2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、目前,互聯(lián)網(wǎng)絡已經(jīng)與人們的工作、日常生活等方面息息相關(guān).網(wǎng)絡的可靠性和容錯性是近年來國內(nèi)外研究的熱點之一.我們知道,邊連通度是反映圖的連通性質(zhì)的一個重要參數(shù),而要精確地刻畫圖的連通性質(zhì),它存在著不足之處:首先,邊連通度相同的圖可靠度可能不同;其次,不能區(qū)分刪掉K個割斷點或λ條割斷邊得到的圖的不同類型,即未考慮對網(wǎng)絡的傷害程度;第三,默認圖的任何子集中所有元素可能潛在地同時失效.為克服以上缺陷,自然要將其加以推廣.自1983年Harary

2、[1]提出條件連通度的概念以來,經(jīng)過二十多年的發(fā)展,條件連通度所涉及的內(nèi)容日益豐富和具體,包括超級連通度、過邊連通度、限制邊連通度等. 設計和分析大規(guī)模網(wǎng)絡的可靠性和容錯性時,通常包括某些類型的圖模型,其中—個重要模型是這樣的網(wǎng)絡[2]: 設圖G=(V,E),其節(jié)點不會失效,每一條邊是獨立失效的,失效概率為p.用Ni(G)表示邊數(shù)為i的邊割的數(shù)目,則G連通的概率R(G,p)為:其中ε是G的邊數(shù),λ(G)為邊連通度.對于一

3、般圖,確定Ni(G)是NP—困難的[3].Bauer et al[4]提出了最優(yōu)性的概念,稱G是λ—最優(yōu)的,如果λ(G)=δ(G).進一步,若G的每個最小邊割孤立一個點,稱G是超級—λ的. 為了更好地刻畫圖的連通性,Esfahanian和Hakimi[8]提出了限制邊連通度的概念.G的一個邊割U()E稱為限制邊割,如果G—U的每個分支不包含孤立點.如果這樣的邊割存在,限制邊連通度λ'(G)為限制邊割中最小的階,并且稱G為λ'—連

4、通的.他們證明了階至少是4的除星K1,n-1外的連通圖是λ'—連通的,并且滿足λ'(G)≤ζ(G),這里ζ(G)=min{dG(u)+dG(v)—2:uv∈E(G)}是G的最小邊度.如果λ'(G)=ζ(G),稱G是λ'—最優(yōu)的.進一步,若G的每個最小限制邊割孤立一條邊,稱G是超級—λ'的. 令k是正整數(shù).對于連通圖G=(V,E),—個邊割U()E稱為k—限制邊割,如果G—U的每個分支至少有k個點,如果這樣的邊割存在,k—限制邊連

5、通度λk(G)為k—限制邊割中最小的階,并且稱G為λk—連通的,k—限制邊連通度在容錯性研究中是一個非常重要的參數(shù),令ζk(G)=min{()(F):F是G的k階連通子圖},這里()(F)表示恰好有一個端點在F中的邊的集合,在多數(shù)圖中λk(G)≤ζk(G)[28].如果λk(G)=ζk(G),稱G是λk—最優(yōu)的.進一步,若G的每個最小k—限制邊割孤立一個k階連通子圖,稱G是超級—λk的. 在本文中,我們在前人的基礎上繼續(xù)討論k—

6、限制邊連通度的相關(guān)性質(zhì). 在第一章中,我們主要介紹本文中的相關(guān)概念,定理和符號.同時,我們給出了相關(guān)的研究背景和前人的結(jié)果, 在第二章中,我們用直徑和圍長來刻畫圖的λk最優(yōu)性和超級性的充分條件,得到如下的結(jié)果: 定理2.2.令k≥3是正整數(shù).對圖G,如果|G|≥2k,D≤g—(k+1)且k≤δ+1,這里D,g,δ分別表示G的直徑、圍長和最小度,則G是λk—最優(yōu)的, 定義設G1,G2是兩個階至少是k的圖.含

7、G1∪G2,且對于每個點x∈V(G1).|x,G2]|=1的圖所組成類記作Gx. 定理2.4.令k≥4是正整數(shù).對圖G,如果|G|≥2k,D≤g—(k+2)且k≤δ+1,這里D,g,δ分別表示G的直徑、圍長和最小度,則G是超級—λk的,除非G∈Gx. 在第三章中,我們用局部結(jié)構(gòu)來刻畫圖的λk最優(yōu)性和超級性的充分條件,得到下面的結(jié)果: 定理3.8.設G是n階λ3—連通圖,最小度δ≥[n/2]—2,且(a)每個導出四

8、圈中至少有一個點x,滿足d(x)≥[n/2];(b)每個K4—e中至少有一個點y,滿足d(y)≥[n/2]+2,則G是λ3—最優(yōu)的. 定理3.9.設G是一個n階λk—連通圖,λk(G)≤ζk(G),對G的任意一個k階連通子圖Fk及恰好在Fk中有s(1≤s≤k)個鄰點的u∈V(G)\V(Fk),d(u)≥[n/2]—k+2s-1,則G是λk—最優(yōu)的. 定理3.11.設G是一個n階Ak—連通圖,λk(G)≤ζk(G),對G的

9、任意一個k階連通子圖Fk及恰好在Fk中有s(1≤s≤k)個鄰點的u∈V(G)\V(Fk),d(u)>[n/2]—k+2s-1,則G是超級—λk的, 在第四章中,我們用鄰域結(jié)構(gòu)來刻畫圖的λk—連通性,上界以及圖的λk最優(yōu)性和超級性,得到下面的結(jié)果: 定理4.2.設G是階至少是2k的圖,每—對不相鄰的點u,v滿足|N(u)∩N(v)|≥k+1,則G是λk—連通的且λk(G)≤ζk(G). 定義.設H1是[n/2]+i

10、階連通圖,H2是[n/2]—i階連通圖,其中0≤i≤k-1.把含H1∪H2,滿足|[H1,H2]|≤[n/2]+k-1,且每個u∈V(H1)滿足|N(u)∩V(H2)|≥1,每個口∈V(H2)滿足IN(v) flV(Hi)I≥1的圖類記作G1. 定理4.3.設G是n階(n≥2k)圖且G()G1.每一對不相鄰的點u,v滿足N(u)∩N(v)|≥k+1,且ζk(G)≤[n/2]+k,則G是λk—最優(yōu)的. 定理4.4.設G是n

11、階(n>2k)圖且Fk是G的任意一個k階連通子圖,每一對不相鄰的點u,v滿足|N(u)∩N(v)|≥k+1,恰好在Fk中有s(2≤s≤k)個鄰點的點x∈V(G)\V(Fk)滿足d(x)≥[n/2]—k十2s-1,則G是λk—最優(yōu)的. 在第五章中,我們用一定距離的兩點的度和來刻畫圖的λk最優(yōu)性和超級性,得到以下如下的結(jié)果: 定理5.1.設G是n階k≤δ+1的λk—連通圖,滿足如下兩個條件,則G是λk—最優(yōu)的:(a)對于每對

12、距離為k—s+1,(k-1≥s≥1)的點x,y,有(b)對于每個k階連通子圖Fk,若z是Fk的k個點的公共鄰點,則 定理5.3.設G是n階k≤δ+1的λk—連通圖,滿足如下兩個條件,則G是超級—λk的:(a)對于每對距離為k—s+1,(k-1≥s≥1)的點x,g,有(b)對于每個k階連通子圖Fk,若z是Fk的k個點的公共鄰點,則在第六章中,我們主要研究圖的λk最優(yōu)性和超級性的關(guān)系,證明了下面的結(jié) 定理6.1.設是正整數(shù),

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