歐氏空間超曲面曲率流的Harnack不等式研究.pdf

1、本文分成三章。第一章中我們得到平均曲率流中局部Harnack不等式和nonconic估計(jì)。這個(gè)估計(jì)也許可以應(yīng)用于平均曲率流的手術(shù)。第二章我們研究了歐氏空間中Hk流中的Harnack不等式。在第三章中,我們應(yīng)用Hk流的Harnack不等式,得到了Hk流第II類和第Ⅲ類奇點(diǎn)分別是translating soliton和擴(kuò)張soliton的定理。 ·平均曲率流的局部Harnack不等式首先我們介紹一下在歐氏空間中超曲面的平均曲率流的定

2、義和歷史。設(shè)Mn是一個(gè)黎曼流形。 F0:Mn→Rn+1是一個(gè)Rn+1中浸入超曲而。若F(·,t):Mn×[0,T)→Rn+1是一族單參數(shù)光滑超曲面的浸入映射,且滿足方程： {(e)/(e)t F(x,t)=H(x,t)v,F(x,t)=F0. ,x∈Mn,t∈[0,t)其中v是超曲面的內(nèi)法向量。則我們稱(M,g(t))是平均曲率流的一個(gè)解。 平均曲率流的研究始于Huisken[22]。在這篇文章中,他證明在歐氏空

3、間Rn+1中的閉超曲面能夠在平均曲率流下收縮成一個(gè)點(diǎn),并且這一點(diǎn)是一個(gè)圓形的球點(diǎn)。繼而他在[23]中考慮了在一般黎曼流形Nn+1中的超曲面Mn中的平均曲率流。在[24]中研究了歐氏空間中平均曲率流的奇點(diǎn)的漸進(jìn)性質(zhì),并對奇點(diǎn)進(jìn)行了分類。在文[25]中,Huisken研究得到了外圍空間是一般黎曼流形的第一類奇點(diǎn)的漸進(jìn)自相似性質(zhì)。最近在[21]中Huisken與Sinestrari對2-凸的歐氏空間超曲面進(jìn)行了平均曲率流下的手術(shù),得到了2-凸

4、超曲面的拓?fù)浞诸悺?正如Ricci流解決了Poincare猜想,平均曲率流有望解決有Schoenflies猜想。下面陳述一下Schoenflies猜想。 猜想1(Schoenflies猜想)在歐氏空間Rn+1中,n≥3,任何微分同胚于Sn光滑的嵌入閉超曲面所包圍的區(qū)域一定微分同胚于嵌入的歐氏空間Rn+1中標(biāo)準(zhǔn)單位球Bn+1。 在[21]中,Huisken與Sinestrari得到了關(guān)于2-凸超曲面的Scheonf

5、lies型定理。 定理1([21]中推論1.3)在歐氏家間Rn+1中,n≥3,任何單連通嵌入的n維2-凸閉超曲面一定微分同胚于Sn,并且其包圍的區(qū)域一定微分同胚于嵌入的歐氏空間Rn+1中標(biāo)準(zhǔn)單位球Bn+1。 在[21]中,Huisken與Sinestrari運(yùn)用了Hamilton最近提出的一個(gè)用來證明鄰域正則性的思想完成了對2-凸超曲面的手術(shù),從而得到了定理1。而在第一章中,我們將運(yùn)用Hamilton的這一思想得到一個(gè)關(guān)

6、于平均曲率流的平均曲率導(dǎo)數(shù)的估計(jì),我們稱之為局部Harnack估計(jì)或者nonconic估計(jì)。在這里,我們并沒有對超曲面進(jìn)行2-凸的限制,而是對第二基本型進(jìn)行了另一種pinching的限制。因此,我們的估計(jì)也許可以應(yīng)用于一般情形超曲面的手術(shù)和Schoenflies猜想的證明。 設(shè)U是Mn上的一個(gè)連通開集,且在U×[0,t0],t0

7、半徑的流形Mn上的測地球,令0≤R≤使得BR(O,t>CCU,并且我們設(shè)C0=MR。令dt(x)=dt(x,O)是g(t)時(shí)刻x到O的測地距離函數(shù)。 在第一章中,我們令如下曲率條件為(★)： 定理1-3(平均曲率流的局部Harnack估計(jì))：如果在BR(O,t)×[0,R2]上面滿足曲率條件(★),則在A(x,t)∈BR/2(O,t)×[0,R2],AV∈TpMn,我們可以找到一個(gè)只與n和C0有關(guān)的正常數(shù)B,使局部Har

8、nack不等式成立：DtH+m(t)H2+2DH(V)+(Hab+m(t)gab)VaVb+BM(1+R2/R2-4d2)+1/t≥0. 定理1.4(平均曲率流中的nonconici估計(jì))在定理1.3相同的條件下,在點(diǎn)(O,R2),我們有如下平均曲率的導(dǎo)數(shù)估計(jì)：{(1)|DH(V)|2≤CM3(Hab+m(t)gab)VaVb,當(dāng)M≥1{(2)|DH(V)|2≤C(Hab+m(t)gab)VaVb, 當(dāng)0≤M<1{(3)|DH(V)|=

9、0 如果[DtH+m(t)H2{ +BM(1+/R2+1/t)](D,R2)=0{ 或者{ (Hab+m(t)gab)VaVb(O,R2)=0其中C只依賴于n和C0。Hk流的Harnack不等式第二章中我們討論了歐氏空間中的Hk流上的Harnack不等式,并且到了一些推論。 我們首先來介紹一下Hk流的定義。 設(shè)Mn是一個(gè)黎曼流形, F0:Mn→Rn+1是一個(gè)Rn+1中浸入超曲面。若 F(·,t):Mn×[0,T)→Rn+

10、1是一族單參數(shù)光滑超曲面的浸入映射,且滿足方程：{ {(e)/(e)tF(x,t)=Hk(x,t)v, x∈Mn,t∈|0,T).{ F(x,0)=F0其中V是超曲面的內(nèi)法向量。則我們稱上述浸入映射F(·,t)是一個(gè)Hκ流的解。 F.Schulze在[30],仔細(xì)的研究了Hk流的短時(shí)間存在性,得到了如下結(jié)論定理2.1([30])：令F0:Mn→Rn+1是一個(gè)光滑的浸入映射,并且H(F0(Mn))>0。則存在唯一以F0為初值的光滑

11、Hκ流解,存在時(shí)間為[0,T),其中T是極大存在時(shí)間。對于κ≥1,我們有T≥C(κ,n)-1(maxp∈M|A|(p,O))-(κ+1)。并且在1)當(dāng)0<κ<1時(shí),F0(Mn)是嚴(yán)格凸的； 2)當(dāng)κ≥1時(shí),F0(Mn)是弱凸的； 則曲面F(Mn,t)在t>0時(shí)是嚴(yán)格凸的,并且當(dāng)t→T時(shí),收縮成Rn+1中的一點(diǎn)。 在第二章中,Mt代表Hκ流的解,當(dāng)t在解存在時(shí)間[0,T)內(nèi)。在第二章和第三章中,我們假設(shè)Hk流的解滿

12、足以下條件。 基于以上的假設(shè),我們得到了Hκ流的Harnack不等式。 定理2.4對任意滿足條件(★★)的Hκ流的嚴(yán)格凸解,當(dāng)t>0時(shí),其中V為任意的切向量。 這就是Hκ流的微分Harnack不等式。我們可以通過在時(shí)空上的道路積分得到積分形式的Harnack不等式。 推論2.1對任意滿足條件(★★)的Hκ流的嚴(yán)格凸解,t>0.對任意的0

13、1/κ+1e-△/4κH(Y1,t1)≥(t1/t2)e-△/4κH(Y1,t1),推論2.2(tHκ+1的遞增性).如果M(x,t)是滿足條件(★★)的Hκ流的嚴(yán)格凸解,對任意兩個(gè)時(shí)刻0

14、Hκ知流第Ⅱ類和第Ⅲ類奇點(diǎn)分別是translating soliton和擴(kuò)張soliton的定理。 在Hκ流中,盛為民和吳超在[32]在緊流形的情況下,得到了第Ⅰ類奇點(diǎn)的結(jié)構(gòu)定理。并且通過Blow up argument指出并第II類奇點(diǎn)可以得到一族解,他們的極限收斂于一個(gè)永恒解,即滿足下面定義3.4。也就是說,這是第Ⅱ類奇點(diǎn)的另外一種方式的定義。 我們現(xiàn)在給出Hκ流translating soliton,Hκ流擴(kuò)張so

15、liton以及Hκ流的第Ⅱ類奇點(diǎn)和第Ⅲ類奇點(diǎn)的定義。 定義3.2 Hκ-translating soliton是Hκ流的一個(gè)解,同時(shí)其度量g(t)又是在Mn某個(gè)光滑向量場V的李導(dǎo)數(shù)下運(yùn)動(dòng)。即定義3.3 Hκ擴(kuò)張soliton是Hκ流的一個(gè)解,同時(shí)其度量g(t)-邊沿著Mn某個(gè)光滑向量場V的李導(dǎo)數(shù)下運(yùn)動(dòng),一邊以1/(κ+1)tgij的速率在膨脹。 定義3.4若(M,g(t))是Hk流的一個(gè)定義在-∞

16、一致有界和嚴(yán)格凸的第二基本型,且它的平均曲率H在時(shí)空中的某點(diǎn)(x0,t0)達(dá)到了最大值,則我們稱這樣解為第Ⅱ類奇點(diǎn)。 定義3.5若(M,G(t))是Hk流的一個(gè)定義在0