金屬介質混合目標電磁散射特性的表面積分方程分析-電磁場與微波技術碩士論文

1、<p>　　分類號 密級 內(nèi)部 </p><p>　　UDC注1 </p><p>　　學 位 論 文</p><p>　　金屬介質混合目標電磁散射特

2、性的</p><p><b>　　表面積分方程分析</b></p><p><b>　　（題名和副題名）</b></p><p><b>　　葛錦敏</b></p><p><b>　?。ㄗ髡咝彰?lt;/b></p><p>　　指導

3、教師姓名 葉曉東 副教授 </p><p>　　陳如山 教 授 </p><p>　　申請學位級別 碩士 專業(yè)名稱 電磁場與微波技術</p><p>　　論文提交日期 2009.6 論文答辯日期 2009.6

4、 </p><p>　　學位授予單位和日期 南 京 理 工 大 學 </p><p>　　答辯委員會主席 </p><p>　　評閱人 </p><p>　　2009 年 6 月 日</p><p&g

5、t;　　注1：注明《國際十進分類法UDC》的類號。 </p><p><b>　　碩士學位論文</b></p><p>　　金屬介質混合目標電磁散射特性的</p><p><b>　　表面積分方程分析</b></p><p>　　作 者：葛錦敏</p><p>　　指導

6、教師：葉曉東 副教授</p><p><b>　　陳如山 教 授</b></p><p><b>　　南京理工大學</b></p><p><b>　　2009年 6 月</b></p><p><b>　　聲 明</b></p>&

7、lt;p>　　本學位論文是我在導師的指導下取得的研究成果，盡我所知，在本學位論文中，除了加以標注和致謝的部分外，不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得任何教育機構的學位或學歷而使用過的材料。與我一同工作的同事對本學位論文做出的貢獻均已在論文中作了明確的說明。</p><p>　　研究生簽名： 年 月 日 </p><p

8、>　　學位論文使用授權聲明</p><p>　　南京理工大學有權保存本學位論文的電子和紙質文檔，可以借閱或上網(wǎng)公布本學位論文的部分或全部內(nèi)容，可以向有關部門或機構送交并授權其保存、借閱或上網(wǎng)公布本學位論文的部分或全部內(nèi)容。對于保密論文，按保密的有關規(guī)定和程序處理。</p><p>　　研究生簽名： 年 月 日 </p>

9、<p><b>　　摘 要</b></p><p>　　學習和研究現(xiàn)代電磁場數(shù)值計算理論和算法的目的是用其解決各種實際的復雜電磁場問題。在雷達目標隱身和反隱身技術研究，雷達目標特性識別，復雜天線系統(tǒng)設計，現(xiàn)代電子系統(tǒng)電磁兼容性分析等領域，經(jīng)常需要對一些具有復雜結構和復雜媒質組成的三維電大尺寸目標作電磁建模。本文就是圍繞這些為背景展開，研究金屬介質混合結構目標的電磁散射特性

10、。</p><p>　　本文選擇表面積分方程理論作為理論基礎，以矩量法（MoM）作為數(shù)值求解方法，并使用多層快速多極子（MLFMA）來加速求解過程和降低存儲要求，使復雜電大尺寸目標的電磁散射特性分析成為可能。然而這些方法都是建立在均勻空間模型的基礎上，沒有考慮周圍環(huán)境因素的影響，所以在考慮目標體處于半空間環(huán)境中更有實際意義。本文的研究工作正是基于上述的工程應用背景下展開的，將目前較為成熟的均勻空間電磁場求解的各種

11、算法擴展到半空間環(huán)境中，考慮了各種環(huán)境因素對目標散射特性的影響，使目標與環(huán)境一體化高效建模成為可能。</p><p>　　本文首先從電磁場的基本理論出發(fā)，基于等效原理和邊界條件建立了用于分析金屬、介質及金屬與介質混合結構的表面積分方程（PMCHW）。其次，本文對傳統(tǒng)積分方程（PMCHW）進行了改進，深入研究了一種新型的積分方程（JMCFIE），得到了具有良好性態(tài)的阻抗矩陣，從而加速了對半空間三維復雜目標電磁散射特

12、性數(shù)值計算的速度，一系列算例證明了此方法的可靠性。在此基礎上，本文還對手征媒質凃敷導電目標的電磁散射特性進行了研究，一些數(shù)值計算結果的給出，驗證了此方法的正確性與有效性，使其具有一定的理論意義和實用價值。</p><p>　　關鍵詞：矩量法，多層快速多極子方法，半空間格林函數(shù)，PMCHW積分方程，JMCFIE積分方程，手征特性媒質</p><p><b>　　Abstract&l

13、t;/b></p><p>　　The objective of studying and developing modern computational electromagnetic theory and algorithm is to solve all kinds of engineering electromagnetic problems. In the areas of radar steal

14、th and anti-stealth technology research, radar target identification, complex antenna system design and modern electric systems’ EMC analysis, we often need to simulate the electromagnetic characteristics of some electri

15、c large objects which is composite of complex structure and complex medium. With these back</p><p>　　In this article, we use the surface integral equation theory as the theoretical foundation, method of mome

16、nts(MOM) as numerical process and the multilevel fast multipole algorithm (MLFMA) to accelerate the solving process and reduce memory requirement. But those methods are all based on free space that leads to neglect some

17、important factors. So it will have more significance that considering objects modeled in half-space. Based on these engineering application backgrounds, the research work rea</p><p>　　In this article, the su

18、rface integral equations(PMCHW) for metallic structures, dielectric structures and composite metallic and dielectric structures are elaborated uniformly based on the surface equivalence principle and boundary conditions

19、firstly. In addition, a new integral equation named JMCFIE is presented which improves the conventional PMCHW integral equation. The new integral equation can essentially improve characteristic of impedance matrix and ac

20、celerate iterative converging. The JM</p><p>　　Key Words: method of moments, multilevel fast multipole algorithm method, half-space green’s function, PMCHW integral equation, JMCFIE integral equation, chiral

21、 object</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 緒論1</b></p><p>　　1.1 研究工作的背景

22、1</p><p>　　1.2 研究歷史及現(xiàn)狀3</p><p>　　1.3 本文內(nèi)容安排4</p><p>　　2 計算電磁學數(shù)值方法簡介5</p><p><b>　　2.1 引言5</b></p><p>　　2.2 表面積分方程中的矩量法5</p><p&g

23、t;　　2.3 快速多極子方法的基本原理5</p><p>　　2.4 多層快速多極子方法的基本原理9</p><p>　　2.5 雷達截面積的計算11</p><p>　　2.6 半空間問題的格林函數(shù)12</p><p><b>　　2.7 小結17</b></p><p>　　3 表

24、面積分方程（EFIE+PMCHW）分析半空間金屬介質混合目標的電磁散射特性18</p><p><b>　　3.1 引言18</b></p><p>　　3.2 PMCHW積分方程構成18</p><p>　　3.3 半空間金屬介質混合結構目標電磁散射特性的表面積分方程法分析21</p><p>　　3.4 數(shù)值

25、計算結果26</p><p><b>　　3.5 小結30</b></p><p>　　4 新型積分方程（JCFIE+JMCFIE）分析半空間介質涂敷導電目標的電磁散射特性31</p><p><b>　　4.1 引言31</b></p><p>　　4.2 新型積分方程（JCFIE+JMC

26、FIE）積分方程原理31</p><p>　　4.3 半空間環(huán)境中完全涂敷導電目標電磁散射特性的新型積分方程法分析33</p><p>　　4.4 數(shù)值計算結果39</p><p><b>　　4.5 小結44</b></p><p>　　5 半空間環(huán)境中手征媒質涂敷導電目標的研究45</p>&

27、lt;p><b>　　5.1 引言45</b></p><p>　　5.2手征媒質涂敷導電目標應用于半空間問題的散射特性分析45</p><p>　　5.3 數(shù)值計算結果50</p><p><b>　　5.4 小結54</b></p><p>　　6 總結與展望55</p&g

28、t;<p><b>　　致 謝56</b></p><p><b>　　參考文獻57</b></p><p><b>　　1 緒論</b></p><p>　　1.1 研究工作的背景 </p><p>　　本課題的基本出發(fā)點是使用表面積分方程的方法對復雜

29、三維電大尺寸目標的散射特性進行準確的分析。這里的復雜包括對任意形狀的三維導體，三維介質及三維導體和介質混合目標。其工程應用背景主要表現(xiàn)在：</p><p>　?。?）反雷達隱身技術已在近年來的多次局部戰(zhàn)爭中充分發(fā)揮了其有效的突防攻擊作用。為減小軍事目標的雷達散射截面（Radar Cross Section，RCS），目前主要通過雷達吸波材料和外形設計這兩種技術途徑。同數(shù)值方法相比，實驗方法需要大量的時間和更多的費

30、用，而且往往不能給出最優(yōu)的設計，相對于一些近似的數(shù)值方法將給出更加準確的結果。因而，有必要研究可以分析電大尺寸復雜目標散射特性的數(shù)值算法。</p><p>　?。?）目標的雷達散射特性是雷達目標識別研究中最重要的一個環(huán)節(jié)。目前，一般通過兩種途徑獲取目標的雷達散射特性數(shù)據(jù)：測量和數(shù)值計算。通過測量途徑一般可獲得較為可信的數(shù)據(jù)，但其開銷大，并且在某些情況下并不可行。而通過數(shù)值方法分析目標的散射特性，具有快速，準確，方

31、便的特點。</p><p>　　由于雷達工作在微波頻段，常見軍用目標如導彈、飛機等，這類超大電尺寸問題的計算求解復雜度很高。如何高效求解這類復雜目標的電磁散射特性是從事雷達總體和隱身、反隱身研究的學者、工程師們共同關心的問題。</p><p>　　傳統(tǒng)的積分方程法如矩量法[1-7]作為一種嚴格的數(shù)值方法，計算結果精度高，但是需要占用大量的內(nèi)存，并且其計算復雜度甚至可達，所以很難在現(xiàn)有的設備

32、條件下用矩量法完成電大尺寸復雜目標的計算。倘若采用傳統(tǒng)的微分方程方法如有限元法（FEM）和時域有限差分法（FDTD）等求解，這類方法可以很好地分析封閉區(qū)域內(nèi)的復雜電磁現(xiàn)象。但對于開域問題的求解必須引入吸收邊界條件，并進行網(wǎng)格剖分，網(wǎng)格截斷誤差和網(wǎng)格色散誤差大，而且時域有限差分法難以精確擬合復雜目標表面。所以這些方法也不利于三維電大尺寸復雜目標散射的求解。積分方程方法，因在其理論公式中就已經(jīng)隱含了無窮遠處的輻射邊界條件，在分析開域（散射）

33、問題時，只需要離散不同媒質的邊界面，相對于微分方程有著明顯的優(yōu)勢。</p><p>　　為了提高矩量法的求解效率，很多改進方法陸續(xù)出現(xiàn)。其中有快速多極子（FMM）[8-9]，多層快速多極子（MLFMM）[10-13]，矩陣分解算法和阻抗矩陣小波稀疏化方法等等。其中尤其以快速多極子和多層快速多極子最引人注目?？焖俣鄻O子方法主要思想是利用電磁場積分方程的某些內(nèi)在特性來加速矩陣向量乘積的運算，通過采用分層方法，可使矩陣

34、向量乘積的運算量減少到，內(nèi)存的需求量也降低為。因而采用快速多極子和分層快速多極子算法將極大的提高計算速度和減少內(nèi)存需求。使得我們可以快速準確的分析電大尺寸電磁散射問題。</p><p>　　快速多極子算法（FMM）是在80年代末，由美國V. Rokhlin首先提出的[14]。那時FMM被用于高效求解二維聲波問題的亥姆霍茲方程。90年代中期，J. M. Song，C. C. Lu等用FMM求解了三維導體的散射問題，

35、并提出了用于計算電磁散射的二維和三維的多層快速多極子算法[10-13,15-16]。90年代后期，伊利諾依大學周永祖教授和Demaco公司聯(lián)合推出了FISC軟件，并用于精確高效地計算電大復雜目標的電磁散射[12]。這標志多層快速多極子算法的研究已很成熟了。被認為是計算電磁學精確方法的一個里程碑。</p><p>　　近年來，諸多工程應用（例如目標與環(huán)境的一體化建模、地球物理探測、遙測遙感應用）急需深入開展半空間環(huán)

36、境中電磁輻射與散射數(shù)值分析方法的研究。特別是以矩量法（MOM）為基礎的快速多極子方法（FMM）和多層快速多極子（MLFMA）的提出和實現(xiàn)，克服了經(jīng)典高頻方法的局限，使復雜電大尺寸目標的電磁散射特性分析成為可能。但這些方法多建立在均勻空間模型基礎之上，即沒有考慮周圍環(huán)境因素的影響。其中，半空間環(huán)境中的電磁輻射和散射分析對于諸如地下探測、地海面雷達目標隱身與識別等實際工程中具有重要的意義。對于半空間問題和均勻空間問題存在兩點很大不同。<

37、;/p><p>　　首先在于格林函數(shù)的表達和求解，多年來很多學者做了這方面的工作[25,44-47]但是對于格林函數(shù)的求解還沒有根本性的解決，因而限制了積分方程方法在實際分層介質問題中的應用。在許多情況下，利用分層媒質格林函數(shù)只需采用面積分方程模擬電路和天線就可以對多層媒質結構進行有效分析，由于未知數(shù)較少，非常具有吸引力。有很多關于分層媒質的譜域格林函數(shù)的報道[48-51]，其中以K. A. Michalski等人利

38、用傳輸線格林函數(shù)推導的適用于混合位積分方程（MPIE）的C類譜域格林函數(shù)[50-51]最為典型?？沼蚋窳趾瘮?shù)有著Sommerfeld積分的形式[52]，一般說來，沒有解析解。由于該積分具有高振蕩性和衰減慢的特點，因此直接采用數(shù)值積分非常費時。為此，列表和插值方法常常被采用[48-49,53]。為了進一步提高計算效率，幾種方法相繼被提出，其中包括快速Hankel變換（FHT）方法[54]，最陡下降路徑（SDP）法[55]，窗口函數(shù)法[56

39、]以及離散復鏡像法（DCIM）[57]。</p><p>　　其次在于積分方程的選擇形式。早在70年代開始，R. W .P. King、C. M. Butler以及G.. J. Burke等人就結合實驗對有耗半空間中的線天線作了分析[58-60]。X. B. Xu等人對跨半空間界面的二維柱體散射作了系統(tǒng)的研究[61-64]。與均勻介質背景問題類似，人們傾向于使用混合位積分方程（MPIE）來分析分層介質中的三維目標

40、散射和輻射問題[65-66]。1990年，K. A. Michalski等人[50-51]在前人工作和自己工作的基礎之上，提出了適合于分析任意分層、任意形狀及任意跨嵌導體目標的混合位積分方程形式以及相應的格林函數(shù)公式，并被廣泛引用。Duke大學的L. Carin課題組[67-70]將該方法應用于探地雷達系統(tǒng)設計中的電磁建模，求解了埋地目標的時域響應，便是其成功應用的例證。為了解決復雜電大尺寸目標的電磁散射問題，L. Carin課題組的N

41、. Geng等人[71-76]將FMM方法引入到半空間環(huán)境中目標RCS的計算當中。</p><p>　　本文的研究工作就是研究在半空間環(huán)境下的雷達散射特性，使目標與環(huán)境一體化高效建模成為可能。</p><p>　　1.2 研究歷史及現(xiàn)狀</p><p>　　電磁場數(shù)值分析是根據(jù)Maxwell方程，利用適當?shù)倪吔鐥l件確定所關心區(qū)域或物體內(nèi)的電磁場或電流分布，進而求出所

42、需要的物理參量?；仡櫽嬎汶姶艑W發(fā)展的歷史，早在1864年，Maxwell已用偏微分方程的形式給出了電磁波現(xiàn)象中電場和磁場的統(tǒng)一表達式，他的研究成果被稱譽為19世紀最顯著的科學成就之一。而求解電磁場問題的方法，歸納起來可分為三大類，其中每一類又包含若干種方法，第一類是解析法；第二類是數(shù)值法；第三類是半解析數(shù)值法。</p><p>　　目前，分析金屬介質混合結構目標的電磁散射方法可概括為基于微分方程的方法和基于積分方

43、程的方法兩大類?；谖⒎址匠痰姆椒ㄖ饕杏邢拊╗17,18]，時域有限差分法[19]等，基于積分方程的主要有表面積分方程法[1,20-24]和體積分方程法[20,23]，基于分層介質格林函數(shù)的混合雙位積分方程法等[26-28]。</p><p>　　有限元法是以變分原理和剖分插值技術為基礎的一種數(shù)值計算方法。這一方法有著廣泛的適用性，可用于分析任何微分方程描述的任何物理場。在電磁計算領域，有限元法有著廣泛的應用

44、前景，它既可以用于分析均勻媒質問題，亦可以分析非均勻，非線性媒質問題；既可以用于計算封閉區(qū)域電磁問題，也可以用于計算開放區(qū)域電磁問題。但對于開放區(qū)域的電磁問題，因這一問題是全空間離散，需要加入截斷邊界條件，這將引入計算誤差并增大計算空間，因而有限元法在分析散射問題時的效率并不高。</p><p>　　時域有限差分法也是一種通用的時域電磁場數(shù)值計算方法。它以差分原理為基礎，直接從概括電磁場普遍規(guī)律的Maxwell方

45、程組出發(fā)，將其轉換為差分方程組，在一定的體積內(nèi)和一段時間上對連續(xù)電磁場數(shù)據(jù)取樣。經(jīng)過多年的發(fā)展，時域有限差分法已經(jīng)具備了解決各種復雜問題的能力，其廣泛的應用范圍是其它方法無法比擬的。但同有限元一樣，這一方法在分析開域問題時亦需要引入截斷邊界條件，同積分方程相比，在分析散射問題時它亦沒有優(yōu)勢。</p><p>　　基于積分方程求解復雜電磁場問題的發(fā)展是與矩量法分不開的。矩量法是求解電磁場數(shù)值問題的主要方法，并被廣泛

46、的用于分析電磁散射問題等。在計算電磁學領域中，矩量法主要被用以求解電磁場積分方程，目的是得到產(chǎn)生場的電流源或磁流源的分布。當待求的電流或者磁流分布于線性、均勻、各向同性媒質的邊界面上，這些電流與磁流可通過求解基于邊界條件建立的積分方程得到，這類積分方程稱為邊界積分方程或者表面積分方程（SIE）。</p><p>　　表面積分方程的形式較為簡單，便于數(shù)值求解。對于分塊連續(xù)的的均勻媒質問題，因為表面積分方程只需要離散

47、邊界面上的未知電、磁流。相對于體積分方程，表面積分方程的未知量較少，因而更具有優(yōu)勢。</p><p>　　本課題組現(xiàn)在的研究工作正是基于上述的工程應用背景展開的。單一使用電場或磁場積分方程對于金屬介質混合結構目標的電磁散射求解是不準確的，從而引入混合場積分方程[30-32]（CFIE）來解決此類問題。CFIE還能夠被用于求解介質體散射和組合目標的散射問題。CFIE的選取在實際中有TENE，NENH，NETH及TE

48、NH四種類型[29]。傳統(tǒng)的用于分析介質目標散射問題時采用PMCHW（Poggio–Miller-Chang-Harrington-Wu）積分方程[30]，但是國內(nèi)外對新型的積分方程（JMCFIE）[33][79]進行了大量研究，其迭代速度更快，矩陣形態(tài)更好。</p><p>　　1.3 本文內(nèi)容安排</p><p>　　本文基于表面積分方程深入研究了金屬介質混合結構目標的電磁散射問題。為

49、了提高積分方程方法的計算效率，本文對一種新型的積分方程進行了研究，用于加速迭代求解，以克服傳統(tǒng)積分方程存在的問題。</p><p>　　第一章詳細介紹了研究工作的背景，給出了本文研究的主要方向，也說明了本文研究工作的意義。</p><p>　　第二章介紹表面積分方程中的矩量法，并介紹了快速多極子方法及多層快速多極子的基本原理，給出其相應的數(shù)學描述，并對半空間格林函數(shù)問題進行了描述。這是本文

50、的基礎。</p><p>　　第三章給出了半空間環(huán)境中使用曲面基函數(shù)求解金屬介質混合結構目標表面積分方程（PMCHW）的過程。這一章首先給出使用曲面RWG基函數(shù)的矩量法來求解電磁場表面積分方程的基本過程，并將多層快速多極子方法應用在分析電大尺寸復雜目標的散射問題中，然后討論對面、體組成的金屬介質混合結構目標問題的處理方法。最后用一系列算例驗證了數(shù)值方法的適用性和準確性。</p><p>　

51、　第四章根據(jù)新型積分方程（JMCFIE）的構成原理，給出了用于分析半空間環(huán)境中完全涂敷導電目標散射問題的組合方程式，并將多層快速多極子方法應用在分析電大尺寸目標的散射問題中，最終與傳統(tǒng)的PMCHW積分方程進行比較，其迭代速度更快，矩陣形態(tài)更好。</p><p>　　第五章討論了在半空間環(huán)境中，對手征媒質涂敷導電目標的電磁散射特性進行了研究，一些數(shù)值計算結果的給出，驗證了此方法的正確性與有效性，使其具有一定的理論意

52、義和實用價值。</p><p>　　2 計算電磁學數(shù)值方法簡介</p><p><b>　　2.1 引言</b></p><p>　　矩量法[80]是一種將連續(xù)方程離散化為代數(shù)方程組的方法。作為求解積分方程主要方法之一的矩量法（MOM），由于所用的格林函數(shù)直接滿足輻射條件，無需像微分方程的解法，如時域有限差分法（FDTD），必須設置吸收邊界條件

53、（ABC）。加之矩量法數(shù)值精度高，所以，該方法在求解復雜幾何目標的電磁散射、天線電流分布和微帶貼片輻射等許多方面，有著廣泛的應用。但是，由于計算機存儲量和計算時間的限制，傳統(tǒng)矩量法僅限于求解低頻區(qū)和諧振區(qū)目標的散射問題。對高頻區(qū)電大尺寸目標的求解，往往因為需要極大的存儲量而難以實現(xiàn)。近十幾年來，隨著各種快速方法的提出和計算機性能的飛速提高，以矩量法為基礎的一些高效方法，如快速多極子方法，己經(jīng)可用于電大尺寸目標散射的求解。</p&g

54、t;<p>　　本章將具體介紹矩量法和多層快速多極子方法的基本原理和相關內(nèi)容，作為本文后續(xù)章節(jié)的基礎和鋪墊，為后續(xù)研究打下基礎。</p><p>　　2.2 表面積分方程中的矩量法</p><p>　　FMM和MLFMA仍基于矩量法框架，為此先介紹三維目標散射的矩量法求解過程。對于三維導體電磁散射，電場積分方程表示為：</p><p><b>

55、;　　(2.2.1)</b></p><p><b>　　(2.2.2)</b></p><p>　　其中，為并矢格林函數(shù)，為自由空間的三維標量格林函數(shù)。為自由空間的波阻抗（），為入射場，為待求電流，表示所分析物體表面觀察點所在的單位切線方向。</p><p><b>　　磁場積分方程則為</b></p&

56、gt;<p><b>　　(2.2.3)</b></p><p>　　其中，表示入射磁場，則表示觀察點所在外法線方向，通常情況下，磁場積分方程（MFIE）生成的矩量法矩陣的條件數(shù)要優(yōu)于電場積分方程（EFIE）。但MFIE在分析非閉合問題時不適用。并且當在分析閉合結構問題時，它們都會碰到一個問題，會出現(xiàn)內(nèi)諧振現(xiàn)象。即在某些頻率點，存在偽解，這些頻率點通常是滿足了EFIE或MFIE

57、右邊向量置為零時而電流有非零解的情況。通常EFIE與MFIE的諧振點并不一樣。為了避免這一問題，引入混合場積分方程（CFIE）。它的左右兩邊可以寫為</p><p><b>　　(2.2.4)</b></p><p>　　我們采用平面三角形貼片模擬目標幾何表面，基函數(shù)選擇為平面RWG基函數(shù)。它的數(shù)學表達式如下:</p><p><b>

58、;　　(2.2.5)</b></p><p>　　表示相應三角形的面積。各符號含義如圖2.2.1所示。RWG基函數(shù)的表面散度為</p><p><b>　　(2.2.6)</b></p><p>　　圖2.2.1 RWG基函數(shù)示意圖，兩個公用一邊的三角形組成一個基函數(shù)單元</p><p>　　基函數(shù)擴展后，電

59、流可以表示為</p><p><b>　　(2.2.7)</b></p><p>　　對CFIE實施迦遼金方法，得到矩陣方程為：</p><p><b>　　(2.2.8)</b></p><p><b>　　其中：</b></p><p><b&

60、gt;　　(2.2.9)</b></p><p><b>　　(2.2.10)</b></p><p>　　對于未知量數(shù)目為的散射問題，由于直接求逆方法與傳統(tǒng)迭代技術分別需要與量級的計算復雜度及的內(nèi)存需求，極大程度地阻礙了求解電大尺寸三維散射問題。對此，在2.3與2.4節(jié)將對快速多極子（FMM）與多層快速多極子（MLFMA）進行介紹，作為積分方程稀疏化的一

61、種高效方法，F(xiàn)MM與MLFMA不但大大加速了迭代過程中矩陣與矢量相乘計算，并且能大大降低存儲量。</p><p>　　2.3 快速多極子方法的基本原理</p><p>　　快速多極子[80]方法的基本原理是：將散射體表面上離散得到的子散射體分組。任意兩個子散射體間的互耦根據(jù)它們所在組的位置關系而采用不同的方法計算。當它們是相鄰組時，采用直接數(shù)值計算。而當它們?yōu)榉窍噜徑M時，則采用聚合-轉移-

62、配置方法計算。對于一個給定的場點組，首先將它的各個非相鄰組內(nèi)所有子散射體產(chǎn)生的的貢獻“聚合”到各自的組中心表達；再將這些組的貢獻由這些組的組中心“轉移”至給定場點組的組中心表達；最后將得到的所有非相鄰組的貢獻由該組中心“配置”到該組內(nèi)各子散射體。對于源點組來說，該組中心代表了組內(nèi)所有子散射體在其非相鄰組產(chǎn)生的貢獻；對場點組來說，該組中心代表了來自該組的所有非相鄰組的貢獻，從而減少了散射中心的數(shù)目（如圖2.3.1所示）。</p>

63、;<p>　　圖2.3.1 將兩元素的直接作用分解成三部分：聚合、轉移、配置</p><p>　　對于EFIE部分的并矢格林函數(shù)</p><p><b>　　(2.3.1)</b></p><p>　　可以寫出其在角譜空間表達式</p><p><b>　　(2.3.2)</b>&l

64、t;/p><p>　　而MFIE部分利用恒等式，。則有</p><p><b>　　(2.3.3)</b></p><p><b>　　可以表示為</b></p><p><b>　　(2.3.4)</b></p><p><b>　　而</

65、b></p><p><b>　　(2.3.5)</b></p><p><b>　　則可表示為</b></p><p><b>　　(2.3.6)</b></p><p><b>　　利用恒等式，則得：</b></p><p&g

66、t;<b>　　(2.3.7)</b></p><p>　　再用一次，表示式如下</p><p><b>　　(2.3.8)</b></p><p>　　其中，為轉移因子，代表遠區(qū)組間組中心的轉換作用。是譜空間單位球面上的二重積分，積分點數(shù)為，這時在方向采用點的一維高斯積分，方向采用長度的梯形法則積分。</p>

67、<p>　　將并矢格林函數(shù)及磁場積分的格林函數(shù)的處理表達式代入積分方程(2.3.7)和(2.3.8)，得到矩陣矢量相乘的FMM表達：</p><p><b>　　(2.3.9)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　(2.3.10)</b><

68、/p><p><b>　　(2.3.11)</b></p><p><b>　　(2.3.12)</b></p><p>　　其中代表來自附近組的貢獻。，分別為聚合因子、配置因子。由于，即只與有關，與無關，并且它與遠場的計算有類似的地方。所以又被稱為輻射方向圖，則被稱為接收方向圖。</p><p>　　

69、由于遠區(qū)場源耦合通過各自組中心實現(xiàn)，待計算的“子散射體”中心得到減少，所以FMM加速了矩陣矢量相乘計算，計算機存儲量也大大降低了。對于FMM，其計算量、存儲量為量級?？焖俣嗉壸蛹夹g中的組不能太大，因為那樣轉移過程雖然能有效地計算，但是聚合和發(fā)散的過程都不能有效的進行，組也不能太小，因為那樣聚合和發(fā)散的過程雖然能有效的進行，然而轉移的過程又不能有效的計算[11]。所以我們通過選擇恰當組的大小來獲得快速多級子的最佳效率。</p>

70、<p>　　2.4 多層快速多極子方法的基本原理</p><p>　　在多層快速多極子算法[80]中分組常采用的樹形結構。對第層，每個非空組單元編號為，取值為，是此層非空組單元總數(shù)。對每個單元，存三個線性表（此處線性表是一種數(shù)據(jù)結構，相當于一個一維向量），第一個是近鄰組作用單元，當建好樹形結構時，這一線性表結構在最細層要使用到。第二個是保存在此層用快速多極子計算的組單元，即在此層是遠場，但它們的父組

71、在父層是近場作用。第三個表結構保存此組單元的子組單元，顯然在最細層沒有這一結構。較優(yōu)的給組編號的一種方法是Morton序編號。它的優(yōu)點在于它在多層快速多極子方法中，父子兩層的組之間可以簡單地檢索。</p><p>　　考察樹狀結構中某兩個未知數(shù)點與，觀察點所在的最底層組至最頂層組分別用來表示；源點所在的最底層組至最頂層組分別用,來表示。不難發(fā)現(xiàn)，觀察點與源點之間的距離矢量可寫為：</p><p

72、><b>　　(2.4.1)</b></p><p><b>　　根據(jù)加法定理，如果</b></p><p><b>　　(2.4.2)</b></p><p>　　則標量格林函數(shù)可展開成</p><p><b>　　(2.4.3)</b></

73、p><p>　　通過與二層快速多極子方法相類似的推導，我們可以得到</p><p><b>　　(2.4.4)</b></p><p>　　式中，是最底層的輻射方向圖，則是最底層的接收方向圖。上式的成立條件是(2.4.2)。對最細層的每個組單元，近場作用計算并保存在稀疏矩陣中。同時每個基函數(shù)的輻射方向圖及每個測試函數(shù)的接受方向圖在單位圓上每個積分點

74、也計算其值并保存起來。對每一層，要用到的轉移算子也計算并預先保存。</p><p>　　對于除最細層外的層組的，如果采用直接按照公式計算，將會造成大的計算復雜度及耗費更多的內(nèi)存。這是因為越粗的層角譜分量越大，并且一般與它們的子層不重合，這些需要重新計算并開辟內(nèi)存。在多層快速多極子算法中，為了達到的計算復雜度，粗層的輻射方向圖通常用計算復雜為的插值算法得到，在程序中我們采用的是拉格朗日插值方法。同理，每層各組的接收

75、方向圖也如此處理?？紤]非最細層。要計算</p><p><b>　　(2.4.5)</b></p><p>　　各層的遠場方向圖是預先知道的，一般當知道了層的遠場方向圖，可以通過插值及平移到層的父層組中心。下面講述這一過程:</p><p>　　用算子來表示一個插值算子，它將層的離散輻射方向圖插Z值到層，主要是因為對組單元，有，其中是的父層組在

76、父層的編號。所以可以通過下式表示MLFMA中的這一過程:</p><p>　　其中 (2.4.6)</p><p>　　父層組的輻射方向圖要通過上面的公式，將所有子組的貢獻累加起來。通過同樣的方法，可以得到各層接收方向圖的插值關系?？梢詫懗?lt;/p><p><b>　　(2.4.7)</b></p><p>　　但通

77、常我們不計算每一層內(nèi)組的接收方向圖，因為</p><p><b>　　(2.4.8)</b></p><p>　　上面的推導過程中最后一個等式成立是因為插值算子是矩陣，用到了關系式，此處表示歐氏空間內(nèi)積，注意不是Hermitian空間。這樣我們只需要最細層的接收方向圖。</p><p>　　現(xiàn)在，我們要得到最粗層的遠場作用，可以通過兩步遞歸步驟

78、。第一步自細而粗。第二步是自粗而細。首先，各層的輻射方向圖通過下式計算：</p><p><b>　　(2.4.9)</b></p><p>　　然后，再計算本層轉移，加上來自父層組的貢獻</p><p><b>　　(2.4.10)</b></p><p>　　對層的組單元，遠場作用貢獻可以由接收

79、方向圖和獲得。</p><p>　　2.5 雷達截面積的計算</p><p>　　圖2.5.1 目標散射示意圖</p><p>　　圖2.5.1給出了物體目標在均勻平面波照射下的散射示意圖。這里時諧因子設置為。入射的電場與磁場可以表示為</p><p><b>　　(2.5.1)</b></p><

80、p>　　其中，和是入射波的幅度矢量，是自由空間中的波阻抗。是入射波的傳播方向</p><p><b>　　(2.5.2)</b></p><p>　　將入射場矢量用球坐標表示，則入射電場矢量可以表示為：</p><p><b>　　(2.5.3)</b></p><p>　　由于在雷達截面積（

81、RCS）的計算中，觀察點是位于散射體的遠區(qū)內(nèi)，因此觀察點的方向可以近似取為，如圖2.5.1所示。對于遠區(qū)激發(fā)產(chǎn)生的散射場，可以表示為</p><p><b>　　(2.5.4)</b></p><p>　　其中，表示散射場的幅度矢量。它是一個復數(shù)，包含了相位的信息。將散射場在球坐標下展開，同樣可以表示為</p><p><b>　　(

82、2.5.5)</b></p><p>　　文獻[1]給出了雷達散射截面積（RCS）的定義：雷達散射截面積是在給定方向上返回或散射功率的一種量度，它用入射場的功率密度歸一化。即：</p><p><b>　　(2.5.6)</b></p><p>　　式(2.5.5)是RCS的一般表達式。它并不包含入射場和反射場的極化信息。利用(2.

83、5.2)和(2.5.4)式，RCS的定義(2.5.5)式可以寫成下列的形式</p><p><b>　　(2.5.7)</b></p><p>　　從RCS的定義可以看出，它不僅跟散射體的結構有關，還同入射波的頻率，入射波的極化方向，以及接收的極化方向有關。RCS通常以平方米為單位給出，并常表達為對數(shù)形式，即相對于一平方米的分貝數(shù)</p><p&g

84、t;<b>　　(2.5.8)</b></p><p>　　2.6 半空間問題的格林函數(shù)</p><p>　　基于混合位積分方程（MPIE）的矩量法（MOM）因其自身優(yōu)點而廣泛應用于多層媒質結構的分析。在混合位積分方程中，矢位和標位格林函數(shù)都必須被采用。然而，與分層媒質的電磁場格林函數(shù)不同，矢位和標位格林函數(shù)并不唯一，通常有兩種形式，分別稱之為傳統(tǒng)形式和替代形式[81

85、]。而且，對于MPIE，另一個問題是不存在任意電流分布的標位格林函數(shù)。當然，如果僅僅只有水平電流或者僅僅只有垂直電流，此時標位格林函數(shù)是存在的。事實上，難點就在于水平電流和垂直電流產(chǎn)生的標位格林函數(shù)是不同的。因此，不存在任意電流分布（既有水平電流又有垂直電流）的標位格林函數(shù)。</p><p>　　解決這一問題的一種方法是對水平電流和垂直電流采用不同的格林函數(shù)[82]。然而，這就意味著必須推導出一套不同于Rao等最

86、早提出的RWG基MOM公式。在這種情況下，用于自由空間問題的RWG基函數(shù)的優(yōu)點對于這套新公式是否依然有效還很難確定。因此，為了將RWG基的MOM推廣應用于分層媒質問題，Michalski提出了適用于分層媒質的矢位和標位格林函數(shù)的三類公式，分別稱之為A類公式、B類公式和C類公式。在這三類公式中，利用C類公式，MPIE與Rao等提出的Mom公式完全相同，特別適用于分析任意形狀的3D目標。本節(jié)首先給出C類譜域格林函數(shù)的表達形式，利用離散復鏡像

87、（DCIM）方法得出半空間格林函數(shù)的空域表達式。</p><p>　　利用傳輸線格林函數(shù)，可以將六類Michalski’s C類格林函數(shù)表示出來[81]。</p><p>　?。?）電流源產(chǎn)生電場的矢位格林函數(shù)</p><p><b>　　(2.6.1)</b></p><p>　　（2）電流源產(chǎn)生電場的標位格林函數(shù)&l

88、t;/p><p><b>　　(2.6.2)</b></p><p>　?。?）磁流源產(chǎn)生磁場的矢位格林函數(shù)</p><p><b>　　(2.6.3)</b></p><p>　　（4）磁流源產(chǎn)生磁場的標位格林函數(shù)</p><p><b>　　(2.6.4)</

89、b></p><p>　?。?）電流源產(chǎn)生磁場的矢位格林函數(shù)</p><p><b>　　(2.6.5)</b></p><p>　?。?）磁流源產(chǎn)生電場的矢位格林函數(shù)</p><p><b>　　(2.6.6)</b></p><p>　　在獲得譜域格林函數(shù)之后，通過

90、關于的2-D傅立葉反變換將它們變換到空域，從而獲得空域格林函數(shù)。本節(jié)將著重討論其對應空域格林函數(shù)的計算。傅立葉反變換是關于的雙重積分，考慮到其與索末菲積分（SI）之間的關系，通常將雙重積分轉化為柱坐標系下的單重積分，因而空域格林函數(shù)有著索末菲積分（SI）的形式。索末菲積分數(shù)值計算的困難主要來自于兩個方面：被積函數(shù)的高振蕩、慢衰減特性以及在積分路徑上或積分路徑附近的奇異性。前者來自被積函數(shù)中的Bessel函數(shù)和指數(shù)函數(shù)。為解決此問題，前人

91、做了大量的工作，這些工作大致可分為數(shù)值積分方法和逼近方法兩類。逼近方法主要是指基于指數(shù)逼近的離散復鏡像方法（DCIM）。如文獻[1][2]所述，離散復鏡像方法的基本思路是從譜域格林函數(shù)中抽取準動態(tài)和表面波的貢獻，再利用Prony或矩陣束（Matrix Pencil）方法將剩余部分表示為復指數(shù)級數(shù)和的形式，然后利用索末菲恒等式獲得閉合形式的空域格林函數(shù)解。該方法的思想最早由A. Mohsen等人提出，后經(jīng)D. G. Fang等人的努力形成

92、了較為完整的理論體系，并明確提出DCIM這一名稱。相比于其它方法，DCIM完全避免了數(shù)值積分</p><p>　　格林函數(shù)的譜域表達可以分解成如下形式：</p><p><b>　　(2.6.7)</b></p><p><b>　　其中：</b></p><p>　　1、表示空間波（Space w

93、ave），指所有能表示成實空間球面波形式的貢獻。</p><p>　　2、表示表面波（Surface-wave），在遠區(qū)尤其是靠近界面的區(qū)域占主要貢獻，通常來自于被積分路徑包圍或靠近積分路徑的奇點貢獻。</p><p>　　3、表示準靜態(tài)波（Quasi-static waves），來自于橫向波數(shù)很大的波譜分量的貢獻，在近區(qū)起較大的作用。</p><p>　　4、表示

94、除去以上貢獻后的所有波型，在中間區(qū)域占主要貢獻。</p><p>　　采用離散復鏡像方法求解空域閉式格林函數(shù)可以分為如下幾步[2]：</p><p>　　第一步：提取譜域格林函數(shù)的準靜態(tài)項。SI的慢衰減特性主要來自元準靜態(tài)波的作用。顯然，準靜態(tài)項的提取能改善收斂性能；</p><p>　　第二步：提取譜域格林函數(shù)的表面波項。表面波項可經(jīng)留數(shù)定理轉換到空域中，它的提取

95、使得被積函數(shù)變得光滑；</p><p>　　第三步：復指數(shù)近似。將譜域格林函數(shù)的剩余項用一組指數(shù)函數(shù)展開，通過索末菲恒等式變換至空域。</p><p>　　本節(jié)介紹了M. I. Aksun提出的二級DCIM[3]，這避免了提取準靜態(tài)波和表面波項，然而依然可以穩(wěn)健、高效地提取分層介質中的閉式空域格林函數(shù)。如圖2.6.1（a）、（b）所示，索末菲積分路徑可以分成和兩部分，這兩條路徑把實數(shù)映射到

96、復平面上：</p><p>　?。╝）平面上的積分路徑</p><p>　?。╞）平面上的積分路徑</p><p>　　圖2.6.1 索末菲積分路徑的示意圖</p><p><b>　　(2.6.8)</b></p><p><b>　　(2.6.9)</b></p&g

97、t;<p>　　這里為唯一的采樣變量，為第層媒質的傳播常數(shù)。下面給出二級近似處理的步驟：</p><p>　?。?）選擇，使（為中的最大值）。</p><p>　　（2）選擇（和在中的采樣數(shù)）。的選擇不是非常的嚴格的，只要選擇的足夠大來拾取對于大的譜域格林函數(shù)特性。又因為譜域格林函數(shù)在上總是平滑的，因此沒有必要在上選擇很大的采樣數(shù)，典型的取值為為300，采樣數(shù)為200。<

98、;/p><p>　?。?）沿著路徑采樣，并且運用MP算法。沿著路徑采樣使通過在之間的取值來實現(xiàn)的。此時：，于是得到：</p><p>　　當 (2.6.10)</p><p>　　其中， (2.6.11)</p><p>　　這里，通過MP方法得到，是在這個近似中使用的復指數(shù)

99、項的個數(shù)，它是由在MP算法過程中采樣矩陣的奇異值的個數(shù)決定的。在得到的復指數(shù)形式后，再通過下面所述的變換把它們變換成關于的復指數(shù)形式，這樣就可以利用sommerfeld恒等式。</p><p>　?。?）原始的函數(shù)減去上面近似得到，這樣可以保證在上剩下分函數(shù)可以忽略，但剩余函數(shù)在這個小范圍內(nèi)非零。因此不需要在上用很大的采樣數(shù)，就可以拾取剩余函數(shù)很好的特性。于是：</p><p><b

100、>　　(2.6.12)</b></p><p>　　且第一個積分只沿路徑 進行。因此sommerfeld恒等式能適用于上式。</p><p>　　（5）余函數(shù)沿著路徑采樣，通過MP方法近似，此時在取值，且。一般選200作為采樣數(shù)，就可以獲得足夠好的近似了。</p><p><b>　　(2.6.13)</b></p>

101、;<p><b>　　(2.6.14)</b></p><p><b>　　(2.6.15)</b></p><p>　　這里，通過MP方法得到。</p><p><b>　　2.7 小結</b></p><p>　　本章描述了分析目標散射特性的積分方程方法，奠定

102、了整篇論文的物理基礎。同時闡述了加速表面積分方程矩陣矢量乘運算的快速多極子技術的基本原理，最后給出了描述目標電磁散射特性的參數(shù)－雷達截面積RCS的定義，并給出了半空間問題的格林函數(shù)形式。</p><p>　　3 表面積分方程（EFIE+PMCHW）分析半空間金屬介質混合目標的電磁散射特性</p><p><b>　　3.1 引言</b></p><

103、p>　　表面積分方程法（SIE）在電磁計算領域中取得了很大的發(fā)展，在數(shù)值計算中，表面積分方程只需離散產(chǎn)生場的源或等效源所在的邊界區(qū)域，這大大降低了數(shù)值計算的待求未知量，相對于差分方法，如有限元法[17,18]、時域有限差分法[34]，表面積分方程法在分析散射問題時有著很大的優(yōu)勢。自1982年Rao提出了基于三角面元基函數(shù)（RWG基函數(shù)）的矩量法求解電場積分方程以來[35]，邊界積分方程結合矩量法被廣泛的用于求解各種工程電磁學中，如

104、復雜金屬目標的散射特性計算[35]，介質目標散射問題分析[38]，介質涂敷或部分涂敷金屬目標散射特性計算[36,37]，有限介質基板上的微帶天線問題分析[39,40]等領域。其所分析的問題由簡單的線天線問題到復雜三維金屬目標的散射問題，再到任意混合金屬和介質目標的散射問題。所依據(jù)的積分方程由用于線天線問題的Hallen積分方程和Pocklington積分方程到用于三維目標的電場、磁場和混合積分方程再到用于介質問題的PMCHW積分方程等形

105、式。</p><p>　　使用積分方程法分析電磁問題，針對具體的問題來選取合適的積分方程是整個分析過程的關鍵。本章首先給出了無限空間中基于面電流分布的電磁場積分方程表達式，給出了用于描述電磁場的微積分算子L、K、P和Q的表達形式；接著應用等效原理和邊界條件建立了用于金屬問題的電場積分方程，用于介質問題的PMCHW積分方程，以及用于金屬介質混合目標問題EFIE+PMCHW積分方程組。</p><

106、p>　　3.2 PMCHW積分方程構成</p><p>　　我們首先簡要回顧一下對于理想的無耗介質，在只有外加電流源的情況下，Maxwell方程組的形式可寫為：</p><p><b>　　(3.2.1)</b></p><p><b>　　(3.2.2)</b></p><p><b&

107、gt;　　(3.2.3)</b></p><p><b>　　(3.2.4)</b></p><p>　　假設空間中填充了均勻、線性、各向同性的非磁性理想無耗媒質，外加電流源在空間中引起的場可借助于輔助函數(shù)磁矢位和電標位來計算[41,42]。</p><p><b>　　(3.2.5)</b></p>

108、;<p><b>　　(3.2.6)</b></p><p>　　磁矢位和電標位由Lorentz條件[41]相關聯(lián)： </p><p><b>　　(3.2.7)</b></p><p>　　把式(3.2.5)、(3.2.6)和(3.2.7)代入(3.2.1)、(3.2.2)中，可得到只包含位函數(shù)的偏微分方程

109、：</p><p><b>　　(3.2.8)</b></p><p><b>　　(3.2.9)</b></p><p>　　對于理想無耗媒質，有。方程(3.2.8)、(3.2.9)為矢量和標量亥姆赫茲方程，在無限空間中的解可分別表示為：</p><p><b>　　(3.2.10)&l

110、t;/b></p><p><b>　　(3.2.11)</b></p><p>　　其中，表示場點的位置矢量，表示源點位置矢量，下標v表示產(chǎn)生場的外加源所在的空間區(qū)域，為無限空間的格林函數(shù)，R為場點到源點的距離：</p><p>　　上面方程同樣適用于有耗介質情況。</p><p>　　將式(3.2.10)和(3

111、.2.11)代入式(3.2.5)和(3.2.6)中，并做一定的矢量變換，可得到只有電流源分布時無限空間中電磁場的積分形式：</p><p><b>　　(3.2.12)</b></p><p><b>　　(3.2.13)</b></p><p>　　其中算子作用于場坐標上，算子作用于源坐標上，和Z分別表示媒質的傳播常數(shù)和

112、固有波阻抗。</p><p>　　對于無限空間的電流分布，算子和定義為：</p><p><b>　　(3.2.14)</b></p><p><b>　　(3.2.15)</b></p><p>　　將式(3.2.14)和(3.2.15)代入式(3.2.12)、(3.2.13)中可得：</p

113、><p><b>　　(3.2.16)</b></p><p><b>　　(3.2.17)</b></p><p>　　根據(jù)電磁場的對偶性原理，由磁流源產(chǎn)生的場可表示為：</p><p><b>　　(3.2.18)</b></p><p><b&g

114、t;　　(3.2.19)</b></p><p>　　根據(jù)線性疊加原理，無限制空間中電流和磁流共同產(chǎn)生的電磁場可表示為：</p><p><b>　　(3.2.20)</b></p><p><b>　　(3.2.21)</b></p><p>　　基于上面給出的空間區(qū)域中的電流和磁流的

115、電磁場積分表達式，可以很容易得到基于面的電磁流分布的電磁場積分表達式，只需要把相應的對空間的電磁流的作用轉換位對面的電磁流的作用。因此，基于面電流分布的和算子可寫為：</p><p><b>　　(3.2.22)</b></p><p><b>　　(3.2.23)</b></p><p>　　為了書寫簡潔，我們引入四個微