張鴻慶 - 中國傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代數(shù)學(xué)

1、中國傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)、武俠、周易、禪宗,張鴻慶大連理工大學(xué)2010.11,,一、數(shù)學(xué)的三境界與四體系,蘇 武 慢,仙峰絕壁，攀登無數(shù)，往往到頭虛老；支離破碎，細(xì)微末節(jié)，多少青春廢了；鯨吞碧海，芥納須彌，中西合璧最好，只憑這微分代數(shù)，消融那纖維同調(diào)；誰聽得，千尺崖前，百丈懸冰，杜宇一聲春曉？黑洞路遠(yuǎn)，夸克關(guān)深，行人原自稀少；體系我立，定理自出，此心可通天道；尋

2、根本，識破源流，自有人間真寶。,數(shù)學(xué)難，數(shù)學(xué)之難，難于上青天，正入萬山圈子里，一山才過一山攔。霧里看花，水中望月，無法掌握這變幻莫測的書中世界。人們心中呼喊：“借我一雙慧眼吧，讓我把這一切看得明明白白，清清楚楚，真真切切！”慧眼何來？誰聽得，千尺崖前，百丈懸冰，杜宇一聲春曉？,鯨吞碧海，芥納須彌，中西合璧最好只憑這微分代數(shù)，消融那纖維同調(diào)黑洞路遠(yuǎn)，夸克關(guān)深，行人原自稀少；體系我立，定理自出，此心可通天道尋根本，識破

3、源流，自有人間真寶,這首詞的關(guān)鍵是 “尋根本，識破源流。 體系我立，定理自出，中西合璧最好?！?學(xué)數(shù)渾似學(xué)參禪，一經(jīng)領(lǐng)悟便超然。 五燈會元東方亮，光芒四射照人間。,學(xué) 數(shù) 參 禪,破除迷信 張揚自我 眾生平等 皆可成佛解粘

4、去縛 方便接引 就近取譬 隨機化尋真參實證 圓融無礙 以心傳心 心心相印因緣契合 自悟本心 明心見性 見性成佛體驗 開悟 解脫 飛升唯天是我?guī)?唯心通天道教學(xué) = 接引 武俠小說是接引的道具,數(shù) 學(xué) 神 功,化功大法妙無窮 乾坤挪移顯神通 孤獨九符孤獨劍 九陰九陽有真經(jīng)非忘象者則無以制象 非遺數(shù)者則無以極數(shù)至精者無

5、籌策而不可亂 至變者體一而無不周 至神者寂然而無不應(yīng) 斯蓋功用之母 象數(shù)之所由立 故曰非至精至變至神則不可得與于斯也,獨 孤 九 符,,,,言 數(shù) 明 理,數(shù)理同源 理數(shù)相倚 理由數(shù)顯 數(shù)自理出物無妄然 必由其理 理一分殊 月映萬川知書達(dá)理 理在書外 窮心盡性 盡性知天孤獨九符 六脈神劍 統(tǒng)之有宗 會之有元言數(shù)者必先明理 數(shù)與道非二本也事物的性質(zhì)是將事物與其他事物區(qū)分的基本

6、屬性,內(nèi)積 雙線性 對稱外積 雙線性 反對稱有象斯有對 對必反其為 有內(nèi)必有外 外者內(nèi)之對導(dǎo)數(shù) 線性 Leibniz 法則,六 脈 神 劍,不學(xué)數(shù)無以言不學(xué)理無以立不知哲學(xué)無以知根本不知歷史無以知源流不知大美無以知天地不知命無以為君子也,反對稱 雙線性,若c和b垂直，在a方向必為零，c和a垂直類似。,學(xué)數(shù)=修道=參禪悟道； 教學(xué)=接引 武俠小說是接引的道具林震南 岳不群 風(fēng)清揚

7、 教學(xué)法總教頭 掌門人 不及華山背后隱身人南慕容 北喬峰 不及少林無名掃地僧少林七十二絕技與武學(xué)障 學(xué)武要兼修佛法內(nèi)力障 六脈神劍與北冥神功 九陽真經(jīng)與乾坤大挪移,北冥神功以積蓄內(nèi)力為第一要義，內(nèi)力既厚天下武學(xué)無不為我所用。 猶之北冥，大舟小舟無不載，大魚小魚無不容， 是故內(nèi)力為本，招數(shù)為末。 不學(xué)數(shù)， 無以言； 不學(xué)理，無以立；不知哲學(xué)無以知根本，不知歷史無以知源流，不知大美無以知天地，不知命無以為

8、君子也。,數(shù)學(xué)神功=天眼通 凌空飛渡+降龍十八掌 獨孤九劍 化功大法 乾坤大挪移 天眼通，凌空飛渡=數(shù)學(xué)心學(xué)=數(shù)學(xué)禪宗數(shù)學(xué)心學(xué)=為學(xué)者當(dāng)自立門庭 體系我立，定理自出 六經(jīng)當(dāng)注我，我何注六經(jīng)聽數(shù)學(xué)不如讀數(shù)學(xué) 讀數(shù)學(xué)不如自己做出來山歌都是心中出 哪有船裝水載來,向大師學(xué)習(xí)=與大師過招少林寺的功夫要打出山門魔教十長老盡破五岳派劍法。 獨孤九劍精義：對手必有破綻，料敵機先。鳩摩智動用十六門少林絕技，虛

9、竹只一招黑虎掏心。,郭靖與歐陽克 東邪西毒 玉簫鐵箏 簫箏合奏 比拼內(nèi)功 天山風(fēng)烈 碧海潮生 天使魔鬼 移魂奪情 騷人雅士 聞聲起舞 凡夫俗子 閉耳塞聽 大智若愚 自立門庭 敲敲截斷 變調(diào)抗?fàn)?在音律變化的空隙之間，隨手一擊旋律立 刻大亂 Galois之后 代數(shù)變調(diào),我雖武功不如人 只要窺出他人劍中空虛破綻 窺出變化節(jié)奏中之關(guān)鍵，便不難以弱擊強，

10、 將他劍路一擊而斷，此即獨孤九劍精要。 道理如此精妙 ，又如此簡單， 奈何天下武學(xué)之士竟薄此而不為， 此即劍術(shù)與劍意、武功與武道區(qū)別之所在。,禪宗=體驗 開悟 解脫 飛升禪是一種體驗，一種達(dá)到開悟的理論和方法從枷鎖到自由的道路，把單調(diào)法乏味的生活，索然平凡的生命變?yōu)樗囆g(shù)的充滿真實內(nèi)容的創(chuàng)造真理不立文字 書外別傳 以心傳心 心心相印就近取譬 隨機化尋 真參實證 圓融無礙云門一曲，金口風(fēng)范，一語截斷，萬聲皆消

11、。解粘去縛 方便接引 因緣契合 自悟本心破除迷信 張揚自我 眾生平等 皆可成佛,文字障 石中堅與《俠客行》 禪作者思想 讀者思想 道可道，非常道 凌空虛渡抽象語言

12、 抽象語言 書,,,,,降龍十八掌 = 由《周易》產(chǎn)生的武功 ?獨孤九劍,化功大法, 乾坤大挪移。,獨孤九劍是天下武學(xué)的總綱。一招包一路，無招勝有招。將天下武學(xué)分類，每類有一個破解模式。敵強愈強，遇上精奇的招數(shù)，自然產(chǎn)生相應(yīng)的招數(shù)與之抗御。有招必有破綻，料敵機先，后發(fā)先至，乘虛而入，一擊而中。,化功大法（吸星大法、北冥神功）：吸收消化別人的內(nèi)力，化為自己的內(nèi)力。丹田有氣，散之任脈。如

13、竹中空，似谷恒虛。由表及里，抽取本質(zhì)，空箱結(jié)構(gòu)。真事隱而實事顯，虛而不屈，動而愈出。,乾坤大挪移：由此及彼，應(yīng)用這一領(lǐng)域的方法解決另一領(lǐng)域的問題。,乾坤大挪移 = 由此及彼 = 奇正變換（變奇點為正常點）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,張無忌大戰(zhàn)光明頂,聲 聲 慢,尋尋覓覓，冷冷清清，寂寂寞寞依依，萬水千山獨行，登天無計，有我美夢做伴，怎怕他晚來風(fēng)急，我來也，正悅目，別有一番天地。 滿室書本堆積，翻閱盡，查找蛛絲馬跡

14、，中西合璧，探索數(shù)學(xué)真諦，春風(fēng)化物細(xì)雨，會心處點點滴滴，這次第，唯極樂差可比擬。,沁園春 · 宇宙流,萬物皆流，大化流行，陰陽對偶?？春翁幤娈悾翁幷系K；從何處來，向何處流。虧格示性，指標(biāo)計數(shù)，拓?fù)鋱稣搫傞_頭。神通有，攬彼造化力，渡我飛舟?？茖W(xué)藝術(shù)漫游，讀歷史崢嶸歲月稠。恰英雄少年，風(fēng)華正茂；統(tǒng)一數(shù)學(xué)，思想建構(gòu)。流形奠基，群論分類，笑傲當(dāng)年萬戶侯。凌空起，與天地萬物上下同流。,數(shù)學(xué),,,,,內(nèi)容,方法,,

15、,,,,幾何化、拓?fù)浠?、辛化、可視?代數(shù)化、算術(shù)化、算法化、機械化,,,,公理化、邏輯化、形式化、抽象化,原理化、道理化、詩詞化、藝術(shù)化,過度的形式化使理解復(fù)雜化，妨礙了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性及其與應(yīng)用的結(jié)合。證明越長越復(fù)雜，懂的人越少，定理的可靠性越低。形式化語言不簡潔，狹窄而不全面，把各個領(lǐng)域隔離起來，使其鄰近領(lǐng)域不能理解，看不到在思想上的相互影響，看不到其直接來源，將十分鄰近的學(xué)科分解為互不相識的部分。我們應(yīng)當(dāng)逆潮流而行。,數(shù)學(xué)的四

16、個體系,體系一：幾何化、拓?fù)浠?、辛化、可視化。學(xué)科：幾何、拓?fù)洹Ｄ繕?biāo)：數(shù)學(xué)大統(tǒng)一、物理大統(tǒng)一。體系二：代數(shù)化、算術(shù)化、算法化、機械化。學(xué)科：代數(shù)、數(shù)論。目標(biāo)：數(shù)學(xué)機械化。,體系三：公理化、形式化、邏輯化、抽象化。 方法：定義、定理、證明（DTP模式）。 目標(biāo)：Hilbert形式主義綱領(lǐng)。體系四：原理化、道理化、詩詞化、藝術(shù)化。方法：體驗、開悟、解脫、飛升。

17、目標(biāo)：數(shù)學(xué)解釋體系與猜測系統(tǒng)。,在原理化、詩詞化、藝術(shù)化的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)解釋體系和猜測系統(tǒng)。中西合璧，探索數(shù)學(xué)真諦。用東方文化濟(jì)西方科學(xué)之窮。用哲學(xué)家的睿思、詩人的慧眼，將晦澀難懂的現(xiàn)代數(shù)學(xué)點化成精神上可以縱橫馳騁，理性上可以自由翱翔的充滿詩情畫意的藝術(shù)空間。,二、機械化數(shù)學(xué)與非機械化數(shù)學(xué),數(shù)學(xué) = 機械化數(shù)學(xué) + 非機械化數(shù)學(xué)機械化數(shù)學(xué) = 數(shù)學(xué)算法化非機械化數(shù)學(xué) = 數(shù)學(xué)原理化 + 數(shù)學(xué)詩詞化數(shù)學(xué)原理化 = 一花六

18、瓣 凌空飛渡 五燈會元 以理御數(shù) 化功大法 由表及里 乾坤挪移 應(yīng)用無數(shù)數(shù)學(xué)詩詞化 = 數(shù)學(xué)道理化 道理哲學(xué)化 哲學(xué)浪漫化 浪漫藝術(shù)化 藝術(shù)詩詞化 詩詞模塊化 模塊網(wǎng)絡(luò)化,中西合璧，探索數(shù)學(xué)真諦興于詩，立于理，成于樂,,,,,數(shù)學(xué)機械化,數(shù)學(xué)原理化,,用機械化方法解方程用解方程方法證定理,言數(shù)者

19、必先明理數(shù)與道非二本也,,,,,代數(shù)機器 獨孤九符,拓?fù)渌枷?五燈會元,,A ? C = B ? D + RC Ker D = Ker A,,與計算機科學(xué)相結(jié)合算法學(xué)家思維模式,原理化機械化取長補短 思想性構(gòu)造性相映生輝方向已明，涓滴雖微，有成江河之理；持之以恒，日就月將，學(xué)有緝熙于光明。,本源性原理 對偶性原理 不變性原理 協(xié)調(diào)性原理 奇正性原理,與理論物理相結(jié)合物理學(xué)家思維模式,

20、,學(xué) 數(shù) 參 禪,破除迷信 張揚自我 眾生平等 皆可成佛解粘去縛 方便接引 就近取譬 隨機化尋真參實證 圓融無礙 以心傳心 心心相印因緣契合 自悟本心 明心見性 見性成佛體驗 開悟 解脫 飛升唯天是我?guī)?唯心通天道教學(xué) = 接引 武俠小說是接引的道具 學(xué)數(shù)渾似學(xué)參禪，一經(jīng)領(lǐng)悟便超然。 五燈會元東方亮，光芒四射照人間。,五 燈 會 元,本源性原理：明示根本 指解源流

21、 正本清源 融會貫通不變性原理：變易不易 不易簡易 簡易直接 把握整體對偶性原理：陰陽對偶 此長彼消 互逆互補 相反相成協(xié)調(diào)性原理：一生萬象 萬象協(xié)調(diào) 協(xié)調(diào)正合 正合歸一奇正性原理：奇出正合 以奇制勝 奇正相生 循環(huán)無窮,一生萬象意境高 萬象歸一一念遙陰陽對偶天河渡 變易不易是鵲橋,一生萬象曰生，天地之大德曰生，生生之為易。易一名而三義，曰變易、不易、簡易。大道必易，大理必簡，易簡而天下之理得，天下之理得而成位乎

22、其中矣。萬象協(xié)調(diào)曰和，協(xié)調(diào)正合曰中。和則立，不和則廢，和實生物，同則不繼。中者，不偏不倚無過不及之謂也。中者天下之大本，和者天下之達(dá)道。致中和，天地位焉，萬物育焉。尊德性而道問學(xué)，致廣大而盡精微，極高明而道中庸。不偏之謂中，不易之謂庸，中者天下之正道，庸者天下之定理。中庸者，無過不及而平常之定理，充分必要恰當(dāng)正合之定理，乃天命所當(dāng)然，精微之極致也。,正合歸一曰復(fù)。反者道之動，弱者道之用，歸根曰復(fù)，復(fù)者其見天地之心乎。

23、一曰本源，萬象曰流。明示根本，指解源流，正本清源，返璞歸真，本立而道生，洞悉大本大要乃學(xué)問之極致。一生萬象，放之彌于六合；萬象歸一，卷之不盈一握。陰陽對偶，此長彼消，互逆互補，相反相成。有象斯有對，對必反其為。一陰一陽之謂道。道生一，一生二，二生三，三生萬物，萬物負(fù)陰而抱陽，沖氣以為和。一氣混元，兩儀化元，三才運元，四象會元。陰陽升降，進(jìn)退左右，互通變化，錯綜無窮。道可道，非常道?？傻罏檎?，不可道為奇，奇正相生，循環(huán)無窮。

24、萬物皆流。變易者，萬物也，不易者，道也。夫物蕓蕓各復(fù)歸其根，歸根曰靜，故圣人于錯綜紛紜之中，指認(rèn)其不變之真體。,一生萬象是微分 Cv = u萬象歸一是積分 給定 u，存在 v 使 Cv = u。萬象協(xié)調(diào)是代數(shù) AC = 0協(xié)調(diào)正合是拓?fù)?Im C = Ker A,言 數(shù) 明 理,數(shù)理同源 理數(shù)相倚 理由數(shù)顯 數(shù)自理出物無妄然 必由其理 理一分殊 月映萬川知書達(dá)理 理在書外 窮心盡性 盡性知

25、天孤獨九符 六脈神劍 統(tǒng)之有宗 會之有元言數(shù)者必先明理 數(shù)與道非二本也事物的性質(zhì)是將事物與其他事物區(qū)分的基本屬性,獨孤九符 一花六瓣不學(xué)數(shù)， 無以言； 不學(xué)理，無以立；不知哲學(xué)無以知根本，不知歷史無以知源流，不知大美無以知天地，不知命無以為君子也。,凌空飛渡,作者思想,,文字,著作,讀者思想,,,,乾坤大挪移,,道理=道+理一陰一陽之謂道，物無妄然，必由其理 理一分殊 月映萬川言數(shù)者必先明理 數(shù)與道

26、非二本也有象斯有對，對必反其為，有反斯有仇，仇必和而解。,一氣混元，兩儀化元，三才運元，四象會元。陰陽升降，進(jìn)退左右，互通變化，錯綜無窮。,天上下雨地下流，氣水循環(huán)無盡頭。人看明月當(dāng)頭照，我看明月順?biāo)鳌?數(shù)象,初等代數(shù),抽象代數(shù),解析幾何,微積分,微分方程,函數(shù)論,泛函分析,初等幾何,拓?fù)鋵W(xué),解析數(shù)論,代數(shù)數(shù)論,交換代數(shù),微分代數(shù),微分方程,函數(shù)論,微分幾何,代數(shù)幾何,代數(shù)拓?fù)?微分拓?fù)?,,,,,,,,,,,,,,,,,,

27、,,,,,,,,,,,,,,,,,,數(shù)學(xué),非交換幾何,非交換代數(shù),代數(shù)～幾何，拓?fù)?交換代數(shù)～代數(shù)幾何 非交換代數(shù)～非交換幾何連續(xù)函數(shù)代數(shù)～拓?fù)鋵W(xué) 解析函數(shù)代數(shù) ～解析流形 光滑函數(shù)代數(shù) 算子理論～微分流形 代數(shù)方程～數(shù)論 微分方程～函數(shù)論理想～代數(shù)簇 微分理想～微分代數(shù)簇 金鳳玉露象數(shù)和，象數(shù)交會情更多 畫中有詩是代數(shù)，詩中有畫是幾何,對偶頌,一家門作兩家門，兩家本從一家分天向一中分體用

28、，人于對偶起經(jīng)綸陰陽升降大道出，進(jìn)退左右織回文極樂最是行道處，天香桂子落紛紛,三、C-D 可積系統(tǒng),給定方程 Au = 0，選擇目標(biāo)方程 Dv = 0，構(gòu)造變換 u = Cv， 使得,若 C Ker D = Ker A，則稱 Au = 0 為完全 C-D 可積。 若 C Ker D ? Ker A，則稱 Au = 0 為部分 C-D 可積。 若 C Ker D ? Ker A，則稱 Au = 0 為 C-D 可積。,不變性原

29、理,變易不易 不易簡易 簡易直接 把握整體,選擇簡單的 C 和 D,簡易,不易,簡易,本源性原理,明示根本 指解源流 正本清源 返璞歸真,用解一元二次方程的思想解方程。 用解線性代數(shù)方程組的思想解方程組,C-D 可積系統(tǒng)的基本構(gòu)造,給定 A,選擇 D,構(gòu)造 C,是否 C-D 可積,解出 Dv=0,Dv=0 是否可解,擴張解的概念,,,,,,,,,,,,否,否,是,分析問題代數(shù)攻，算術(shù)代數(shù)兩相通 代數(shù)本從算術(shù)出，帶余除法妙無窮

30、算術(shù)=四則運算 帶余除法～ 3x7=2x8+5代數(shù)=以符代數(shù) 帶余除法～獨孤九符～會解一次方程，二次方程就會解一切方程了,線性代數(shù)方程組 Cramer法則非線性代數(shù)方程 Abel定理 Galois理論 可解群 代數(shù)函數(shù)論 Riemann曲面 單值群非線性代數(shù)方程組 代數(shù)幾何 Gröbner基

31、 吳消元法,微分方程與代數(shù)方程比較,參考文獻(xiàn)V.B. Alekseev. Abel’s Theorem in Problems and Solutions, Based on the lectures of Professor V.I. Arnold. Kluwer Academic Publishers, 2004.R. Bruce King. Beyond the Quartic Equation. Birkhauser, 19

32、96.M. Bronstein. Symbolic Integration 1 - Transcendental Functions. Springer-Verlag, Heidelberg, 1997. M. Put, M.F. Singer. Galois Theory of Linear Differential Equations. Springer, 2003. .,變易、不易、簡易。陰陽對偶，此長彼消，互逆互補，相反

33、相成。,,,,,,,,,根式解,,分析問題代數(shù)攻 Au=0 u=Cv Dv=0 算子方程 代數(shù)方程形式展開意境高，有窮無窮一念遙，收斂級數(shù)求真解，發(fā)散級數(shù)當(dāng)符號級數(shù)展開解方程，導(dǎo)數(shù)計算按序行，延拓對合完備化，相容可積兩相通Riequier-Janet理論 Cartan-Kahler理論 Hilbert多項式

34、 Spencer上同調(diào),,分析三法 獨孤九符 一花六瓣 五燈會元 化功大法 乾坤大挪移分析三法：化問題為方程法，解方程法， 用解方程證定理法化功大法：由表及里乾坤大挪移：由此及彼,C-D可積系統(tǒng),設(shè) Au = 0 是給定方程，Dv = 0 是會解的方程，解方程的基本方法是構(gòu)造變換 u = Cv，將 Au = 0 變?yōu)?Dv = 0，即,若算子

35、 A、C、D 滿足 C Ker D = Ker A，則稱算子 C 和 D 是算子 A 的 C-D 對，方程 Au = 0 叫做 C-D 可積的。,引理 假設(shè)算子 A、B、C、D 滿足關(guān)系 AC = BD，B0 = 0，則有 C Ker D ? Ker A，即若 u = Cv ， Dv = 0 則由 Au = 0。 若 C 是滿射，B 可逆，則有 C Ker D ? Ker A，即 Au = 0 的一般解可以表示為 u =

36、Cv ， Dv = 0 。,設(shè) X 是線性空間，對給定算子 D : X ? X，若存在集合 ?，使 ?f ? X，有且僅有一個 v ? ?，則稱 D 為可單值化算子， v ? ? 叫做定解條件。,定理 設(shè) X 是 Banach 空間，AC : X ? R 是 X 上的泛函， D : X ? X 是可單值化算子，若 ACD-1 是 Gateaux 可微，并且 由 Dv = 0 可推出 ACv = 0，則存在 ? 上的泛函 Bv

37、使得ACv = BvDv,數(shù)學(xué)是定義和定理的集合。假設(shè)一門數(shù)學(xué)學(xué)科有 n 組定義，后一組定義由前一組定義產(chǎn)生，每組定義產(chǎn)生一組定理，用 uk 表示第 k 組定義，uk+1 = Ckuk，如果只考慮用等式表示定理，則第 k 組定理可用方程 Akuk = 0 表示， 上述模式可以表示為,若 Im Ck = Ker Ak+1，k = 1,2,?,n-1，則稱這個序列是正合的。由定理 2 可知存在算子 Bk 滿足Ak+1Ck = BkAk,

38、上圖可以表示為,第一行叫做定義鏈，第二行叫做定理鏈，定理鏈?zhǔn)嵌x鏈的伴隨鏈。,由 uk+1 = Ckuk，Akuk = 0推出 Ak+1uk+1 = 0 相當(dāng)于求超定方程組 Ckuk = uk+1， Akuk = 0 的協(xié)調(diào)條件。因此第 k+1 類定理 Ak+1uk+1 = 0，可以由機械化方法產(chǎn)生，并且第 k+1 類定理的個數(shù)等于協(xié)調(diào)條件按的個數(shù)。這類定理叫做正定理。,由 Ak+1uk+1 = 0 求 Ck 使得 uk+1 = Cku

39、k ， Akuk = 0 相當(dāng)于求算子 Ak+1 的 C-D 對，可以用 Ak+1Ck = BkAk + Rk 模式，即 AC = BD+R 模式解決，這類定理叫做逆定理。,Ck Ker Ak = Ker Ak+1 表示正定理和逆定理都成立。Ak+1Ck = BkAk 表示第 k+1 類定理可以在第 k 類定義的基礎(chǔ)上引進(jìn) k+1 類定義得到，也可以不引進(jìn)第 k+1 類定義而由第 k 類定義推出第 k 類定理，再由第 k 類定理推出第

40、 k+1 類定理。,令 A = Ak+1，C = Ck，B = Bk，D = Ak，u = uk+1，v = vk，則推導(dǎo)正定理的模式和推導(dǎo)逆定理的模式可以用以下模式統(tǒng)一表示,這是一個證明定理的模式，利用這個模式可以證明許多定理。,Cramer 法則,Theorem Let A = (aij)n?n be a matrix of linear differential operators, aij(i,j=1,?,n) with

41、smooth variable coefficients, then there exist a matrix of linear differential operators B = (bij)n?n such that AB is diagonal matrix.,Definition For given a n?n matrix of linear differential operators A = (aij)n?n, t

42、he matrix B satisfying the condition in Theorem is called the adjoint matrix of A, denoted by,where Aij is called the algebraic complement of aij in A.,Theorem Let A = (aij)n?n by a matrix of linear differential opera

43、tors, its adjoint matrix A* satisfying AA* = diag{D1,?,Dn}, where Dk ? 0 (k=1,2,?,n), then the solution of following system of linear inhomogeneous differential equations with variable coefficients,can be written as,Wher

44、e vk satisfy,Liouville可積 若系統(tǒng)可寫成廣義Hamilton方程的形式，且存在可數(shù)個兩兩對合的首次積分，則稱其在Liouville 意義下是可積的。Lax可積 若系統(tǒng)可寫成兩個線性微分方程即Lax對的相容條件，則稱其為Lax可積。,微分Galois理論， 拓?fù)湔系K與示性數(shù),Theorem 1. For the differential equations of Fuchs’ type t

45、he subfield of the differential field R{y1,?,yn} that consists of single-valued functions coincides with the field of rational functions.,Theorem 2. A differential equation of Fuchs’ type is solvable by quadratures or

46、 by generalized quadratures if its monodromy group is, respectively, soluble or almost soluble.,The differential Galois theory provides at the same time two results:If the monodromy group of a differential equation of F

47、uchs’ type is soluble (almost soluble) then this equation is soluble by quadratures (by generalized quadratures).If the monodromy group of a differential equation of Fuchs’ type is not soluble (almost soluble) then this

48、 equation is not solvable by quadratures (by generalized quadratures).,Theorem 3. If the monodromy group of the differential equation is not soluble (almost soluble) then almost every solution of this equation is not

49、representable in terms of single-valued S-functions by means of compositions, meromorphic operations, integrations, differentiations and solutions of algebraic equations.,Theorem 4. A non-triangular system with matric

50、es Ais sufficiently small, ?Ai? < ? (a1,?,ak,n), is strictly non-solvable, i.e. it is not solvable even using all single-valued S-functions, compositions, meromorphic operations, integrations, differentiations, and so

51、lutions of algebraic equations.,四、數(shù)學(xué)詩詞化,大道至簡學(xué)海無邊不勝繁，大道至簡本自然。與其結(jié)果千百個，不如抓住線一端。學(xué)數(shù)參禪學(xué)數(shù)深似學(xué)參禪，一經(jīng)領(lǐng)悟便超然。五燈會元東方亮，光芒四射照人間。詩先知學(xué)海無邊多分支，大本大要詩先知。至精至簡詩中出，每逢妙處便有詩。,數(shù)學(xué)道理化 道理哲學(xué)化 哲學(xué)浪漫化 浪漫藝術(shù)化 藝術(shù)詩詞化 詩詞模塊化 模塊網(wǎng)絡(luò)化,在原理化、詩詞化、藝術(shù)化的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)

52、解釋體系和猜測系統(tǒng)。中西合璧，探索數(shù)學(xué)真諦。用東方文化濟(jì)西方科學(xué)之窮。用哲學(xué)家的睿思、詩人的慧眼，將晦澀難懂的現(xiàn)代數(shù)學(xué)點化成精神上可以縱橫馳騁，理性上可以自由翱翔的充滿詩情畫意的藝術(shù)空間。,學(xué) = 學(xué)會 = 會學(xué) = 興于詩、立于禮、成于樂 = 興于詩、立于理、成于樂 = 興于美、立于真、成于真善美 = 興于藝術(shù)、立于科學(xué)、成于自然科學(xué)與人文科學(xué)相 結(jié)合 ? 興于中國傳統(tǒng)文化、

53、立于現(xiàn)代數(shù)學(xué)、成于現(xiàn)代數(shù)學(xué) 與中國傳統(tǒng)文化相結(jié)合 ? 興于武俠小說、立于現(xiàn)代數(shù)學(xué)、成于現(xiàn)代數(shù)學(xué)與武 俠小說相結(jié)合,興于詩、立于禮、成于樂不學(xué)詩，無以言，不學(xué)禮，無以立；禮之用，和為貴。禮者天地之序，樂者天地之和，上好禮，則民易使也。人而不為《周南》《召南》，其猶正墻面而立也與！,關(guān)關(guān)雎鳩，在河之洲。窈窕淑女，君子好逑。 窈窕淑女，寤寐求之。 求之不得，寤寐思服。悠哉悠哉。輾轉(zhuǎn)反側(cè)。三百

54、五篇孔子皆弦歌之，以求合韶、武、雅頌之音。禮樂自此可得而述，以備王道，成六藝。,孔子學(xué)鼓琴師襄子，十日不進(jìn)。師襄子曰：“可以益矣?！笨鬃釉唬骸扒鹨蚜?xí)其曲矣，未得其數(shù)也?！庇虚g，曰：“已習(xí)其數(shù)，可以益矣?！笨鬃釉唬骸扒鹞吹闷渲疽??！?有間，曰：“已習(xí)其志，可以益矣?！?孔子曰：“丘得其為人，黯然而黑 ，幾然而長，眼如望羊，如王四國，非文王其誰能為此也!”師襄子辟席再拜，曰：“師蓋云《文王操》也?！?詩者天地之心，理者天地之序，樂者

55、天地之和。詩是觀照和感受天地的方式，詩人以直覺體驗天地之心，將自己的心接通天地之心。詩的構(gòu)思是意境開拓與創(chuàng)造的過程，是主觀情景與客觀景物融合而形成的境界和范圍。語言的本質(zhì)和藝術(shù)的本質(zhì)都在于詩。而詩的本質(zhì)在于真理的建立。,詩 = 觀照和感受天地的方式 = 破除魔法的語言詩意化 = 浪漫化 = 對功利化世界的反抗 = 從低級自我走向完美的自我生成詩性智慧 = 想象與理性成熟的完美結(jié)合

56、 = 人類真正的精神家園,但肯尋詩便有詩，靈犀一點是我詩。夕陽芳草尋常物，解用都為絕妙詞。,微分方程泛中流 幾何代數(shù)雙豐收 喜看數(shù)學(xué)成一統(tǒng) 八方風(fēng)雨會中州,,,,,分析問題幾何攻 有窮無窮兩相通無窮本從有窮出 先向有窮問無窮,內(nèi)積緊化意境高有窮無窮一念遙強攻無計弱開路無窮有溝緊作橋,外積辛化意境高有窮無窮一念遙強攻無計弱開路無窮有溝辛作橋,象數(shù)交會意境高空間泛函一念遙強攻無計弱開路陰陽對偶過鵲橋,象數(shù)交會意境高

57、流形映射一念遙強攻無計弱開路陰陽對偶過鵲橋,分析問題幾何攻 幾何分析兩相通陰陽對偶象數(shù)對 象數(shù)交會妙無窮,微分方程泛中流 幾何代數(shù)雙豐收喜看數(shù)學(xué)成一統(tǒng) 八方風(fēng)雨會中州,,,令 分析 = 泛函分析 幾何 = 歐氏幾何從有窮維空間到無窮維空間,令 分析 = 可積系統(tǒng) 幾何 = 辛幾何從有窮維可積系統(tǒng)到無窮維可積系統(tǒng),,分析問題幾何攻 有窮無窮兩相通 無窮本從有窮出 先向有窮問無窮,低維

58、探路把門敲去粗取精維數(shù)高,重新表述有窮維的結(jié)果使之適合任意維,,變分原理,Lax方程，辛結(jié)構(gòu),,,,,不動點定理,Liouville可積系統(tǒng),變易不易求簡易,不動點算法,單調(diào)算子迭代序列,不變量理論,完全可積系統(tǒng),Broumer不動點定理,Shauder不動點定理,不變量算法,作用-角變量Darboux變換,拓?fù)涠壤碚?同倫群同倫不變量,拓?fù)鋱稣?同調(diào)群同調(diào)不變量,de-Rham上同調(diào),Levay-Shauder不動點定理,

59、延展參數(shù)法同倫算法,Hodge分解Atiyah-Singer指標(biāo)定理Yang-Mills方程Donaldson-Witten理論,陰陽對偶過鵲橋,原空間,相空間,對偶空間,弱收斂,弱列緊,自反Banach空間,有界集弱列緊Rellich嵌入定理,Lie代數(shù)的對偶空間標(biāo)準(zhǔn)Lie-Poisson 結(jié)構(gòu)Kirillov定理,,,,,橢圓邊值問題,Riemann-Hilbert問題,,,線性泛函的表示 Riesz定理

60、,Poisson括號的矩陣表示Yang-Boxter方程 r矩陣,,,,,譜分析,反散射方法,Fourier分析,非線性Fourier分析,幾何問題分析攻 ，流形曲面兩相通； 分析問題幾何攻，幾何分析兩相通；曲面本自平面出，由平及曲妙無窮。 流形映射象數(shù)對，陰陽對偶妙無窮。由平及曲曲為先 ，曲率聯(lián)絡(luò)最相關(guān)。 算子方程解為先 ，曲率聯(lián)絡(luò)最相關(guān)。聯(lián)絡(luò)產(chǎn)生新導(dǎo)數(shù) ，曲率為零舊空間。 聯(lián)

61、絡(luò)線性零曲率 ，可積系統(tǒng)開新篇。,令 分析 = 可積系統(tǒng) 從有窮維可積系統(tǒng)到無窮維可積系統(tǒng),令 代數(shù) = Lie代數(shù) 從有窮維Lie代數(shù)到無窮維Lie代數(shù),,分析問題代數(shù)攻 有窮無窮兩相通 無窮本從有窮出 先向有窮問無窮,,低維探路把門敲，去粗取精維數(shù)高，強攻無計弱開路，無窮有溝辛作橋,完全可積辛為先，守恒轉(zhuǎn)角兩相連，泊松括號拉氏對，有窮無窮一線牽,詩化泛函分析古人登高意氣豪，絕頂一覽眾山小

62、。哪知天出九天外，更比九天無限高。分析問題幾何攻，有窮無窮兩相通。無窮本從有窮出，先向有窮問無窮。低維探路把門敲，去粗取精維數(shù)高。強攻無計弱開路，無窮有溝緊作橋。,強攻無計弱先行，分部積分階次平。兩側(cè)空間齊同后，正定有逆解方程。算子方程緊當(dāng)先，有窮無窮兩相連。高階嵌入低階度，便有緊性立中間。莫道弱字不禁風(fēng)，坐標(biāo)投影建奇功。光滑階次高天半，強弱導(dǎo)數(shù)兩相通。,有界閉凸算子緊，集合自身變自身，變中不變守恒律，動中

63、不動求真根。單調(diào)連續(xù)正則錐，不出區(qū)間自來回，錐改正規(guī)算子緊，雙向逼近解合圍。兩端移動不過河，中間變化曲折多，莫道變化無規(guī)律，同倫不變代數(shù)和。,原象轉(zhuǎn)圈意平常，象點旋轉(zhuǎn)分外忙，正轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)不空轉(zhuǎn)，必有零點圈中藏。象點移動不到邊，由此及彼曲線牽，同倫不變拓?fù)涠?，萬象歸一滿空間。參考書：張鴻慶. 《泛函分析》，大連理工大學(xué)出版社，2007.,詩化微分幾何序曲 兩茫然大學(xué)畢業(yè)四十年 ，纖維同調(diào)兩茫然；年逾花甲生疾病

64、 ，猶有雄心破重關(guān)。長流水破釜沉舟學(xué)幾何 ，進(jìn)展艱難問題多，晝夜不停長流水 ，漸覺有味寫贊歌。,月光曲映萬川一輪明月映萬川 ，滿把清輝下人間，請來明月家中坐 ，心隨遠(yuǎn)客上九天。 水調(diào)歌頭 蘇軾 明月幾時有， 把酒問青天， 不知天上宮闕，今夕是何年， 我欲乘風(fēng)歸去，又恐瓊樓玉宇， 高處不勝寒，起舞弄清

65、影，何似在人間。四方上下曰宇，往古來今曰宙，宙中有宇，宇中有宙。,木蘭花慢 辛棄疾可憐今夕月， 向何處去悠悠，是別有人間， 那邊才見，光影東頭，是天外空汗漫， 但長風(fēng)浩浩送中秋，飛鏡無根誰系，姮娥不嫁誰留？春江花月夜 張若虛春江潮水連海平，海上明月共潮生，滟滟隨波千萬里，何處春江無月明。,嘉陵江 元稹 千里嘉陵江水聲，何年重繞此江行；只應(yīng)添得清宵夢，時見滿

66、江流月明。襄邑道中 陳與義飛花兩岸照船紅，百里榆堤半日風(fēng)。臥看滿天云不動，不知云與我俱東。引 力 頌詩人問月意無窮，蘋果樹下大道通。引力本自彎曲出，四維彎曲度時空。,念 奴 嬌,大江東去，流不盡千古自然規(guī)律，孤波乍起，狂喜過，策馬窮追不息；亂石穿空，驚濤拍岸，卷起千堆雪，宇宙之舞，分形混沌撞擊；喜看幾何分析，對偶情正好，正本清源，行云流水談笑間，疑難瓦解冰消。數(shù)學(xué)神游，多情應(yīng)笑我，滿頭華發(fā)，年近古稀，

67、猶自勤學(xué)未了。,一江流水在文人眼中是一篇絕妙詩詞文章在作曲家眼中是動人的音樂旋律在數(shù)學(xué)家眼中是一組非線性偏微分方程在武學(xué)大師眼里是一套連綿不斷無懈可擊的武功抽刀斷水水更流，只因流水間蘊含著一種生生不息之機理非任何力量所能斷絕，若有人武功與流水一般，必將無敵于天下,一個中心，兩個基本點本 源 頌幾何問題分析攻 ，流形曲面兩相通；曲面本自平面出，由平及曲妙無窮。曲 為 先由平及曲曲為先 ，曲率聯(lián)絡(luò)最相關(guān)。

68、聯(lián)絡(luò)產(chǎn)生新導(dǎo)數(shù) ，曲率為零舊空間。,幾何詩,東 坡 問橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同；不識曲面真面目，只緣身在曲面中。基 本 型一生二來二生三，三生萬物基為三；弧長偏離基本量，基本形式定江山?；?本 式基底求導(dǎo)新洞天 ，聯(lián)絡(luò)度規(guī)兩相連；二階導(dǎo)數(shù)求分量 ，基本公式天下傳。,歐 拉 頌縱橫彎曲不一般，條件極值求兩端。正交方向主曲率，歐拉公式一線通。高 斯 頌橫看成緯豎成經(jīng) ，通天測地倍有情。高斯映射面積比，極