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文檔簡介
1、本文主要討論了域擴張的Kummer理論,研究了函數(shù)域上的廣義Kummer擴張,得出其一些算術(shù)性質(zhì).
第一章給出了一般域上的Kummer理論.我們證明,如域K上GK-模A和算子(δ):A→A滿足一些條件,則域K的指數(shù)為n的Abel擴張L/K與AK=AGK的滿足A(δ)K(∩)△(∩)AK的子集△之間存在一一對應(yīng)關(guān)系:(公式略)
第二章引入了函數(shù)域上Fq(T)上廣義Kummer擴張的概念,它是由一類特殊多項式F(
2、y)=yqn+an-1yqn-1+…+a2yq2+a1yq+ay決定的擴張.我們首先得到了一些初步結(jié)果:(1)F(y)的根集合R為Fq上的n維線性空間;(2)Gal(L/K)是GLn(Fq)的子群.由于一般情形下,廣義Kummer擴張的Galois群及其他一些算術(shù)性質(zhì)的研究比較困難,目前還沒有合適的方法,所以本文接下來研究了n=2時其中的一大類特殊多項式F(y)=yq2+ayq+Thy,a∈(Th)決定的廣義Kummer擴張.對于這類擴
3、張,我們給出了其Galois群的確切結(jié)構(gòu),得出此時有Gal(L/K)≌GL2(Fq).這也是本文的主要結(jié)果.
第三章在前面的基礎(chǔ)上,選取第二章中所研究的多項式的簡單情形F(y)=yq2+ayq+Ty,a∈(T)作為研究對象,研究素位的分歧情況,計算了一些子域的虧格.主要有如下結(jié)論:(1)擴張L/K中的分歧位只有T和∞,并且給出了分歧指數(shù)和剩余類域次數(shù);(2)記dega=n,則L的虧格為(q+1)2(q-1)2/2(n-1)
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