關于Neuberg-Pedoe型不等式的一個注記.pdf

1、本文主要以幾何單形為研究對象，討論了關于單形的Neuberg-Pedoe型不等式.設a，b，c與a',b'，c'分別表示△ABC與△A'B'C'的三邊，△與△'分別表示它們的面積，則著名的Neuberg-Pedoe不等式為a'2(b2+c2-a2)+b'2(c2+a2-b2)+c'2(a2+b2-c2)≥16△△'，(1)其中等號當且僅當△ABC與△A'B'C'相似時成立.([2])彭家貴得到如下推廣形式：a2(b'2+c'2-a'2)

2、+b2(c22+a'2-b'2)+c2(a'2+b'2-c'2)≥8(λ'/λ△2+λ/λ'△'2).(2)等號當且僅當△ABC與△A'B'C'相似時成立，其中λ=a2+b2+c2，λ'=a'2+b'2+c'2.([9])1981年，楊路，張景中[3]率先將(1)式推廣到n維歐氏空間.隨后蘇化明[4]，冷崗松[6]，張晗方[7]等人相繼在n維歐氏空間中推廣了(1)和(2).在此基礎上，本文也得到了(1)式和(2)式在n維歐氏空間中的一類

3、推廣形式. 在第三章中得到如下兩個結論.記∑是以{A1，…，An+1}頂點的n維單形，∑的體積記作V，k維子單形{Ai，Ai1,…，Aik}的體積記作Vi，i1,…，ik，其中1≤i，i1，i2，…，ik≤n+1且互不相同，當i=ij(1≤j≤k)時vi,i1，…，ik=0.令Mi1,…,iκ=n+1∑i=1V2i,i1,…，iκ. 定理1：對于單形∑與∑'有∑1≤i1＜…＜iκ≤n+1Mi1,…,iκM'i1,…iκ-

4、(n+1-k)∑1≤i＜i1＜…＜iκ≤n+1V2i,i1，…,iκV'2i,i1,…,iκ≥κ(κ+1)2(n-κ)Cκ+1n+1/κ!4(n!2/n+1)2κ/n(VV')2κ/n，(3)1≤k≤n+1，當且僅當∑，∑'為正則單形時等號成立. 在單形∑中共有m=Cκ+1n+1個κ維子單形，第i個子單形的體積記作Vκ,i,1≤i，≤m. 定理2：對于單形∑與∑'有m∑i=1V2κ,i(m∑j=1V'2κ,j-(n+1-

5、κ)V'2κ,i)≥1/2φ(n,κ)[m∑j=1V'2κ,j/m∑i=1V2κ,iV4κ/n+m∑i=1V2κ,i/m∑j=1V'2κ,jV'4κ/n],(4)其中φ(n，κ)=m(m-(n+1-κ))[(κ+1/κ！2)1/κ(n!2/n+1)1/n]2κ，當且僅當∑，∑'為正則單形時等號成立. 在第四章我們討論了由冷崗松[6]和張晗方[7]得到的兩個不等式. 設n(n≥3)維單形∑={A0，A1，…，An}的體積為

6、V，第i個界面∑i={A0，…，Ai，…，An}的體積為Vi，其中^Ai表示去掉頂點Ai，0≤i≤n.令F(∑,θ)=n∑i=0V2θi(n∑j=0V2θj-2V2θi)-(n2-1)[n3/n+1(n+1/n!2)1/n]2θVn-1/n4θ，(5)其中∑表示單形，θ＞0. 當θ∈(0，1/2]時冷崗松證明了F(∑，θ)≥0，當θ=1時張晗方證明了F(∑，θ)≥0.現(xiàn)在問題即為當θ∈(1/2，1)時，F(xiàn)(∑，θ)是否仍大于等于