《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)導(dǎo)論》伍德里奇-第四版-筆記和習(xí)題答案(2-

1、 使用普通最小二乘法，此時(shí)最小化的殘差平方和為 ? ?21 1ni i i y x ?? ? ?利用一元微積分可以證明， 1 ? 必須滿足一階條件 ? ? 1 1 0ni i i i x y x ?? ? ? ?從而解出 1 ? 為： 1 1 21ni i i ni ix yx? ??? ??當(dāng)且僅當(dāng) 0 x ? 時(shí)，這兩個(gè)估計(jì)值才是相同的。 2.2 課后習(xí)題詳解 一、習(xí)題 1．在簡單線性回歸模型 0 1 y x u ? ? ? ? ?

2、 中，假定 ? ? 0 E u ? 。令 ? ? 0 E u ? ? ，證明：這個(gè)模型總可以改寫為另一種形式：斜率與原來相同，但截距和誤差有所不同，并且新的誤差期望值為零。 證明：在方程右邊加上 ? ? 0 E u ? ? ，則 0 0 1 0 y x u ? ? ? ? ? ? ? ? ?令新的誤差項(xiàng)為 0 e u ? ? ? ，因此 ? ? 0 E e ? 。 新的截距項(xiàng)為 0 0 ? ? ? ，斜率不變?yōu)?1 ? 。 2．下表包含

3、了 8 個(gè)學(xué)生的 ACT 分?jǐn)?shù)和 GPA（平均成績） 。平均成績以四分制計(jì)算，且保留一位小數(shù)。 student GPA ACT 1 2.8 21 2 3.4 24 3 3.0 26 4 3.5 27 5 3.6 29 6 3.0 25 7 2.7 25 8 3.7 30 （Ⅰ）利用 OLS 估計(jì)GPA和 ACT 的關(guān)系；也就是說，求出如下方程中的截距和斜率估計(jì)值 0 1 ? ? GPA ACT ?

4、? ? ?＾評(píng)價(jià)這個(gè)關(guān)系的方向。這里的截距有沒有一個(gè)有用的解釋？請(qǐng)說明。如果 ACT 分?jǐn)?shù)提高 5 分，預(yù)期GPA會(huì)提高多少？ （Ⅱ）計(jì)算每次觀測的擬合值和殘差，并驗(yàn)證殘差和（近似）為零。 （Ⅲ）當(dāng) 20 ACT ? 時(shí)，GPA的預(yù)測值為多少？ （Ⅳ）對(duì)這 8 個(gè)學(xué)生來說，GPA的變異中，有多少能由 ACT 解釋？試說明。 答： （Ⅰ）變量的均值為： 3.2125 GPA ? ， 25.875 ACT ? 。 ? ?? ?1 5.812

5、5ni i i GPA GPA ACT ACT? ? ? ? ?（Ⅲ）在（Ⅱ）的方程中，如果備考課程有效，那么 1 ? 的符號(hào)應(yīng)該是什么？ （Ⅳ）在（Ⅱ）的方程中， 0 ? 該如何解釋？ 答： （Ⅰ）構(gòu)建實(shí)驗(yàn)時(shí)，首先隨機(jī)分配準(zhǔn)備課程的小時(shí)數(shù)，以保證準(zhǔn)備課程的時(shí)間與其他影響 SAT 的因素是獨(dú)立的。然后收集實(shí)驗(yàn)中每個(gè)學(xué)生 SAT 的數(shù)據(jù)，建立樣本 ? ? ? ?1 ， ： ， ， i i sat hour i n ? ，n 表示試驗(yàn)中所

6、包括的學(xué)生的數(shù)量。根據(jù)方程 2.7，應(yīng)該嘗試采用盡可能多的有差異的“小時(shí)數(shù)”。 （Ⅱ）誤差項(xiàng)還可能包含以下三個(gè)因素：天賦能力、家庭收入以及考試當(dāng)天的健康狀況。如果學(xué)生擁有天賦能力，那么他們不需要為考試花費(fèi)太多時(shí)間，能力與時(shí)間是負(fù)相關(guān)的。家庭收入與學(xué)習(xí)時(shí)間呈正相關(guān)關(guān)系，因?yàn)榧彝ナ杖朐礁?，就能?fù)擔(dān)去越多的課時(shí)費(fèi)用。排除慢性的健康問題，考試當(dāng)天的健康狀況與為準(zhǔn)備考試花費(fèi)的時(shí)間是無關(guān)的。 （Ⅲ）如果備考課程有效， 1 ? 的符號(hào)應(yīng)該為正，在其他

7、因素相同的情況下，備考時(shí)間越多， sat 越高。 （Ⅳ）截距有一個(gè)有用的解釋：因?yàn)?? ? 0 E U ? ， 0 ? 表示備考時(shí)間為 0 時(shí)學(xué)生獲得的平均 sat 總分。 5．考慮儲(chǔ)蓄函數(shù) 0 1 sav inc u ? ? ? ? ? ， u inc e ? ? 其中， e 是一個(gè)隨機(jī)變量，且有 ? ? 0 E e ? 和 ? ? 2 Var e e ? ? ，假設(shè) e 獨(dú)立于inc 。 （Ⅰ）證明：若 ? ? | 0 E u i

8、nc ? ，則滿足零條件均值的關(guān)鍵假設(shè)（假定 SLR.4） 。[提示：若 e 獨(dú)立于inc ，則 ? ? ? ? | E u inc E e ? ] （Ⅱ）證明：若 ? ? 2 Var | e u inc inc ? ? ，則不滿足同方差假定 SLR.5。特別地， sav 的方差隨著inc 而增加。[提示：若 e 和inc 獨(dú)立，則 ? ? ? ? Var | Var e inc e ? 。] （Ⅲ）討論支持儲(chǔ)蓄方差隨著家庭收入遞增的證

9、據(jù)。 證明： （Ⅰ） 計(jì)算inc 的條件期望值時(shí)， inc 變?yōu)橐粋€(gè)常數(shù)， 因此 ? ? ? ? ? ? | 0 E u inc E inc e inc incE e inc ? ? ? ? 。 （Ⅱ）inc 的方差為： ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 Var | Var Var e u inc inc e inc inc e inc inc ? ? ? ? ? ? 。 （Ⅲ）低收入家庭支出的靈活性較低，因?yàn)榈褪杖爰彝ケ仨毷紫戎Ц?/p>

10、衣食住行等必需品。而高收入家庭具有較高的靈活性，部分選擇更多的消費(fèi)，而另一部分家庭選擇更多的儲(chǔ)蓄。這種較高的靈活性暗示高收入家庭中儲(chǔ)蓄的變動(dòng)幅度更大。 6．令 0 ? ? 和 1 ? ? 分別為 OLS 截距和斜率估計(jì)量，并令u 為誤差（不是殘差）的樣本均值。 （Ⅰ）證明： 1 ? ? 可寫成 1 1 1 ? ni i i wu ? ?? ? ?? ，其中 /SST i i i w d ? 和 i i d x x ? ? 。 （Ⅱ）利用

11、（Ⅰ）及1 0ni i w? ? ? ，證明： 1 ? ? 和u 無關(guān)。[提示：要求你證明 ? ? 1 1 ? 0 E u ? ? ? ? ? ] （Ⅲ）證明 0 ? ? 可寫成 ? ? 0 0 1 1 ? ? u x ? ? ? ? ? ? ? ? 。 （Ⅳ）利用（Ⅱ）和（Ⅲ）證明： ? ? ? ?2 2 2 0 ? Var SSTx n x ? ? ? ? ? ／ ／ 。 （Ⅴ） （Ⅳ）中的表達(dá)式能簡化成方程（2.58）嗎？[提示：