基于高階有限差分格式的Inverse Lax-Wendroff方法及其穩(wěn)定性分析.pdf

1、用高階有限差分格式數(shù)值求解有限區(qū)域上偏微分方程（組）的初邊值問題時，邊界條件的處理非常重要，它直接影響數(shù)值方法的相容性、穩(wěn)定性和精度。本文主要將Inverse Lax-Wendroff方法（簡稱ILW方法）與簡化InverseLax-Wendroff方法（Simplified Inverse Lax-Wendroff method，簡稱SILW方法）用于求解雙曲守恒律方程和擴(kuò)散方程初邊值問題高階有限差分格式的邊界處理中;并運(yùn)用GKS(G

2、ustafsson，Kreiss and Sundstr(o)m)分析和特征譜可視化方法分析格式的穩(wěn)定性。
　　首先，我們將ILW方法及SILW方法用于求解一維雙曲守恒律方程（組）初邊值問題高階迎風(fēng)格式的邊界處理之中。邊界條件處理主要有兩個問題:一是，高階有限差分方法需要較大的模板，導(dǎo)致在邊界點(diǎn)附近需要定義虛擬點(diǎn)值;另一是，給定的物理邊界不在網(wǎng)格格點(diǎn)上。這都會給構(gòu)造有效的數(shù)值邊界條件帶來困難。ILW方法及SILW方法可以很好的解決

3、上述兩個問題并得到穩(wěn)定且具有高精度的格式。ILW方法主要運(yùn)用方程形式將邊界點(diǎn)處的空間導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為已知邊界條件的時間導(dǎo)數(shù)進(jìn)而運(yùn)用在相應(yīng)邊界點(diǎn)處的Taylor展開得到虛擬點(diǎn)的值。若方程形式很復(fù)雜或所求空間導(dǎo)數(shù)階數(shù)較高時，ILW方法會造成復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算。一種簡化的ILW方法，即SILW方法，可以減少計(jì)算的復(fù)雜性和降低計(jì)算消耗。SILW方法仍運(yùn)用在邊界點(diǎn)處Taylor展開對虛擬點(diǎn)進(jìn)行賦值，但邊界點(diǎn)處空間導(dǎo)數(shù)值由以下兩種方式得到:
　　(1)

4、由ILW方法得到;
　　(2)由拉格朗日外推得到。
　　運(yùn)用上述兩種方法構(gòu)造了有效的數(shù)值邊界條件后我們運(yùn)用GKS分析和特征譜可視化方法分析格式的穩(wěn)定性以獲得相應(yīng)參數(shù)取值，最后通過數(shù)值算例驗(yàn)證穩(wěn)定性分析結(jié)果。
　　此外，我們將SILW方法擴(kuò)展到求解一維擴(kuò)散方程初邊值問題的高階中心差分格式中。主要考慮了Dirichlet邊界和Neumann邊界兩種邊界條件。對于雙曲守恒律方程來說，邊界點(diǎn)處的所有階空間導(dǎo)數(shù)值均可以由ILW方