Carnot群上及與廣義Greiner向量場(chǎng)相關(guān)的偏微分算子.pdf

1、本文的研究?jī)?nèi)容主要有以下兩個(gè)部分： 一、Carnot群上的偏微分算子 我們考慮了一類特殊的2步Carnot群-H型群上的偏微分方程。首先，我們構(gòu)造出了H型群上的一類極坐標(biāo)，利用它顯式地計(jì)算出了H型群上球的體積和p-次Laplace算子基本解中的常數(shù)。然后，我們討論了H型群上一些偏微分不等式弱解的不存在性。我們用“積分關(guān)系式法”證明了H型群上退化橢圓型不等式和一階及二階退化發(fā)展不等式弱解的不存在性。粗略地說(shuō)，我們的方法基于

2、推導(dǎo)出所考慮問(wèn)題的可能弱解的一個(gè)合適的先驗(yàn)估計(jì)，而這一過(guò)程是通過(guò)仔細(xì)地選擇特殊的非負(fù)試驗(yàn)函數(shù)和伸縮討論來(lái)完成的。這種方法避免了使用比較原理或最大值原理，能被應(yīng)用于一些更一般的問(wèn)題中。 接著，我們研究了Carnot群G上雙非線性退化拋物型方程“一般正局部解”的不存在性。這個(gè)方程有很強(qiáng)的實(shí)際背景，具有重要的應(yīng)用價(jià)值。特別地，我們考慮了奇異位勢(shì)。我們的結(jié)果說(shuō)明了，在可極化Carnot群上，這類方程正解的不存在性與Hardy型不等式是緊

3、密聯(lián)系在一起的。 二．與廣義Greinet向量場(chǎng)相關(guān)的偏微分算子 廣義Greiner向量場(chǎng)為(其中k≥1)不是任何冪零Lie群的基，不具有平移不變性，也不滿足Hrmander條件。與之相聯(lián)系的廣義Greiner算予△<,L>不再是任何冪零Lie群上的平移不變微分算子，但它是擬齊次偏微分算子。 與橢圓型方程的幾何最大值原理類似的結(jié)果，在廣義Greiner向量場(chǎng)情形下是否成立，還是一個(gè)開(kāi)問(wèn)題。該開(kāi)問(wèn)題可敘述為

4、：設(shè)Ω cR<'2n+1>是一個(gè)連通有界開(kāi)集，f∈L<'Q>(Ω)，u ∈L<,2,Q><,low>(Ω)∩ C(Ω)，且在Ω上滿足Lu=∑<,aiju,ij>≥f，則存在一個(gè)正常數(shù)C=c(Q，v，Ω)，使得sup u≤supu<'+>+c||f||<,L<'Q>>(Ω)。我們通過(guò)構(gòu)造與廣義Greiner向量場(chǎng)相聯(lián)系的一類非散度型方程的非平凡解，指出在廣義Greiner向量場(chǎng)情形下，在上式的右端中，f的L<'Q>模是最佳可能的指標(biāo)。我們

5、建立了廣義Greiner向量場(chǎng)的Hardy型不等式和Rellich型不等式。Hardy型不等式和Rellich型不等式在偏微分方程的研究中都有著重要作用。我們通過(guò)構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，給出了空間R<'2n+1>中擬球域內(nèi)外的Hardy型不等式；給出了相應(yīng)于廣義Greiner向量場(chǎng)的p-次Laplace算子△<,L,p>的廣義Picone型恒等式，并利用它得到了更一般的Hardy型不等：式；證明了廣義Greiner算子△<,L>的Hardy