數(shù)學奧林匹克初中訓練題56

1、課外訓練數(shù)學奧林匹克初中訓練題(56)第一試一、選擇題(每小題7分共42分)1.方程(x2x1)x2=1的整數(shù)解的個數(shù)是().(A)5(B)4(C)3(D)22.已知梯形兩底角之和為90上底長為5下底長為11.則連結兩底中點的線段長為().(A)3(B)4(C)5(D)63.已知5個不同的正奇數(shù)的和為85.則這五個數(shù)中最大數(shù)M的取值范圍是().(A)23≤M≤67(B)19≤M≤67(C)21≤M≤69(D)17≤M≤694.方程x2x

2、=1x的解的情況是().(A)僅有一正根(B)僅有一負根(C)一正根一負根(D)無實根5.在等腰直角△ABC的斜邊AB上取兩點M、N使∠MCN=45.記AM=mMN=xBN=n.則以x、m、n為邊長的三角形的形狀是().(A)銳角三角形(B)直角三角形(C)鈍角三角形(D)隨x、m、n的變化而變化6.二次函數(shù)y=12x219992x1000的圖像經(jīng)過第一象限的整格點(即縱、橫坐標是正整數(shù)的點)共有()個.(A)1000(B)1001(C

3、)1999(D)2001二、填空題(每小題7分共28分)1.已知非零實數(shù)a、b、c滿足a2b2c2=1且a1b1cb1c1ac1a1b=3.則abc=.2.在△ABC中AB=AC=3BC邊上有2002個不同的點P1P2P2002.記mi=AP2iBPiCPi(i=122002)則m1m2m2002=.3.設Q=52試用系數(shù)是有理數(shù)的Q的三次多項式表示則5=.4.從邊長為10厘米的正方形鐵片中剪下直徑為1厘米的圓最多可剪下個.第二試一、(

4、20分)已知關于x的方程4x28nx3n=2和x2(n3)x2n22=0.問是否存在這樣的n值使第一個方程的兩個實數(shù)根的差的平方等于第二個方程的一整數(shù)根若存在求出這樣的n值若不存在請說明理由.二、(25分)貨船上卸下若干只集裝箱其總重量為10噸每只集裝箱的重量不超過1噸.為了保證能把這些集裝箱一次運走問至少需要多少輛載重量為3噸的汽車圖1三、(25分)如圖1四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O且AB=ADCB=CD延長AB、DC交于E∠AED的平分

5、線交BC于P交AD于K延長AD、BC交于F∠BFA的平分線交CD于H交AB于G.求證:GPHK是正方形.參考答案第一試一、1.(B).142002年第3期?19942007ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.圖6解得k≤163整數(shù)解為k≤11.這樣6排10個圓5排9個圓共105個圓.其實我們把后三排全都排成10個圓9個圓就只有4排.此時共用去12

6、3813=4330則n為任意實數(shù)第一個方程都有實數(shù)根.設第一個方程兩根為α、β則αβ=2nαβ=3n24.∴(αβ)2=(αβ)24αβ=4n23n2.由第二個方程得[x(2n2)][x(n1)]=0.解得x1=2n2x2=1n.若x1為整數(shù)則4n23n2=2n2.解得n1=0n2=14.當n=0時x1=2當n=14時x1=32不是整數(shù)舍去.若x2為整數(shù)則4n23n2=1n.解得n3=n4=12.當n=12時x2=32不是整數(shù)舍去.綜上

7、所述當n=0時第一個方程的兩個實根差的平方等于第二個方程的一整數(shù)根.二、首先注意到每只集裝箱的重量不超過1噸因此每一輛車子一次可運走的集裝箱的重量不會少于2噸否則可以再放一只集裝箱.設需要n輛車子它們運走的集裝箱的重量依次為a1a2an則2≤ai≤3(i=12n).設所有運走的重量之和為s則2n≤s=a1a2an≤3n即2n≤10≤3n.從而103≤n≤5即n=4或5.事實上4輛車子是不夠的.設有13只集裝箱每只集裝箱的重量為1013噸

8、.由于101333所以每輛車子只能運走3只箱子這樣4輛車子不能全部運走.因此至少要5輛汽車.圖7三、如圖7連AC∵AB=ADBC=CDAC=AC∴△ABC≌△ADC故∠ABC=∠ADC.∵∠ABC∠ADC=180∴∠ABC=∠ADC=90.∵∠FCD=∠BCE∴∠AFB=∠AEC.又∵GF平分∠AFBKP平分∠AEC則∠1=∠2=∠3=∠4.∴∠SGE∠4=∠SGE∠1=90即PK⊥GH.∵∠SGE=∠EAF∠2=∠FCD∠1=∠SHE