糾錯碼理論及應用研究.pdf

1、糾錯碼理論不僅是信息安全的理論基礎，而且是量子信息的理論基礎。自從1994年Hammons、Calderbank、Sloane等人在IEEE Trans.Inform.Theory上發(fā)表了著名的獲獎論文“The Z4-linearity of Kerdock,Preparata,Goethals，and relatedcodes”以來，糾錯碼在有限環(huán)上的理論研究成為近年來編碼理論研究的熱點。1998年，Calderbank、Rains、

2、Shor等人建立了量子糾錯碼理論的數(shù)學形式，并且給出了利用糾錯碼構造量子糾錯碼的系統(tǒng)而有效的方法，他們的研究成果極大地推動了糾錯碼理論在量子信息中的應用。
　　 本文以糾錯碼在有限環(huán)上的理論研究為基礎，以量子糾錯碼的構造為主要應用。具體研究內容如下：
　　 1.糾錯碼在有限環(huán)上的理論研究
　　 (1)研究了多項式剩余類環(huán)上的常循環(huán)碼，在多項式剩余類環(huán)上定義了新的Gray映射，得到了多項式剩余類環(huán)上的常循環(huán)碼在新定

3、義的Gray映射下的一些好的性質。
　　 (2)研究了多項式剩余類環(huán)上的重根循環(huán)碼，通過離散傅立葉變換，建立了多項式剩余類環(huán)上的重根循環(huán)碼同理想的直接和之間的關系。
　　 (3)給出了有限環(huán)Fq+uFq上構造MacDonald碼的方法，并且通過構造的MacDonald碼，得到了一類秘密共享方案的訪問結構。
　　 (4)研究了冪零指數(shù)e=2，剩余類域為Fpk的有限鏈環(huán)R上常循環(huán)碼的Gray像問題，通過定義新的Gra

4、y映射，證明了有限鏈環(huán)上線性常循環(huán)碼在新定義的Gray映射下的像是Fpk上的準循環(huán)碼，并且證明了Fpk上循環(huán)碼在有限鏈環(huán)上的Gray像等價于準循環(huán)碼。
　　 (5)研究了冪零指數(shù)為任意正整數(shù)，剩余類域為Fp的有限鏈環(huán)R上的常循環(huán)碼，在有限鏈環(huán)R上定義了新的Gray映射，得到了有限鏈環(huán)R上的常循環(huán)碼在新定義的Gray映射下的一些好的結果。
　　 2.糾錯碼在量子信息中的應用研究
　　 (1)首次通過有限環(huán)F2+uF

5、2,上的循環(huán)碼來構造量子糾錯碼，之前所有的量子糾錯碼的構造都是在有限域上通過自正交的經(jīng)典線性碼來構造得到的。我們通過對有限環(huán)F2+uF2上循環(huán)碼的結構研究，構造得到了好的量子糾錯碼，并且構造了一類無限個量子糾錯碼。
　　 (2)通過對有限環(huán)Z2(模p2剩余類環(huán)，其中p為素數(shù))上線性碼的研究，得到了一種構造非二元的非加性量子糾錯碼的方法，并且得到一類無限個非二元的非加性量子糾錯碼((pm+1，p2pm-4m-4，3(p-1)))。

6、
　　 (3)在非對稱的量子信道上，利用經(jīng)典的平方剩余碼和Reed-Muller碼構造了一批非對稱量子糾錯碼，并且利用廣義Reed-Solomon碼構造了一批達到Singleton界的最優(yōu)非對稱量子糾錯碼。
　　 (4)利用準循環(huán)碼來構造量子糾錯碼，給出了準循環(huán)碼包含其對偶碼的條件，得到了新的量子準循環(huán)碼。
　　 (5)利用準纏繞碼來構造量子糾錯碼，通過對準纏繞碼的結構分析，將量子循環(huán)碼、量子常循環(huán)碼、量子準循環(huán)