圓錐曲線競賽考試題及答案

1、競賽圓錐曲線專題階段考試 競賽圓錐曲線專題階段考試（時間 （時間 120 分鐘滿分 分鐘滿分 140 分） 分）一 ：填空題（ 本題共 8 個小題，每題 8 分共計 64 分）1.方程2 2 6( 4) 6( 3) x y ? ? ? = | 2 x + y – 18 |所表示的曲線是 2.過點 的所有直線中，過兩個有理點（縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是有 ) 0 , 2007 (理數(shù)的點）的直線條數(shù)為 3.如圖

2、，從雙曲線 的左焦點 F 引圓 的切2 22 2 1( 0, 0) x y a b a b ? ? ? ? 2 2 2 x y a ? ?線，切點為 T．延長 FT 交雙曲線右支于 P 點若 M 為線段 FP 的中點，O為坐標(biāo)原點，則 與 的大小關(guān)系為 | | | | MO MT ? b a ?4.對于每一個整數(shù) n，拋物線 2 2 ( ) (2 1) 1 y n n x n x ? ? ? ? ? 與 x 軸交于兩點, ,| |

3、n n n n A B A B 表示該兩點間的距離，則 1 1 2 2 2008 2008 | | | | | | A B A B A B ? ? ? ? = 5.已知 ,直線 ： ，直線 ： ) 23 , ( ? ? ? ? 1 l 0 cos 1 ? ? ? ? b y x ? 2 l， 與 的位置關(guān)系是 a y x ? ? ? ? ? cos 1 sin 0 ? 1 l 2 l6.若 a，b，c

4、成等差數(shù)列，則直線 ax+by+c = 0 被橢圓 截得2 21 2 8x y ? ?線段的中點的軌跡方程為 7.過直線 ： 上的一點 作一個長軸最短的橢圓，使其焦點 l 9 y x ? ? P為 ，則橢圓的方程為 ? ? ? ? 1 2 3,0 , 3,0 F F ?8 已知橢圓 的焦距是 4，則 a = 2 2

5、2 a a x - y =1 2二：解答題（9 題 18 分，10 題 18 分，11 題 20 分，附加題 20 分共計76 分）9（本題 18 分）設(shè) 是拋物線 的焦點， 為拋物線上異于原 F x y 4 2 ? B A、點 的兩點，且滿足 ．延長 分別交拋物線于點 O 0 ? ? FB FA BF AF、 D C、（如圖） ．求四邊形 面積的最小值． ABCD3.．| | | | MO MT b a ? ? ?4.20082009

6、5.垂直 6. . 1 2) 1 ( ) 21 ( 222 ? ? ? ? y x7. ；2 21 45 36x y ? ?解析 解析：設(shè)直線 上的點為 ，取 關(guān)于直線 l ? ? , 9 P t t ? ? ? 1 3,0 F ? l的對稱點 ，據(jù)橢圓定義， 81 54?? ? 9,6 Q ?9.設(shè) 是拋物線 的焦點， 為拋物線上異于原點 F x y 4 2 ? B A、的兩點，且滿足 ．延長 分別交拋物線于點 （如圖

7、） ．求四邊形 O 0 ? ? FB FA BF AF、 D C、面積的最小值． ABCD9.解析：設(shè) ，由題設(shè)知， ) , ( ) , 2 2 1 1 y x C y x A 、 、直線 的斜率存在，設(shè)為 ． AC k因直線 過焦點 ，所以，直線 AC ) 0 , 1 ( F AC的方程為 ． ) 1 ( ? ? x k y聯(lián)立方程組 ，消 得? ? ??? ?x yx k y4) 1 (2 y 0 ) 2 ( 2 2 2 2

8、 2 ? ? ? ? k x k x k由根與系數(shù)的關(guān)系知： ，……5 分 222 14 2kk x x ? ? ? 1 2 1 ? x x于是 22 122 1 ) ) | | y y x x AC ? ? ? ? 、 、 2 122 12 4 ) 1 x x x x k ? ? ? ? 、……10 分 4 4 2 12222 ? ? ? ??? ? ?? ? ? ?kk k 22) 1 ( 4kk ? ?又因為 ，所以直線 的斜

9、率為 ， BD AC ? BD k1 ?從而直線 的方程為： ，同理可得 ．……15 分 BD ) 1 ( 1 ? ? ? x k y ) 1 ( 4 | | 2 k BD ? ?故 ) 2 1 ( 8 ) 1 ( 8 | | | | 212222 2? ? ? ? ? ? ? k k kk CD AB S ABCD 32 ) 2 2 ( 8 ? ? ? ?當(dāng) 時等號成立．所以，四邊形 的最小面積為 32． ……20 分