基于LMRD碼的常維碼構(gòu)造研究.pdf

1、網(wǎng)絡(luò)編碼中的子空間碼(Subspace codes)是一類特殊的糾錯碼，它與傳統(tǒng)糾錯碼不同的地方在于子空間碼中的每個碼字都是一個子空間，而子空間距離是用來衡量其檢錯糾錯能力的方式。當子空間碼中所有碼字的維度都相同時，就是本論文將要討論的常維碼(Constant Dimension Codes)。設(shè)常維碼的碼字維度為k，最小子空間距離為d，所有子空間都來自于基于有限域Fq的n維空間，那么這個常維碼被表示為（n，M，d;k)q碼，其中M為這

2、個常維碼的碼字數(shù)。
　　在四個參數(shù)n，d，k，q都確定情況下，如何得到常維碼的最大碼字數(shù)Aq(n，d;k)的上界和下界一直是人們所關(guān)注的重點，也是本論文所關(guān)注的重點。類似于用一般的代數(shù)編碼理論來研究傳統(tǒng)的糾錯碼，本文將利用代數(shù)理論來分析常維碼的上界，同時致力于尋求基于LMRD碼的常維碼高效編碼方法。在本論文中，所有子空間被放在有限向量空間和射影空間中同時分析，二者具有相通之處也各有特點，對于分析子空間碼的性質(zhì)缺一不可。
　　

3、子空間碼的上界問題實際上可以等價于一個組合優(yōu)化問題，本論文將利用射影空間中子空間本身所具有的性質(zhì)和不同維度子空間之間的關(guān)系，得到一種循環(huán)結(jié)構(gòu)并將這種結(jié)構(gòu)應(yīng)用于子空間碼的優(yōu)化問題，使得該優(yōu)化問題可解，進而得到相應(yīng)的子空間碼上界。最終結(jié)果雖沒有創(chuàng)造新的上界，但部分參數(shù)情況下得到的上界已是目前為止相同參數(shù)情況下能得到的最佳上界，此外，關(guān)于射影空間中子空間性質(zhì)的研究對于本論文后面的內(nèi)容非常具有意義。
　　LMRD碼(Lifted Maxi

4、num Rank Distance codes)是一類最基本的常維碼，它以最大秩距離碼(Maximum Rank Distance codes，MRD)為基礎(chǔ)，通過lifting操作能夠系統(tǒng)而完整的描述一組常維碼結(jié)構(gòu)?；贚MRD碼的移除-再擴展編碼方法能夠擴展常維碼的碼字，之前的研究已經(jīng)通過這種編碼方法得到(6，77,4;3)2碼和(7，329,4;3)2碼，二者都是目前為止同參數(shù)情況下碼字數(shù)最高的常維碼。本論文作為這種研究的延續(xù)，主

5、要從LMRD碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)著手，尋找好的移除子集，將移除子集對應(yīng)的碼字從LMRD碼中移除后所釋放的子空間能被用來重構(gòu)成新的碼字，利用新碼字之間的代數(shù)關(guān)系，本論文還給出了判斷新碼字子空間距離的方法。本論文將移除-再擴展方法推廣到一般n值的情況，并給出了更加完整的代數(shù)理論分析。此外，通過引入沖突子空間和沖突矩陣的概念，我們還提出了利用整數(shù)線性規(guī)劃來尋求移除-再擴展方法的最大碼字增益（與原LMRD碼對比），并給出了7≤n≤16時移除-再擴展方法