中國科學(xué)院研究生院碩士研究生入學(xué)考試

1、<p>　　中國科學(xué)院大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試</p><p>　　《高等代數(shù)》考試大綱</p><p>　　本《高等代數(shù)》考試大綱適用于中國科學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)和系統(tǒng)科學(xué)等學(xué)科各專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試。高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)生的最基本課程之一，也是大多數(shù)理工科專業(yè)學(xué)生的必修基礎(chǔ)課。它的主要內(nèi)容包括多項(xiàng)式、行列式和線性方程組、矩陣及其標(biāo)準(zhǔn)形、特征值和特征向量、線性變換和矩陣范數(shù)。要求

2、考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和綜合分析解決問題能力。</p><p><b>　　一、考試的基本要求</b></p><p>　　要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。</p><p>　

3、　二、考試方法和考試時(shí)間</p><p>　　高等代數(shù)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。</p><p><b>　　三、考試內(nèi)容</b></p><p><b>　　多項(xiàng)式</b></p><p>　　一元多項(xiàng)式的因式、帶余除法公式及互素的概念及判別；</p&g

4、t;<p><b>　　復(fù)根存在定理；</b></p><p><b>　　根與系數(shù)關(guān)系；</b></p><p><b>　　Sturm定理。</b></p><p><b>　　行列式</b></p><p>　　行列式的置換、對換、置換

5、奇偶性；</p><p>　　行列式的定義，基本性質(zhì)及計(jì)算；</p><p>　　Vandermonde行列式；</p><p>　　行列式的代數(shù)余子式、Cramer法則。</p><p><b>　　矩陣</b></p><p>　　矩陣基本運(yùn)算、分塊矩陣運(yùn)算；</p><p

6、>　　初等矩陣、初等變換和矩陣的秩；</p><p>　　矩陣的逆、伴隨陣、線性方程組的矩陣形式；</p><p><b>　　行列式乘積定理；</b></p><p>　　矩陣和轉(zhuǎn)置、Hermite共軛；</p><p>　　對角陣、三角陣、三對角陣；</p><p>　　矩陣的跡、方陣多

7、項(xiàng)式；</p><p><b>　　廣義逆矩陣。</b></p><p><b>　　線性方程組求解</b></p><p>　　線性方程組有解的充分必要條件；</p><p>　　2．Gauss消元法；</p><p><b>　　3．三角分解。</b>

8、;</p><p>　　線性空間和線性變換；</p><p>　　向量的線性相關(guān)和線性無關(guān)；</p><p>　　線性空間的定義及性質(zhì)；</p><p>　　向量組的秩、線性空間的基及坐標(biāo)；</p><p>　　線性變換的矩陣表示；</p><p><b>　　矩陣相似；</b&

9、gt;</p><p><b>　　不變子空間；</b></p><p>　　子空間的直接和、維數(shù)公式；</p><p><b>　　線性空間的同構(gòu)。</b></p><p><b>　　特征值和特征向量</b></p><p>　　特征值和特征多項(xiàng)式；

10、</p><p>　　特征向量、特征子空間、度數(shù)和重?cái)?shù)；</p><p>　　非虧損矩陣的完全特征向量系和譜分解；</p><p>　　特征值估計(jì)的圓盤定理；</p><p>　　三對角矩陣的特征值與Sturm定理。</p><p><b>　　內(nèi)積空間和等積變換</b></p>&

11、lt;p>　　Euclid空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，施密特（Schmidt）正交化；</p><p><b>　　Gram行列式；</b></p><p>　　正交變換及其矩陣表示；</p><p>　　初等旋轉(zhuǎn)和鏡像變換；</p><p><b>　　QR分解；</b></p><

12、;p><b>　　酉空間和酉變換；</b></p><p>　　正交相似變換和酉相似變換；</p><p>　　向量到子空間的距離、最小二乘。</p><p><b>　　二次型和對稱矩陣</b></p><p>　　二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形、慣性定理；</p><p>　　實(shí)

13、對稱矩陣正定的充分必要條件；</p><p>　　Rayleign商；</p><p>　　極大－極小原理、極小－極大原理；</p><p>　　正定矩陣的開方和Cholesky分解；</p><p>　　Hermite型和Hermite矩陣；</p><p><b>　　正規(guī)矩陣。</b><

14、;/p><p><b>　　Jordan標(biāo)準(zhǔn)形</b></p><p>　　向量的最小化零多項(xiàng)式；</p><p>　　線性變換及矩陣的最小多項(xiàng)式；</p><p>　　矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及其唯一性；</p><p>　　初等因子和不變因子；</p><p><b&

15、gt;　　矩陣函數(shù)。</b></p><p><b>　　極限和范數(shù)</b></p><p><b>　　向量和矩陣的極限；</b></p><p>　　向量范數(shù)和范數(shù)等價(jià)定理；</p><p>　　相容范數(shù)和從屬范數(shù)；</p><p>　　矩陣依范數(shù)的收斂性。&

16、lt;/p><p><b>　　四、掌握重點(diǎn)</b></p><p>　　行列式乘積定理及其應(yīng)用</p><p>　　分塊矩陣運(yùn)算及其應(yīng)用</p><p>　　矩陣三角分解及其應(yīng)用</p><p><b>　　矩陣的秩及其應(yīng)用</b></p><p>　　

17、線性空間的概念及性質(zhì)</p><p>　　線性變換下的不變子空間及其矩陣表示</p><p>　　圓盤定理與特征值估計(jì)</p><p><b>　　二次型的標(biāo)準(zhǔn)形</b></p><p><b>　　實(shí)對稱矩陣及其性質(zhì)</b></p><p>　　矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算

18、及其應(yīng)用</p><p><b>　　矩陣范數(shù)與矩陣收斂</b></p><p><b>　　五、主要參考書目</b></p><p>　　[1] 北京大學(xué)編《高等代數(shù)》，高等教育出版社，1978年3月第1版 ，2003年7月第3版 ，2003年9月第2次印刷.</p><p>　　[2] 復(fù)旦大學(xué)