集值優(yōu)化最優(yōu)性條件與穩(wěn)定性問題的研究.pdf

1、集值優(yōu)化理論在不動點、變分學、微分包含、最優(yōu)控制、數(shù)理經(jīng)濟學等領域有著廣泛的應用，是目前應用數(shù)學領域中備受關注的熱點之一.對這一問題的研究涉及到集值分析、凸分析、線性與非線性分析、非光滑分析、拓撲向量格、偏序理論等數(shù)學分支，有重要的學術價值和相當?shù)碾y度. 集值優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件和穩(wěn)定性在集值優(yōu)化理論中占有重要的地位.最優(yōu)性條件是建立現(xiàn)代優(yōu)化算法的重要基礎；穩(wěn)定性是優(yōu)化理論的重要組成部分，向量優(yōu)化的穩(wěn)定性通過研究各種適定性取得了

2、豐富的結果.但是，關于研究集值優(yōu)化問題的穩(wěn)定性的文獻很少見到(HuangX.X.僅研究無約束參數(shù)集值優(yōu)化問題在上半連續(xù)意義下的穩(wěn)定性).本文主要對集值優(yōu)化問題的各種有效性的最優(yōu)性條件及集值優(yōu)化問題的有效解集和有效點集的穩(wěn)定性進行了較為深入的研究.文章通過集值映射的導數(shù)、廣義梯度及集值優(yōu)化問題的鞍點刻畫集值優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件；并且集中研究集值優(yōu)化問題的有效解集在各種上半連續(xù)意義下的穩(wěn)定性及有效點集在次微分意義下的穩(wěn)定性.具體內容如下：●

3、一方面，在賦范空間中，討論集值優(yōu)化問題的有效元的導數(shù)型最優(yōu)性條件.給出了可微Γ-擬凸集值映射的概念.當目標映射和約束映射的下方向導數(shù)存在時，在近似錐次類凸假設下利用有效點的性質和凸集分離定理得到了集值優(yōu)化問題有效元的導數(shù)型Kuhn-Tucker必要條件；在可微Γ-擬凸性的假設下得到Kuhn-Tucker最優(yōu)性充分條件；此外利用集值映射沿弱方向錐的導數(shù)特性給出有效解最優(yōu)性的另一種刻畫.另一方面，在局部凸拓撲向量空間，利用DinhT.L.給

4、出的集值映射的下半可微性定義了集值映射的導數(shù).在凸性及擬凸性的假設下，利用凸集分離定理得到了集值優(yōu)化問題的超有效元導數(shù)型Kuhn-Tucker最優(yōu)性充分和必要條件. ●在局部凸拓撲向量空間中，利用強鞍點和嚴鞍點刻畫了集值優(yōu)化問題的強有效元與嚴有效元的最優(yōu)性條件.首次定義了集值優(yōu)化問題的強鞍點和嚴鞍點，給出了強鞍點和嚴鞍點的等價刻畫；在一定凸性條件下，通過凸集分離定理及強鞍點、嚴鞍點的性質分別得到了強鞍點和嚴鞍點的最優(yōu)性條件；考慮

5、了Lagrange型對偶問題，分別給出了強有效、嚴有效意義下的弱對偶、逆對偶、強對偶定理，并得到了分別由強鞍點、嚴鞍點刻畫的強有效元、嚴有效元的最優(yōu)性條件. ●在錐偏序的Banach空間中，討論由廣義梯度刻畫的集值優(yōu)化問題嚴有效元、超有效元的最優(yōu)性條件.應用上圖Contingent導數(shù)，對集值映射分別引入在嚴有效和超有效意義下的廣義梯度.在一定的條件下，借助錐分離定理分別證明了嚴有效意義下的廣義梯度和超有效意義下的廣義梯度的存在

6、性，并且給出了嚴有效意義下廣義梯度的性質，得到了由廣義梯度刻畫的集值優(yōu)化問題的嚴有效解和超有效解的最優(yōu)性條件. ●討論集值優(yōu)化問題的適定性及該問題的有效解集在半連續(xù)意義下的穩(wěn)定性.在度量空間中，首次提出集值優(yōu)化問題點態(tài)適定的概念，給出集值優(yōu)化問題點態(tài)適定的等價刻畫，并驗證一類集值優(yōu)化問題是點態(tài)適定的，得到集值映射的Ekeland變分原理；同時提出集值優(yōu)化問題B-適定的概念，利用漸近極小序列刻畫了B-適定性，證明一個B-適定的集值

7、優(yōu)化問題的任意極小集序列在定義域空間的投影收斂到該問題的有效解集，最后得到參數(shù)集值優(yōu)化問題在上Hausdoff半連續(xù)意義下的穩(wěn)定性. ●在賦范空間中討論集值優(yōu)化問題在半連續(xù)及錐次微分意義下的穩(wěn)定性.分別在超有效和嚴有效意義下定義了集值映射的次微分，在一定的條件下，利用錐分離定理證明次微分的存在性及其性質；考慮控制錐擾動以及控制錐、約束集、目標映射三者同時擾動時，集值優(yōu)化問題在錐超次微分意義下的穩(wěn)定性及在上半連續(xù)意義下的穩(wěn)定性；給