屆澳門數(shù)學(xué)奧林匹克比賽

1、第十屆澳門數(shù)學(xué)奧林匹克比賽第二輪選拔賽題解(v.1.2)1.已知A、B、C是同一直在線三個(gè)不同的點(diǎn)，O是這直線外的一點(diǎn)，過(guò)A、O、C；B、O、C；A、O、B分別作圓。設(shè)這三個(gè)圓的圓心分別為O1、O2、O3。求證：O、O1、O2、O3四點(diǎn)共圓。(見互動(dòng)的圖見互動(dòng)的圖)證：不妨假設(shè)A、C、B三點(diǎn)順序。圓O1與O3相交于點(diǎn)A、O兩點(diǎn)，跟據(jù)SSS原理，三角形O3O1O與O1O3A全等，從而∠O3O1O=∠O3O1A。同理∠O3O2O=∠O3O2

2、B。設(shè)弧BnO與弧BCO共同組成圓O2、弧AmO與弧ACO共同組成圓O1。因此有∠O3O1O∠O3O2O=(弧ACO的度數(shù)弧BCO的度數(shù))2=[(360?；mO的度數(shù))(360。弧BnO的度數(shù))]2=[720。2(∠ACO∠BCO)]2=180。。所以O(shè)、O1、O2、O3四點(diǎn)共圓。注：考生對(duì)幾何題興趣不大。2.(i)設(shè)x、y、z為三個(gè)正實(shí)數(shù)且xyz=1，求證：。(ii)設(shè)a、b、c為三個(gè)正實(shí)數(shù)且abc=1，求證：。證：(i)證法一：運(yùn)

3、用xyz=1直接改寫左式為[x21x][y21y][z21z]。然后運(yùn)用均值不等式，立即得到要證明的不等式。(i)證法二：不妨設(shè)a、b、c為正實(shí)數(shù)使得a2=x、b2=y、c2=z，則abc=(xyz)12=1。原方程可以等價(jià)地改寫為a4b4c4a2b2b2c2a2c2≧2abc(abc)。由均值不等式，得a4b2c2≧2abca，類似地有b4a2c2≧2abcb、c4a2b2≧2abcc。加起這三個(gè)不等式，便得以上的等價(jià)不等式。(ii)

4、證法一：首先將左式通分，得到分母：(ab1)(bc1)(ca1)及分子(bc1)(ca1)(aba)(ca1)(ab1)(bc1)。然后可以考慮：(分母)(分子)=(ab1)(bc1)(ca1)[(bc1)(ca1)(ab1)(ca1)(ab1)(bc1)]因?yàn)橐裙烙?jì)M的下界，可以試a=b=c=1，知道M≧1。然后猜想最小的M值是1；但要證明最小的M值是1，就要證明原命題的不等式。考慮到難度方面，所以用了較容易的命題。這題目改自199

5、7年USAMO的第二輪題5求證：設(shè)a、b、c為三個(gè)正實(shí)數(shù)，求證：(a3b3abc)1(b3c3abc)1(c3a3abc)1≦(abc)1。這也是產(chǎn)生原來(lái)解答二的自然方法。此外這不等式的左、右兩式分別是齊次。作題時(shí)用了非齊次的條件：abc=1。3.確定符合下列條件的所有多項(xiàng)式f(x)：f(x1)=12f[f(x)]32。4.解：設(shè)多項(xiàng)式f(x)的次數(shù)為n，展開后得f(x1)、f[f(x)]的次數(shù)分別是n、n2。由于等式的次數(shù)皆相同，所以

6、n=n2，即n=0或者1。若n=0，則f(x)≡c為一常數(shù)。代入已知條件得c=c232，即c=3。若n=1，則f(x)=axb，其中a≠0、b是實(shí)數(shù)。代入后得已知的恒等式：2[axab]=2a(x1)2b=2f(x1)=f[f(x)]3=a(axb)b3，再比較x的各系數(shù)，得2a=a2及2a2b=abb3。由第一式得a=0或2；當(dāng)a=2，代入第二式得b=1。答案有兩個(gè)f(x)=2x1，式者f(x)=3。5.記f(x)=x2(2x22x1

7、)，試求f(1n)f(2n)...f(1)，其中n是任意一個(gè)正整數(shù)。解：記Sn為要求的和。注意f(0)=0及f(x)的分母，2x22x1=(1x)2x2。先計(jì)算f(1x)f(x)=[x2(1x)2][(1x)2x2]=1。因此2Sn=[f(0)f(1)][f(1n)f(11n)]....[f(11n)f(1n)][f(1)f(0)]=(n1)。所以Sn=(n1)2。6.在整數(shù)1至30之中恰有28個(gè)數(shù)全是某數(shù)N的因子。而剩下來(lái)的不是N因子

8、的兩個(gè)數(shù)皆是另一個(gè)小于250的整數(shù)之因子。試求M？解法一：假設(shè)在1至30中整數(shù)i和j不是N的因子，而且1ij≦30。先證明：如果某個(gè)數(shù)x(1≦x≦30)不在以上的28個(gè)因子內(nèi)，則這個(gè)數(shù)x的某個(gè)素?cái)?shù)因子的最高冪亦不會(huì)在28個(gè)因子內(nèi)；否則x的所有素因子的最高冪同是這28個(gè)因子內(nèi)，即也N的因子，又因?yàn)檫@些素因子的最高冪是兩兩互素，所以它們的乘積(即是x)也是N的因子，但這是不可能的。因此有以下的結(jié)論：oi是某個(gè)素?cái)?shù)的冪；否則它的某個(gè)素因子的最