矩陣特征問題并行計算的研究.pdf

1、矩陣特征問題是數值計算的一個重要組成部分，也是當前迅速發(fā)展的計算機科學和數值代數中一個活躍的研究課題。隨著計算科學的發(fā)展和并行計算機的出現(xiàn)，矩陣特征問題已成為大規(guī)模和超大規(guī)模計算機的主要任務之一。由于確定大規(guī)模矩陣的特征值和特征向量是一個需要大量內存并且耗時的處理過程，單處理機已經無法承受。而并行計算機提供的不斷增加的計算和存儲能力使得這些問題的有效計算成為可能。 矩陣特征問題不僅可以直接解決數學中諸如非線性規(guī)劃、常微分方程以及

2、其他各類數學計算問題，而且在結構力學、工程設計、計算物理和量子力學中都發(fā)揮著重要的作用，目前矩陣特征問題的應用大多來自于求解數學物理方程、差分方程、Markov過程等。因此研究高效可行的求解矩陣特征問題的并行算法具有重要的現(xiàn)實意義。 在國內外相關研究的基礎上，本文從以下幾個方面來探討并行求解矩陣特征問題。 (1)分析了并行求解矩陣特征問題的現(xiàn)狀與意義，總結了特征問題求解算法的特點與發(fā)展前景，對并行計算環(huán)境做了全面的分析研

3、究，深入探討了并行機的結構模型、訪存模型和并行編程環(huán)境，并分析了本文使用的實驗環(huán)境——高性能并行機曙光4000L的軟硬件系統(tǒng)。 (2)針對數值方法求解矩陣特征問題，深入討論了求解矩陣特征問題所涉及的矩陣計算方法和策略，且在并行機上實現(xiàn)了矩陣相乘的兩種并行算法。對特征問題求解方法從串行和并行兩個方向進行了比較和分析研究，總結了各種算法的優(yōu)缺點，給出了算法的研究方向，為后面的研究工作打下基礎。 (3)探討了求解方陣絕對值最大

4、的特征值的乘冪法和求解矩陣全部特征值的QR方法；對傳統(tǒng)Jacobi方法進行了深入研究，且在并行機上實現(xiàn)了Jacobi的并行算法。由于單邊Jacobi旋轉具有僅對矩陣實施列變換的優(yōu)勢，結合對稱和三對角的特性，本文提出了一種求解對稱三對角矩陣特征問題的單邊Jacobi并行算法，該算法將三對角矩陣按列劃分，各處理機只需對局部存儲中的相鄰三列實行單邊正交變換；處理機之間只需傳遞前兩列數據再進行單邊正交變換。理論分析與實驗表明該算法具有較高的效率