二維三維彈性問題混合元.pdf

1、本文主要討論線彈性方程,在Hellinger-Reissner變分形式的基礎上,系統(tǒng)的構造了二維空間下的矩形和三角形單元,三維空間下的立方體和四面體單元等一系列簡單穩(wěn)定的單元.對單元的適定性,收斂性,誤差估計,以及二維三維矩形和立方體單元的各向異性特征進行了深入的分析和系統(tǒng)的研究.并對二維協(xié)調(diào)的矩形單元和非協(xié)調(diào)的三角形單元進行了相應的數(shù)值實驗。首先構造了具有最少自由度的協(xié)調(diào)的二維矩形單元R8?2和三維立方體單元C18?3.即矩形單元的應

2、力和位移空間分別為8個和2個自由度.立方體單元的應力和位移空間中分別為18和3個自由度.由于所構造單元不滿足關于散度的投影性質(zhì),因此我們采用了構造的方法證明了離散BB條件,即離散混合問題的唯一可解性條件.在此基礎上進一步分析,發(fā)現(xiàn)了單元的各向異性特征,并由此得到了單元的誤差估計.據(jù)我們所知這是首次構造的各向異性彈性問題混合元。其次,在構造最簡單矩形單元的基礎上,進一步構造了一系列矩形高階單元,當次數(shù)大于等于4時滿足散度的投影性質(zhì),據(jù)此得

3、到單元的適定性和離散問題的唯一可解性及誤差估計,并得到相應的彈性復形。再次,在構造矩形類單元的基礎上,又對三維四面體單元構造過程中的空間?k(K)進行了研究和討論,因為在Hellinger-Reissner變分形式下,應力是屬于H(div,Ω;S)空間,協(xié)調(diào)元構造要求應力的法向分量跨過單元邊界連續(xù),在協(xié)調(diào)元構造中計算空間此處為公式的維數(shù)是個難點問題.在本部分中給出了任意階空間維數(shù)計算的一般方法,并且此方法能夠很方便的求出相應的顯式基,同

4、時證明了k=3時,集合?k(K)的維數(shù)為0,并且給出k=4時空間的一組基。最后,構造了關于線彈性問題的一系列新的從低階到高階的三角形和四面體非協(xié)調(diào)單元及相應剛體運動下的簡化單元,這里構造的二維三維單元區(qū)別于之前文獻中構造的單元,構造簡單,自由度少.這些單元定義在參考單元上,形函數(shù)空間顯式給出,我們嚴格證明了這類單元的仿射等價性,易于進行數(shù)值實驗當k=1時簡化的三角形單元的應力空間和位移空間具有12+3個自由度,簡化的四面體單元的應力空間