第六章、數(shù)學(xué)公理化方法

1、15.3使用RMI方法的條件從前述各例，我們可以歸納出正確使用RMI方法的條件。（1）映射須是兩類數(shù)學(xué)對象之間的一一對應(yīng)關(guān)系；?（2）所采用的映射須是可定映的，即目標(biāo)映象能通過確定的有限多個數(shù)學(xué)手續(xù)從映?象關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中尋求出來；（3）相對的逆映射（反演）必須具有能行性，即通過目標(biāo)映象能將目標(biāo)原象的某1?種需要的性態(tài)經(jīng)過有限步驟確定下來。以上幾點也從另一角度說明，RMI方法并非是處處適應(yīng)的萬能法則。正確有效地應(yīng)用RMI方法的關(guān)鍵顯然在于

2、引進合乎要求的映射，這就要求使用者在如下方面去努力：一是理解原象關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的能力；二是抽象分析的能力；三是運用數(shù)學(xué)手段的能力；四是掌握常用的方法與變換的能力；五是尋求反演公式與手段的能力。數(shù)學(xué)史的發(fā)展表明，誰能巧妙地引進非常有效且具有能行性反演的可定映射，1??誰就對數(shù)學(xué)的發(fā)展作出貢獻。反之，正因數(shù)學(xué)自身的發(fā)展（特別是它的現(xiàn)代發(fā)展），不斷產(chǎn)生了一些新的重要的映射工具，也就為RMI方法的運用展示了更廣闊的前景。129第六章數(shù)學(xué)公理化方法

3、數(shù)學(xué)公理化方法是一種演繹的方法，當(dāng)一個理論體系達到充分發(fā)展，需要以演繹的形式來表達它的基本范疇之間，原理、原則之間的關(guān)系，形成逐漸演進和發(fā)展時，公理化方法是最為有力的手段?？梢哉f，它對各門數(shù)學(xué)分支學(xué)科都產(chǎn)生著巨大的影響，即使在數(shù)學(xué)教育中，也起著重要的作用。6.1數(shù)學(xué)公理化方法的意義所謂公理化方法就是從盡可能少的不加定義的原始概念和不加證明的原始命題（公理、公社）出發(fā)，按照邏輯規(guī)則推到出其他命題，建立起一個演繹系統(tǒng)的方法。數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史有

4、力地表明公理化方法在數(shù)學(xué)方法中有著重要的意義。我們可以歸納出如下幾點：1總結(jié)性：恩格斯說：“數(shù)學(xué)上的所謂公理，是數(shù)學(xué)需要用作自己出發(fā)點的少數(shù)思想上的規(guī)定。”這種方法將數(shù)學(xué)知識的概念、命題的形式進行了分析和總結(jié)，凡是得了公理化結(jié)構(gòu)形式的數(shù)學(xué)，均可在已形成的邏輯關(guān)聯(lián)中去使用。這不僅使其運用很方便，同時也促進了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展。如概率論開始形成時，實踐性很強，后來公理化了，理論就大大提高了一步；法國布爾巴基學(xué)派在三大結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，建立了各種各樣的

5、公理化體系，對促進數(shù)學(xué)發(fā)展起了極大地作用。在近、現(xiàn)代，由于在各門數(shù)學(xué)中廣泛采用公理化方法。形成了一批有影響的具有一定權(quán)威性的數(shù)學(xué)專著。如代數(shù)學(xué)中的范德瓦爾登所著3……公理Ⅰ等于同量的量相等。公理Ⅱ等量加等量得到等量。……（3）根據(jù)公社和公理進行證明：定理定理1……《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》定義定義1物質(zhì)的量是用它的密度和體積一起來量度的。定義定義2運動的量是用它的速度和質(zhì)量一起來定義定義3…………定義定義4外加力是一種為了改變一個物體的靜止

6、或等速直線運動狀態(tài)而加于其上的作用力。規(guī)律規(guī)律1每個物體繼續(xù)保持其靜止或沿一直線作等速運動的狀態(tài)，除非有力加于其上迫使它改變這種狀態(tài)。規(guī)律規(guī)律2運動的改變和所加的動力成正比，并且發(fā)生在所加的力的那個直線方向上。132規(guī)律規(guī)律3每一個作用力總是有一個相等的反作用和它相對抗。定理定理1……3簡潔性：由極少量的原始定義和公理，可以演繹出內(nèi)容浩繁的理論體系，從此意義上看，只有用公理法才能把握住龐大理論體系的“脈搏”。早在300多年前，牛頓就由衷

7、贊曰：“幾何的輝煌之處就在于只用很少的公理而能得到如此之多的結(jié)果?！?系統(tǒng)性：由于公理方法是靠邏輯演繹形成的，故由它處理的數(shù)學(xué)知識成為一個有序理論體系，這種系統(tǒng)性形成了一定的知識結(jié)果，促進了知識的運用與發(fā)展。5可比較性：公理化方法把一門數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)分析得清清楚楚，這就有利于比較各門數(shù)學(xué)的實質(zhì)性異同，并能促進和推動理論的創(chuàng)立。6.2數(shù)學(xué)公理化方法的產(chǎn)生與發(fā)展公理化方法的歷史，大致可分五個階段，即：公理化方法的萌芽階段、實質(zhì)公理化的產(chǎn)生階段、

8、潛形式公理化階段、形式公理化階段和純形式公理化階段。一、公理化方法的萌芽公理化方法的萌芽——亞里士多德三段論體系亞里士多德三段論體系公理化方法是從數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)的發(fā)展中產(chǎn)生的。早在公元前7世紀(jì)，愛奧尼亞學(xué)派的創(chuàng)始人哲學(xué)家泰勒斯的學(xué)生，古希臘的畢達哥拉斯（公元前585—497年）及其門徒繼承并發(fā)展了其老師的證明思想，開創(chuàng)了把幾何學(xué)作為證明的演繹科學(xué)來進行研究得方向。古希臘的歐多克斯（公元前408—355年）處理不可公度比時，建立了以公理為依