實(shí)分析精講50題

1、實(shí)分析精選50題1實(shí)分析精選50題實(shí)分析精選50題第一章第一章測(cè)度論測(cè)度論1.設(shè)μυ是定義在σ?代數(shù)S上的兩個(gè)測(cè)度μ是有限的且υ對(duì)于μ是絕對(duì)連續(xù)的則存在可測(cè)集E使得XE?對(duì)于υ而言具有σ?有限測(cè)度并使得對(duì)E的任何可測(cè)子集F()Fυ或?yàn)?或?yàn)椤?證明:(ⅰ)若υ本身是一個(gè)有限測(cè)度或者σ?有限測(cè)度取E為空集即可.(ⅱ)考慮υ不是一個(gè)有限測(cè)度或者σ?有限測(cè)度的情形:引理引理:設(shè)μυ是定義在σ?代數(shù)S上的兩個(gè)測(cè)度μ是有限的且υ對(duì)于μ是絕對(duì)連續(xù)的

2、υ不是一個(gè)有限測(cè)度或者σ?有限測(cè)度.若()Eυ=∞并且對(duì)于υ而言并非一個(gè)σ?有限集則存在一個(gè)可測(cè)子集FF的任何子集G()Gυ或?yàn)?或?yàn)椤?證明:設(shè)sup()|0()GGEGαμυ=?????∪∪.但1iiME∞=??????∪∪滿足:實(shí)分析精選50題3()ii證明必存在()XR上全有限測(cè)度μ，使得nμ對(duì)于μ是絕對(duì)連續(xù)的(12...)n=證明：()inμ中0()2Xμ≤≤的測(cè)度記為nυ，重新排列，其余的記為nT，重新排列定義111()()

3、()2()nnnnnnnETEETXυμ∞∞===∑∑.可以證明()0()Xμμ?=∞對(duì)于1iiiiEEE∞==?∩∪:111111()()2()niniiiinnnninETEETXυμ∞∞∞∞∞=====??=????∑∑∪∪∪=11111()()2()niniiinnnnnETETXυ∞∞∞∞====∑∑∑∑由于二和均收斂故可交換順序.∴1iiEμ∞=??????∪=11111()()2()nininnininnETETXυ∞∞∞

4、∞====∑∑∑∑=1()iiEμ∞=∑所以μ是一個(gè)全有限測(cè)度容易驗(yàn)證:nμ對(duì)于μ是絕對(duì)連續(xù)的(12...)n=()ii考慮nμ的全變差測(cè)度nμnμ仍是一個(gè)全有限測(cè)度由()i的證明存在有限測(cè)度μ，使得nμ對(duì)于μ是絕對(duì)連續(xù)的，所以nμ對(duì)于μ是絕對(duì)連續(xù)的(12...)n=.證畢.3.()i設(shè)μ是可測(cè)空間()XR上全σ?有限的測(cè)度，證明：必存在()XR上全有限測(cè)度υ，使得μ等價(jià)于υ.()ii設(shè)nμ是可測(cè)空間()XR上全σ?有限的廣義測(cè)度序列證