兩種混合隨機(jī)變量序列的收斂性及應(yīng)用.pdf

1、全文共分三章. 第一章是關(guān)于ψ-混合隨機(jī)變量序列的收斂性質(zhì).自從Dobrushin(1965)對馬氏過程引入了ψ-混合的定義之后，有許多學(xué)者對ψ-混合隨機(jī)變量序列的性質(zhì)作了研究.Ibragimov(1962)給出了ψ-混合序列的中心極限定理，Herrndoff(1983)，Paligrad(1985)，Shao(1993)和杜初午(1993)等研究了它的弱不變原理，邵啟滿(1988)研究了完全收斂性.關(guān)于ψ-混合隨機(jī)變量序列的極

2、限定理的更多細(xì)致結(jié)果參見陸傳榮和林正炎(1997)的專著.本文的第一章主要考慮逐行ψ-混合隨機(jī)變量組列的加權(quán)和.Hu和Taylor(1997)對于逐行獨立的隨機(jī)變量組列{Xni，1≤i≤n，n≥1}給出了強(qiáng)大數(shù)律的結(jié)果，在第一章的第二節(jié)，在比Hu和Taylor(1997)中更廣的一類函數(shù)ψ(定義見1.2.3)下給出了逐行ψ-混合序列加權(quán)和的L1收斂，a.s.收斂，依概率收斂及完全收斂性之間的等價關(guān)系，并在另一組條件下證明上述幾種收斂性對

3、于ψ-混合序列總成立，從而推廣了Hu和Taylor(1997)的結(jié)果. 定理0.1令kn→∞是正整數(shù)列.{Xni，1≤i≤kn，n≥1}為逐行ψ-混合隨機(jī)變量組列，∑∞n=1ψ1/2(n)＜∞，{ani，1≤i≤kn，n≥1}為常數(shù)數(shù)組，max1≤i≤kn|ani|→0.假設(shè)∞∑n=1kn∑i=1Eψ(|Xni|)/ψ(|ani|-1)＜∞，∞∑n=1(kn∑i=1ani2E|Xni|2)s＜∞，s＞0，則下列結(jié)論等價：

4、 (i)kn∑i=1aniXniL1→0；(ii)kn∑i=1aniXniC→0；(iii)kn∑i=1aniXnia.s→0；(iv)kn∑i=1aniXniP→0. 定理0.2令kn→∞是正整數(shù)列.{Xni，1≤i≤kn，n≥1}為逐行ψ-混合隨機(jī)變量組列，∑∞n=1ψ1/2(n)＜∞，{ani，1≤i≤kn，n≥1}為常數(shù)數(shù)組，max1≤i≤kn|ani|→0.假設(shè)∞∑n=1kn∑i=1Eψ(|Xni|)/ψ(|ani|-

5、1)＜∞，∞∑n=1(kn∑i=1|ani|rE|Xni|r)s＜∞，對某1≤r≤2，s＞0，則下列結(jié)論成立：(i)kn∑i=1aniXniL1→0；(ii)kn∑i=1aniXniC→0；(iii)kn∑i=1aniXnia.s→0；(iv)kn∑i=1aniXniP→0. 第二章給出了ρ*-混合隨機(jī)變量序列加權(quán)和的完全收斂性和a.s.收斂性，并將此結(jié)果應(yīng)用于線性回歸模型參數(shù)β的最小二乘估計及非參數(shù)回歸模型的權(quán)函數(shù)估計中，得到

6、了各自的強(qiáng)相合性. 定理0.3設(shè){Xn，n≥1}是ρ*-混合隨機(jī)變量序列，EXi=0，p＞1，若supi≥1E|Xi|p＜∞，對2≥p＞1，存在s∈(1/p，1]，對p＞2，存在s∈(1/2，1]，使得max1≤i≤n|ani|=O(n-s)，則Sn=n∑i=1aniXiP→0. 定理0.4設(shè){Xn，n≥1}是ρ*-混合隨機(jī)變量序列，EXi=0，|Xi|≤D，a.s.，其中D為正常數(shù)，r＞2.若存在s∈(1/r+1/2，

7、1]，使max1≤i≤n|ani|=O(n-s)，則Sn=n∑i=1aniXiC→0. 定理0.5設(shè){Xn，n≥1}是ρ*-混合隨機(jī)變量序列，EXi=0，i=1，2，….r＞2，supi≥1E|Xi|r＜∞，若存在s∈(1/r+1/2，1]，使max1≤i≤n|ani|=O(n-s)，則Sn=n∑i=1aniXiC→0. 定理0.6設(shè){Xn，n≥1}是ρ*-混合隨機(jī)變量序列，EXi=0，i=1，2，….supi≥1E|X

8、i|r＜∞，r≥2，對固定的i，有l(wèi)imn→∞ani=0.若存在bi≥0，使∞∑i=1P{|Xi|≥bi}＜∞，n∑i=1aniE(XiI(|Xi|≥bi))→0，n→∞.并且存在s1(s1＞r/2+1)，s2(s2＞2)，使得max1≤i≤n{|ani|2EXi2I(|Xi|＜bi)}r/2=O(n-s1)，max1≤i≤n{|ani|rE|Xi|rI(|Xi＜bi)}=O(n-s2)，則Sn=n∑i=1aniXia.s→0.

9、 作為定理0.3-0.6的應(yīng)用，在第二章第四節(jié)研究了具有ρ*-混合相依誤差的線性回歸模型的回歸參數(shù)估計和非參數(shù)回歸模型的權(quán)函數(shù)估計的強(qiáng)相合性.定理2.4.1給出了線性回歸模型參數(shù)β的最小二乘估計的強(qiáng)相合性.定理2.4.2給出了非參數(shù)回歸模型的權(quán)函數(shù)估計的強(qiáng)相合性. 對于平穩(wěn)序列{Xn；n≥1}，令Sn=∑nk=1Xk為其部分和過程.在一些適度的條件下，Var(Sn)/n收斂到一個常數(shù)σ2.Paligrad和Shao(1995)定

10、義了σ的兩個樣本估計量Bn，p和(^B)n，p(定義見(3.1.2)和(3.1.3))，并對于ρ-混合隨機(jī)變量序列研究了它們的漸近性質(zhì). 在第三章研究它們關(guān)于ρ*-混合隨機(jī)變量序列的性質(zhì)，得到了相合性及漸近正態(tài)性. 定理0.7設(shè){Xn，n≥1}為嚴(yán)平穩(wěn)ρ*-混合隨機(jī)變量序列，EX1=0，EX2∨p1＜∞，p≥1，σ2n→∞，n→∞.令l=ln→∞，l=o(n)，n→∞.(0.1)則Bn，pL2→σ，n→∞，Sn/√nBn

11、，pD→N(0，1)，n→∞. 定理0.8設(shè){Xn，n≥1}是嚴(yán)平穩(wěn)ρ*-混合隨機(jī)變量序列.EX1=0，E|X1|2p＜∞，p≥1，σ2n→∞，n→∞，且(0.1)成立.則有√n/l((^B)n，p-(E(^B)pn，p)1/p)D→N，(0，σ2Ap).(0.2)另外，當(dāng)p＞1時，有√n/l(Bn，p-(E(^B)pn，p)1/p)D→N(0，σ2Ap).(0.3)并且(0.2)(0.3)中的E(B)pn，p可以由EBpn，p

12、，(EBn,p)p，(E(^B)n，p)p來代替.其中Ap=2(cp/p)2∫10cov{|W(1)|p，|W(1+t)-W(t)p}dt，{W(t)，t≥0}是標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程. Paligrad和Shao(1995)對于平穩(wěn)ρ-混合序列的情況，給出了Bn，p及(^B)np是σ的相合估計，并給出了它們的漸近正態(tài)性.在本文中，對于ρ*-混合隨機(jī)變量序列，得到了與Paligrad和Shao(1995)相似的相合性結(jié)果.并且指出