第七章 解析幾何與向量代數

1、<p>　　高等數學練習題 第七章 空間解析幾何與向量代數</p><p>　　系 專業(yè) 班 姓名 學號 </p><p>　　第一節(jié) 向量及其線性運算</p><p><b>　　一．選擇題</b></p><p>　　1．定點與對

2、稱的坐標面為 [ C ]</p><p>　　（A） 坐標面 （B）坐標面 （C）坐標面 </p><p>　　2．兩點與的距離為 [ B ]</p><p>　?。ˋ）1 （

3、B）3 （C）13 （D）4</p><p>　　3．非零向量 a 和b ，若滿足| a –b |=| a| + |b| ，則 [ C ]</p><p>　?。ˋ）a , b 方向相同 （B）a , b互相垂直 （C）a , b 方向相反 （D）a , b平行</p>&

4、lt;p>　　4．已知向量 a = , b ={2 ,2 ,3 },則2a –3b 為 [ C ]</p><p>　?。ˋ）{} （B）{} （C）{} （D）{}</p><p><b>　　二．填空題：</b></p><p>　　1．求出點到坐標軸

5、的距離為</p><p>　　2．一個向量的終點在點它在坐標軸上的投影順次是4， 和 7，這個向量的起</p><p><b>　　點A的坐標為</b></p><p><b>　　三．解下列各題：</b></p><p>　　1．求向量a = 的模、方向余弦和方向角。已知M1( ) , M2(3

6、 ,0 ,2 )。</p><p><b>　　解： </b></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　所以方向角為 </b></p><p>　　2．求向量a =的模，并用單位向量 ao 表達向量a 。</p><p>

7、<b>　　解： </b></p><p>　　3．設向量r 的模是4，它與軸u 的夾角是60o, 求r 在軸u上的投影。</p><p><b>　　解： </b></p><p>　　所以r 在軸u上的投影為2。</p><p>　　4．證明以三點A(4 ,1 ,9) , B(10 , ,6

8、) ,C(2 ,4 ,3) 為頂點的三角形是等腰直角三角形</p><p><b>　　解： </b></p><p>　　所以以三點A(4 ,1 ,9) , B(10 , ,6) ,C(2 ,4 ,3) 為頂點的三角形是等腰直角三角形</p><p>　　高等數學練習題 第七章 空間解析幾何與向量代數</p>&l

9、t;p>　　系 專業(yè) 班 姓名 學號 </p><p>　　第二節(jié) 數量積 向量積 </p><p><b>　　一．選擇題</b></p><p>　　1．判斷向量=和=位置是 [ B ]</p>

10、;<p>　?。ˋ）平行 （B）垂直 （C） 相交 （D）以上都不是。</p><p>　　2．已知，，則△OAB的面積為 [ B ]</p><p>　　（A） 19 （B） （C） （D）29</p><p

11、><b>　　二．填空題</b></p><p>　　1．設=(5，8，0) ，=（6，，2），則.= 90 </p><p>　　2．已知向量=，=，則 ×=</p><p><b>　　三．計算下列各題</b></p><p>　　1．求向量=與=夾角的余弦。.<

12、/p><p>　　解： 設向量與的夾角為，則</p><p>　　所以向量=與=夾角的余弦為</p><p>　　2、求向量在向量上的投影。</p><p><b>　　解：設與的夾角為，</b></p><p><b>　　所以 = </b></p><

13、p><b>　　= = </b></p><p>　　3．設= (x，y，z) 問當x，y，z取何值時，與=（2，0，5）平行；取何值時與</p><p>　　=（3，0，0）平行。</p><p>　　解： 若要與平行，只要</p><p>　　所以 當時，向量與平行。</p><p&g

14、t;　　同理，若要與平行，只要</p><p>　　所以 當時，向量與平行</p><p>　　4．已知M1 (1, -1, 2 ) , M2 (3, 3, 1 ) 和M3（3， 1， 3），求與、同時垂直的單位向量。</p><p>　　解一：設該單位向量為（x，y，z）</p><p><b>　　由題意知， 得</

15、b></p><p>　　所以與、同時垂直的單位向量為 </p><p>　　解二：設與、同時垂直的向量。</p><p><b>　　則 ，</b></p><p><b>　　而 </b></p><p><b>　　單位化：</b><

16、/p><p>　　故 與、同時垂直的單位向量為</p><p>　　高等數學練習題 第七章 空間解析幾何與向量代數</p><p>　　系 專業(yè) 班 姓名 學號 </p><p>　　第三節(jié) 曲面及其方程 第四節(jié) 空間曲線及其方程</p>&

17、lt;p><b>　　一．選擇題</b></p><p>　　1．方程表示 [ D ]</p><p>　?。ˋ）單葉雙曲面 （B）雙葉雙曲面 （C）錐面 （D）旋轉拋物面</p><p>　　2．方程表示的曲面是

18、 [ B ]</p><p>　?。ˋ）單葉雙曲面 （B）球面 （C）錐面 （D）旋轉拋物面</p><p>　　3．曲面 與的交線在面上的投影方程 [ B ]</p><p>　　（A） 橢圓柱面 （B）橢圓

19、曲線 （C）兩平行平面 （D）兩平行直線</p><p><b>　　二．填空題</b></p><p>　　1．方程表示 球面 曲面。</p><p>　　2．設有點A(1, 2, 3 ) 和 B(2，，4)，則線段AB的垂直平分面的方程為。</p><

20、;p>　　3．曲線在面上的投影曲線為.且x = 0</p><p>　　4．化曲線為參數方程 .</p><p>　　三．指出下列各方程所表示的空間曲面</p><p>　?。?） ; （2）;</p><p>　　雙曲柱面，母線平行于z軸，準線為 橢圓柱面，其母線平行于z軸，準線為 &

21、lt;/p><p>　　xOy面上的雙曲線 . xOz面上的橢圓. </p><p><b>　　四．計算下列各題</b></p><p>　　1．將坐標面上的拋物線繞軸旋轉一周，求所生成的旋轉曲面的方程。</p><p>　　解： </p>

22、<p>　　所以所生成的旋轉曲面的方程為</p><p>　　2. 求球面與平面的交線在面上的投影的方程.</p><p>　　解： 由得，代入 </p><p><b>　　得 </b></p><p>　　從而所求的投影曲線方程為</p><p><b>　　五.

23、作圖題:</b></p><p>　　1．畫出下列各方程所表示的曲面</p><p>　　(1) (2)</p><p><b>　　略</b></p><p>　　2．由下列各平面所圍成的立體圖形: .</p><p><b>

24、　　略</b></p><p>　　高等數學練習題 第七章 空間解析幾何與向量代數</p><p>　　系 專業(yè) 班 姓名 學號 </p><p>　　第五節(jié) 平 面 及 其 方 程</p><p><b>　　選擇題</b>&l

25、t;/p><p>　　1．平面的位置是 [ D ]</p><p>　?。ˋ）平行坐標面 （B）平行軸 （C）垂直軸 （D）通過軸</p><p>　　2．平面

26、 [ A ]</p><p>　?。ˋ）通過 軸 （B）平行并通過軸 （C）垂直并通過軸 （D）通過軸</p><p>　　3．兩平面和的夾角是 [ C ]</p><p>　　（A）π （B） （C） （D）2π</p>

27、<p>　　4．兩平面和的位置是 [ C ]</p><p>　　（A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）共面</p><p><b>　　二．填空題</b></p><p>　　1．過點（2，，3）且平行于面的平面方

28、程。</p><p>　　2．寫出平面方程的法線向量:。</p><p>　　3．求點（1， 2， 1）到平面距離 1 。</p><p><b>　　三．計算下列各題</b></p><p>　　1．通過原點，且平行平面.</p><p>　　解：由題目條件知， 所求平面法向量為&l

29、t;/p><p>　　于是可設所求平面方程為，又平面過原點，所以D=0</p><p><b>　　從而所求平面方程為</b></p><p>　　2．求平面方程過點（2，1，1）且其法矢量垂直于=（2，1，1）和=（3，-2，3）。</p><p>　　解一：設所求平面方程為：，則其法向量為</p><

30、p>　　根據題意 從而得</p><p>　　所以所求平面方程為 </p><p>　　解二：設所求平面的法向量為 ，</p><p><b>　　則 </b></p><p>　　由點法式，得所求的平面方程為 </p><p><b>　　即 </b>&

31、lt;/p><p>　　3．求通過點,且平行于X軸的平面方程。</p><p>　　解：根據題意可設所求平面方程法向量為</p><p>　　又平面過點，所以可設平面方程為</p><p>　　又平面過點，所以 ，即</p><p><b>　　所以所求平面方程為</b></p><

32、;p>　　4．求二平面間的夾角：與 .</p><p><b>　　解：平面的法向量為</b></p><p><b>　　平面的法向量為</b></p><p>　　所以二平面間的夾角的余弦為</p><p>　　高等數學練習題 第七章 空間解析幾何與向量代數</p>

33、<p>　　系 專業(yè) 班 姓名 學號 </p><p>　　第六節(jié) 空間直線及其方程</p><p><b>　　選擇題</b></p><p>　　1．直線L：與平面的關系是 [ A ]</p><p>　?。ˋ）

34、平行 （B）垂直相交 （C）L在上 （D）相交但不垂直</p><p>　　2．直線L：和平面的關系是 [ B ]</p><p>　?。ˋ）平行 （B）垂直相交 （C）L在上 （D）相交但不垂直</p><p>　　3．設直線，則該直線必定

35、 [ A ]</p><p>　?。ˋ）過原點且垂直于軸 （B）過原點且平行于軸</p><p>　　（C）不過原點，但垂直于軸 （D）不過原點，且不平行于軸</p><p><b>　　二．填空題</b></p>

36、;<p>　　1．過點P（4、，3）且平行于直線的直線方程為</p><p>　　2．過點（2，4，）且平行于=（1，3，4）直線方程:為。</p><p>　　3．通過點且與直線垂直的平面方程為.</p><p><b>　　三．計算下列各題</b></p><p>　　1．求過點（1，1，1）且同時平行

37、于平面及的直線方程。 </p><p>　　解：設所求直線的方向向量為，則</p><p><b>　　得 </b></p><p><b>　　所以所求直線方程為</b></p><p>　　2．試證直線在平面上。</p><p&

38、gt;　　證：由題意知，直線方向向量為，平面的法向量為</p><p>　　直線與平面的夾角的余弦， </p><p>　　所以直線與平面平行；</p><p>　　又直線上一點（1，1，－3）滿足平面方程， </p><p><b>　　所以直線在平面上。</b></p><p>　　3、化直

39、線方程 為對稱式方程。</p><p>　　解 取 ，則，得，從而得直線上一點（0，4，－1）</p><p>　　因為所求直線與兩平面的交線平行，也就是直線的方向向量一定同時與兩平面的</p><p>　　法向量垂直，所以可以取</p><p><b>　　所以所求直線方程為</b></p><

40、p>　　4、求直線 在平面上的投影直線的方程。</p><p>　　解一：設為直線上的任意一點，代入，得 </p><p>　　從而得直線與平面的交點</p><p>　　又過直線上點而垂直于平面的直線方程為</p><p><b>　　得，</b></p><p>　　則點B為點在平面上的

41、投影。</p><p>　　而投影直線的方向向量//</p><p>　　所以投影直線方程為。</p><p>　　解二：直線的一般式方程為 </p><p>　　過直線的平面束為 </p><p><b>　　即 </b></p><p>　　其中是代定系數，這平面

42、與已知平面垂直，</p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　得 </b></p><p>　　則 過直線且與平面垂直的平面方程為 </p><p>　　故 所求的直線在平面上的投影直線方程為</p><p>　　解三：已知直線L 過點，方向向