分數(shù)階偏微分方程的理論和數(shù)值研究.pdf

1、近年來，分數(shù)階偏微分方程(FPDEs)在數(shù)學模型中的應用受到越來越廣泛的關注。不同的FPDEs模型已被應用到越來越多的領域中，包括：材料，力學，以及生物系統(tǒng)等，并且發(fā)現(xiàn)FPDEs在研究一些具有記憶過程、遺傳性質(zhì)以及異質(zhì)材料時比整數(shù)階方程模型更有優(yōu)勢。FPDEs在數(shù)學建模上取得的進展，激發(fā)了人們研究數(shù)值算法的興趣。 本文從理論和數(shù)值計算兩方面對分數(shù)階擴散方程(FDEs)及其相關問題進行深入研究，主要內(nèi)容包括以下三個方面：

2、我們引進了一類新的利用分數(shù)階導數(shù)定義的分數(shù)階空間，并證明了此類空間與傳統(tǒng)的分數(shù)階Sobolev空間在范數(shù)意義下是等價的。利用這些結果我們導出了FDEs初邊值問題的弱形式，并借助橢圓型問題的經(jīng)典理論證明了弱解的存在唯一性。上述研究結果表明在Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)定義的情況下，分數(shù)階擴散方程與弱形式的等價性證明不需要添加初值條件。相反地，在Caputo導數(shù)定義的情況下，該等價性則需要加初值條件來保證。 基于上述

3、弱解理論，我們計算時間分數(shù)階擴散方程(TFDE)的數(shù)值解。TFDE與傳統(tǒng)的擴散方程有本質(zhì)的不同。對于前者，時間上的一階導數(shù)被分數(shù)階導術所代替，使得問題在時間上是全局的。我們提出將譜方法應用于TFDE時間和空間上的離散，給出最優(yōu)誤差估計證明該方法的收斂性，并用數(shù)值結果驗證理論估計。歸功于該方法在時間和空間方向上所具有的譜精度，我們能夠有效地減少由全局時間依賴性所引起的對存儲量的要求，從而可以計算長時間的解。 我們考察用以描述神經(jīng)細