=QN=a；又由?23?PQNPQM得PN=a故在正三角形PMN中MN=a在??三角形MQN中由余弦定理得

3、cosMQN=，即二面角?31的余弦值為。31②利用三垂線定理。即從半平面內(nèi)的任一點(diǎn)A出發(fā)向另一個(gè)半平面??引一條直線AH，過(guò)H作棱l的垂線HG，垂足為G，連AG，則由三垂線定理可證lAG故AGH就是二面角l的平面角。三垂線定理是求解二面角問題的最常????用的方法，其關(guān)鍵是尋找或求作一條垂線，即從第一個(gè)半平面內(nèi)的某一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，且垂直于另一個(gè)半平面。l??abABCNMPQ??GAH制作人：趙中興高一二面角角就是二面角的平面角。例4、如

4、圖，在平面角為600的二面角l內(nèi)有一點(diǎn)P，P到、分別為????PC=2cmPD=3cm則（1）垂足的連線CD等于多少？（2）P到棱l的距離為多少？分析：對(duì)于本題很多同學(xué)可能會(huì)這么做：過(guò)C在平面內(nèi)作棱l的垂線，垂足為E，連DE，則CED即為??二面角的平面角。這么作輔助線看似簡(jiǎn)單，實(shí)際上在證明CED為二?面角的平面角時(shí)會(huì)有一個(gè)很棘手的問題，就是要證明P、D、E、C四點(diǎn)共面。故不妨通過(guò)作垂面的方法來(lái)作二面角的平面角。略解：∵PC、PD是兩條

5、相交直線，∴PC、PD確定一個(gè)平面，設(shè)交棱l于E，連CE、DE?！逷C⊥，???∴PC⊥l又∵PD⊥，∴PD⊥l。∴l(xiāng)⊥平面，則l⊥CE、DE，故CED即為二面角???的平面角，即CED=600?！郈PD=1200，△PCD中，PD=3，PC=2，由余弦定理得??CD=cm。由PD⊥DE，PC⊥CE可得P、D、E、C四點(diǎn)共圓，且PE為直徑，由19正弦定理得PE=2R===cm。CEDCD?sin060sin195732二、間接法所謂間接

6、法，就是不直接作出二面角的平面角，利用一個(gè)基本結(jié)論：即如圖，在一個(gè)半平面內(nèi)有一個(gè)平面圖形ACD另一個(gè)半平面??內(nèi)的平面圖形CDE為平圖形ACD在平面內(nèi)的射?影，設(shè)二面角大小為射影圖形的面積為S射，原來(lái)圖?形的面積為S，則可證明cos=（證明略）。?SS射例5、如圖，設(shè)E為正方體的邊CC1的中點(diǎn)，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。分析：圖中并沒有直接畫出平面AB1E和底面A1B1C1D1的交線，即二面角的棱不明確，若利用

7、直接法作出二面角的平面角，則必須先求作二個(gè)平面的交線，這給解題帶來(lái)一定的難度，所以不妨利用間接法求解。略解：顯然△AB1E在底面A1B1C1D1上的射影為△A1B1C1，故這兩個(gè)平面所成二面角的余弦值為。321111???EABCBASS幾點(diǎn)說(shuō)明：①三垂線定理是求解二面角的平面角的最主要的方法，要引起重視；②有些問題既可以用直接法求解，也可用間接法求解。如例3，可知△DEB1在右側(cè)面上的射影為△CEB1，故所求余弦值=。66464221