極小模型綱領.pdf

1、本文的目的是給予森理論——高維代數簇的分類和結構理論一個簡短但完整的綜述介紹。代數簇的分類問題是一個古老的代數幾何核心問題，也涉及影響很多數學領域。曲線和曲面的分類理論早在50年代已經由Enriques，Kodaira等人給出框架，而高維簇的分類和結構一直讓人覺得難以描述，其原因在于各種奇點問題，直到森重文在80年代利用Moricone的概念給出了3維簇的分類。更高維的森理論由于small contraction的復雜性很長時間沒有突破

2、，直到2006年的有限生成定理的證明，給出了森理論在高維可行的一個進步。特征p域的代數簇由于沒有奇點消解，我們暫時難以處理，本文討論的僅僅是特征0的代數簇，特別的，復代數簇的森理論的介紹。目前，高維復代數簇的研究幫助我們了解復流形的拓撲結構及基本群，某些特殊的奇點的類型等等。因此，高維代數簇的分類和結構理論是一個非常重要的理論。
　　 森理論的目標是對高維代數簇作出雙有理等價下的分類，它的基本思路是給定一個簇，我們希望通過一系列

3、的幾何手術得到一個等價類中的代表元，稱為極小模型。這一系列的幾何手術的核心是收縮映射(contraction)。所以我們必須首先保證收縮映射的存在性，這個定理的證明是本文的核心內容。而另一方面，如果收縮映射造成過于奇異的奇點，我們通過一個叫做flip的操作來變換它。Flips的存在性和有限性仍然沒有解決，不過近年來已經有很大的進展。另一方面，我們需要保證極小模型的唯一性，事實上，它并不是唯一的，但是可以簡單的證明(如[Kawamata0

4、8])，某些條件下(很寬松的條件)，兩個極小模型可以被一列flops連接起來。
　　 本文通過引入一些概念來簡化原有的證明中的計算(如[KM98]和Shokurov的證明)，這也是近年來代數幾何學家研究一些奇性簇的結果的應用。本文引入抽象K—簇的概念試圖簡化一些幾何描述，事實上，抽象K—簇上的除子的定義正是b—divisor的定義。文章的第二部分簡單的介紹了cone and contraction theorem，并且給出了完整

5、的證明。本文的證明思路大致和Fujino的想法類似，是一個偏幾何的證明。該定理保證了我們可以將一個不是極小的代數簇進行收縮映射——將其上一些子簇收縮成維數更低的子簇。我們希望這個過程可以完好運行直到達到極小模型。由于small contraction會制造過于奇性的奇點，其中的困難是，我們無法保證dlt flips的存在性和有限性。近年來最大的進展有限生成定理保證了在一些假設下，dlt flips的存在性和有限性可以證明。本文暫不介紹這