模糊pid控制器的結(jié)果解析及其穩(wěn)定性分析

1、<p>　　模糊PID控制器的結(jié)果解析及其穩(wěn)定性分析</p><p>　　B.M. Mohan *, Arpita Sinha</p><p>　　Department of Electrical Engineering, Indian Institute of Technology, Kharagpur 721302, India Received 14 July 2006;

2、received in revised form 31 May 2007; accepted 10 June 2007 Available online 14 June 2007</p><p>　　摘要：本文建立在三輸入四輸出變量模糊集的控制器基礎(chǔ)之上對模糊PID控制器的解析。該結(jié)構(gòu)是基于對輸入/輸出為,L隸屬度函數(shù)，代數(shù)積三角形準則、有界和三角形準則，Mamdami最小推理方式，中值法反模糊方式之上得出的。文

3、中的有界輸入/輸出穩(wěn)定性的條件是基于小增益定理。最后，以兩個數(shù)值例子及其仿真結(jié)果來論證了最簡模糊PID控制器的可行性和有效性。</p><p><b>　　1.介紹：</b></p><p>　　由于傳統(tǒng)PID控制器的簡易性，魯棒性好，對線性系統(tǒng)控制有效等優(yōu)點，許多的工業(yè)控制仍采用這種控制方法。本文圖1給出了兩種不同配置的PID控制器。但由于其為線性結(jié)構(gòu)，如果系統(tǒng)為高

4、階大時滯系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)，沒有精確數(shù)學模型的復雜模糊系統(tǒng)或是具有多個不確定因素的系統(tǒng)，傳統(tǒng)的PID控制方法就無法非常有效地對其進行控制。上個世紀90年代之前，大多數(shù)的模糊系統(tǒng)研究側(cè)重在應(yīng)用領(lǐng)域，而非理論研究。直至1990年，研究人員才開始對模糊控制器進行結(jié)構(gòu)解析及穩(wěn)定性分析。并如其他傳統(tǒng)控制理論，針對一個對象，建立了模糊理論體系。從模糊PI及模糊PD控制器與其對應(yīng)傳統(tǒng)控制器對上述復雜系統(tǒng)的控制結(jié)果的比較可看出其優(yōu)越性。由于模糊PI控制器

5、比模糊PD控制器具有更好的優(yōu)越性，模糊PD控制算法無法消除穩(wěn)態(tài)誤差。但是，模糊PI控制器由于其自身的積分操作，在高階系統(tǒng)時，并不能得到很好的控制效果。為了提高上述的所有性能，本文提出了模糊PID控制器。</p><p>　　本文提出了一種基于常規(guī)控制器，與模糊邏輯控制器相結(jié)合的增量式控制器。該控制器是將常規(guī)PID控制器的參數(shù)加上模糊邏輯整定得到的參數(shù)的增量式模糊PID控制器。BIBO穩(wěn)定性的充分條件是小增益定理。

6、事實上，在[1]一書中，對模糊控制系統(tǒng)有過深刻的分析，該書針對Mamdami型和Takagi-Sugeno型的模糊模型提出過多種分析法。[1]中給出了一種使用線性矩陣不等式法分析、設(shè)計模糊控制系統(tǒng)的詳細方法，用以處理Takagi-Sugeno型模糊模型的系統(tǒng)。</p><p>　　本文提出一種基于圖1配置1的新型模糊PID控制器結(jié)構(gòu)。為了能夠在線調(diào)節(jié)模糊控制器參數(shù)，文章提出了一種基于峰值觀測器的參數(shù)自適應(yīng)算法。提

7、出二級調(diào)整策略，做法如下：首先，在大前提下建立模糊比例、積分、微分增益和量化因子的關(guān)系，然后，再最優(yōu)調(diào)節(jié)該控制參數(shù)。如配置1的模糊PID控制，是基于最小值推理機和算術(shù)平均法反模糊化的控制器。為了得到更好的暫態(tài)，穩(wěn)態(tài)性能，提出了一種基于函數(shù)調(diào)節(jié)的自適應(yīng)方法用來在線調(diào)整模糊邏輯控制器的量化因子。</p><p>　　將模糊PI控制器和模糊PD控制器結(jié)合得到模糊PID控制器如圖1配置2。其理論基礎(chǔ)為結(jié)合PD和PI兩種控

8、制。給出了一種基于增益欲度規(guī)格和相位欲度規(guī)格的調(diào)整方式，用以確定模糊PID控制器的參數(shù)。并且BIBO穩(wěn)定性的充分條件也已經(jīng)確定。多種比例，積分，微分模糊邏輯控制器的分解形式 （如模糊P+模糊I+模糊D,模糊PD+模糊I,模糊PI+常規(guī)D形式，模糊P+常規(guī)ID形式，模糊PI+模糊PD形式）在文中都得到測試和比較。為了得到簡單的結(jié)構(gòu)，模糊PID中的比例，積分，微分部分均基于PID中的比例，積分，微分的規(guī)則確定。</p><

9、;p>　　通過基于隸屬度函數(shù)推理方法，能夠系統(tǒng)的學習模糊PID控制器。該控制器的分析具有5個評定準則：控制作用組成，輸出耦合，增益相關(guān)性，增益作用交換，規(guī)則/參數(shù)增長。</p><p>　　Mizumoto已經(jīng)證明PID控制器能夠利用模糊控制方法如product-sum-gravity原理得到參數(shù)（代數(shù)積三角形規(guī)范，Larsen積推理法，有界和三角形準則和重心反模糊法），以及簡化模糊推理規(guī)則的方法（模糊集為

10、連續(xù)相同論域的情況下。）然而，當系統(tǒng)給定的復雜推理結(jié)果為非線性形式時，則min-max-gravity方式無法建立并簡化其模糊推理形式來的到PID控制器。但是product-sum-gravity方式能夠建立該推理，并能在原先模糊規(guī)則的基礎(chǔ)上擴展隸屬度函數(shù)來簡化模糊推理規(guī)則。</p><p>　　本文的目的是：解析基于代數(shù)積三角形準則、有界和三角形準則，輸入輸出為,L隸屬度函數(shù)、非線性控制規(guī)則，Mamdami最小

11、推理方式，中值法反模糊方式的控制器；分析和給出模糊PID控制系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性的充分條件。最后，分析并討論了模糊PID控制器相比于PID控制器的優(yōu)越性。并給出了兩個仿真結(jié)果。</p><p>　　本文有一下章節(jié)組成，第二章論述了典型模糊PID控制器的基本組成部分；第三章則給出了模糊PID的結(jié)構(gòu)分析；第四章是關(guān)于模糊PID控制系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定分析；第五章是關(guān)于模糊PID控制器的設(shè)計研究；而第六章則給出了仿真結(jié)構(gòu)

12、，第七部分為結(jié)論總結(jié)。</p><p>　　圖1.PID控制器 （a）.配置1 （b）.配置2 （c）.配置3</p><p>　　2.模糊PID控制器的組成</p><p>　　增量控制信號由離散時間PID控制器(式11)產(chǎn)生</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中

13、，各代表數(shù)字PID控制器的比例積分微分參數(shù)。速度，位移和加速度有下式（2~4）得到：</p><p>　　是由得到的誤差信號，是輸入給定信號，為系統(tǒng)輸出，T為采樣周期。離散時間位移速度，當t=kT時，與前一時刻的誤差的差異得到、如式（2）、（4）所示。式（1）速度算法在數(shù)字PID控制器中應(yīng)用非常廣泛?；趫D1配置3的模糊PID結(jié)構(gòu)（圖2）有下面幾個部分組成。</p><p><b&g

14、t;　　2.1量化因子</b></p><p>　　模糊邏輯控制器的輸入變量可以乘以一個正則化因子映射到區(qū)間上，各為d，v，a，u的正則化因子，反標準化因子將標準輸出映射回物理輸出域。為的倒數(shù)，稱為反標準化因子。這些量化因子相當于常規(guī)PID控制器的增益系數(shù)，</p><p><b>　　2.2模糊化</b></p><p>　　模糊

15、化能夠?qū)⒖刂破鞯妮斎霕藴驶癁橐欢ㄖ到o模糊集，因此，能夠啟動推理機，并運用控制規(guī)則。模糊PID控制器有3個輸入：誤差信號 (即位移)，的一階微分（即速度）和二階微分（即加速度）。這些輸入均模糊化為,L隸屬度函數(shù)如圖3，dN，vN，aN為正則化輸入。其中,L隸屬度函數(shù)如下所示：</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　（6）<

16、;/b></p><p>　　注意： （7）</p><p>　　圖3 輸入變量的隸屬度函數(shù)</p><p>　　該模糊控制器只有一個輸出，即增量控制輸出u（kT）標準輸出量UN的隸屬度函數(shù)如圖4，常數(shù)l，L，m，M為設(shè)計者給出。</p><p>

17、<b>　　2.3控制規(guī)則庫</b></p><p>　　以下規(guī)則是以圖3圖4輸入輸出模糊集得出。</p><p>　　R1:If dN=n*d& vN= n*v& aN=n*a then =O-2</p><p>　　R2:If dN=p*d& vN= n*v& aN=n*a then =O-1</p&g

18、t;<p>　　R3:If dN=n*d& vN= n*v& aN=p*a then =O-1</p><p>　　R4:If dN=p*d& vN= n*v& aN=p*a then =O-1</p><p>　　R5:If dN=n*d& vN=p*v& aN=p*a then =O+1</p><p&g

19、t;　　R6:If dN=n*d& vN= p*v& aN=n*a then =O-1</p><p>　　R7:If dN=p*d& vN= p*v& aN=n*a then =O+1</p><p>　　R8:If dN=p*d& vN= p*v& aN=p*a then =O+2</p><p>　　其中&

20、;代表“與”操作，在這里看作代數(shù)積三角形規(guī)則，定義如下。</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　代表對先前規(guī)則部分的聯(lián)合，i、j、k則各代表dN，vN，aN在第i、j、k個模糊集。注意，控制規(guī)則是輸出模糊集，而不是線性相關(guān)的輸入模糊集。</p><p><b>　　2.4推理機</b></p

21、><p>　　增量控制器的最終輸出值是由推理機基于規(guī)則庫考慮各條規(guī)則推理得出。因此，結(jié)合各條規(guī)則，首先由式8的三角形函數(shù)得到隸屬度，然后，根據(jù)Mamdami-Minimun推理法得到輸出模糊集。</p><p>　　其中，代表代數(shù)積三角形規(guī)則操作結(jié)果。（UN）為輸出模糊集UN的隸屬度函數(shù)。</p><p>　　參考輸出模糊集（梯形）和推理輸出模糊集聯(lián)立于Mamdami-

22、Minimun推理法，如圖5所示。推理模糊集的面積為，是梯形上底與下底的比值。</p><p>　　圖4 輸入變量的隸屬度函數(shù)</p><p>　　圖5 Mamdani最小推理圖示</p><p>　　其詳細情況見附錄A，將看做01,避免兩個相鄰輸出模糊集重疊。3維子空間標記出三態(tài)n1.n2.n3）。例如（10.11.18）表示了1平面的10，2平面的11，3平面

23、的18</p><p>　　由于模糊PID控制器為3輸入，所以我們可以將其輸入的可能值聯(lián)立到3維空間，點（x,y,z）在3維空間里能唯一地映射到xy-,yz-,zx-平面，所以如圖6所示，各平面（各提出有20中組合，從而各狀態(tài)點（dN*，vN*，aN*）能唯一地在3維子空間標記出三態(tài)（n1.n2.n3）。例如（10.11.18）表示了1平面的10，2平面的11，3平面的18。各個有效的單元（n1，n2，n3）根據(jù)

24、模糊PID控制器的R（1）~R（8）8條規(guī)律，并給出適當?shù)目刂茰蕜t。在運用代數(shù)積三角形準則的前途下，得到各有效單元的規(guī)則，如表一所示。3維輸入空間共有20*20*20=8000個單元。并不是8000個單元都為有效單元，相反，只有一小部分是有效的。如果一個單元為有效單元，則當且僅當dN，vN的關(guān)系與vN，aN的關(guān)系聯(lián)立后，vN>aN。例如，單元（7.2.6）是有效單元，由于dNvN，dNaN，聯(lián)立后，vN dNaN，滿足關(guān)系vN&

25、gt;aN。</p><p>　　從8條控制規(guī)則可以看出，輸出模糊集O-1和O+1各出現(xiàn)了3次。此時必須根據(jù)模糊三角形規(guī)則聯(lián)立規(guī)則{R（2），R（4），R（6）}；{R（3），R（5），R（7）}來推理出模糊集。有界和三角形函數(shù)準則定義如下：min{1. A(x)+ B(x)}</p><p>　　由于模糊控制器有3個輸入，并且采用代數(shù)積三角形準則，所有輸出聯(lián)立之和與各規(guī)則集均小于他們的和

26、。因此，采用有界和三角形準則的聯(lián)立隸屬度函數(shù)可得到：</p><p><b>　　2.5反模糊化</b></p><p>　　反模糊化模塊是將模糊信息轉(zhuǎn)換成確切信息。最常用的COS法就是用于處理增量控制輸出的反模糊化環(huán)節(jié)。公式如下：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　其

27、中，A((Ri))為推理得到的模糊集與R(i)規(guī)則聯(lián)立的面積。</p><p><b>　　3.結(jié)構(gòu)解析</b></p><p>　　在這部分，分析采用基于對輸入/輸出為,L隸屬度函數(shù)，代數(shù)積三角形準則、有界和三角形準則，Mamdami最小推理方式，中值法反模糊方式的模糊PID控制器的結(jié)構(gòu)，我們通過在式(9)中置換推理面積A((Ri))并聯(lián)系8條規(guī)則，再根據(jù)標準化輸入

28、dN，vN，aN，將多個變量歸組并簡化，從而得到了一下3條情況的結(jié)構(gòu)解析。（以下描述中將采樣時間kT簡化為K）則結(jié)構(gòu)為：</p><p>　　Case（a）： （10）</p><p><b>　　這里 </b></p><p>　　如2.4節(jié)中所定義參數(shù)l則如圖3中所示。</p><p>

29、;　　Case b：一個標準輸入在[-l,l]區(qū)間上，另外兩個輸入不在[-l，l]上，如圖3.</p><p><b>　　x如表2定義。</b></p><p>　　Case c三個輸入不在[-l，l]上，見圖3</p><p>　　如（17.17.17），（18.19.18），（17.20.20） （1

30、8）</p><p>　　如（17.18.18），（19.19.19），（20.17.20） （19）</p><p>　　*3如（18.20.17） （20）</p><p>　　*3如（20.18.19）

31、 （21）</p><p>　　這里UN（K）的最大值和最小值一般是在+M和-M之間。代表了在[0,1]上的所有制。簡言之，式20適用于。只要在區(qū)間上， u就一直是（）。換言之，UN的值一直是-M,類似的，式（21）適用于時，根據(jù)該等式所示，UN的值一直是+M。值得一提的是，式（20）與式（21）均與無關(guān)。然而，關(guān)聯(lián)商最大值最小值，能從式（18）推出式（18）式（19）的u的值是式（20）時u

32、的1/3.而在這個值在式19 和式21中也成立。所以如果+M.-M各代表了UK的最大值和最小值，則我們必須從有關(guān)表示的式（10.15.16.17）中獲取相同的最大值，最小值信息。通過運用Simulink仿真的縝密研究發(fā)現(xiàn)，無論在[0，1]內(nèi)的任何值，UN的最大值M和最小值只會在和時出現(xiàn)。</p><p>　　4.基于模糊PID的控制系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性分析。</p><p>　　本部分針對

33、模糊PID控制系統(tǒng)進行BIBO穩(wěn)定性分析如圖7.采用小增益理論[18]。假設(shè)子系統(tǒng)G1 G2各代表了模糊PID控制器和被控對象。</p><p><b>　　表2</b></p><p>　　則該反饋系統(tǒng)可有一下等式描寫：</p><p><b>　　e1=u1-y2</b></p><p>&l

34、t;b>　　e2=u2+y1</b></p><p><b>　　y1=G1*e1</b></p><p><b>　　y2=G2*e2</b></p><p><b>　　圖7反饋控制系統(tǒng)</b></p><p>　　假設(shè)兩個子系統(tǒng)G1 G2為因果關(guān)系并且

35、均為穩(wěn)定，令r1=r(G1)為的增益，r2= r(G2)</p><p>　　的增益存在（常數(shù)），有：</p><p>　　此時，當<1時系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定，即有界輸入（u1，2）的積為有界輸出（y1，y2）。我們現(xiàn)在考慮一般情況即控制非線性系統(tǒng)，用N表示。定義</p><p>　　如圖2，我們可得到等效閉環(huán)控制系統(tǒng)如圖7.令</p><p

36、>　　這里dN(k) 、vN(k)、 aN(k) </p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　?。?4）</b></p><p><b>　　這里</b></p><p><b>　　接著，我們有</b></p>

37、;<p><b>　?。?5）</b></p><p>　　所以非線性模糊PID控制系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分條件是模糊PID控制器的參數(shù)必須滿足不等式<1，其中如式24.25定義。</p><p>　　5.最簡模糊PID控制器的設(shè)計</p><p><b>　　等式10，可寫成</b></p>

38、<p><b>　?。?6）</b></p><p>　　現(xiàn)在，我們將式（26）與式（1）比較，很明顯可以看到，模糊PID控制器非常類似于線性PID控制器。其中N1,N2,N3,D不是常數(shù)而是正則化輸入dN(kT)，vN(kT)和aN(kT)的非線性函數(shù)。模糊PID控制器是一個具有動態(tài)增益的非線性PID控制器。其中</p><p><b>　　

39、（27）</b></p><p>　　KPd，KId，KDd，各代表了動態(tài)比例增益，積分增益，微分增益。特別的，線性PID控制器的增益為常數(shù)，即靜態(tài)。因此，我們同樣可以定義一個靜態(tài)增益的模糊PID控制器，只要令式（27）中的dN(kT)=vN(kT)=aN(kT)=0，得到</p><p><b>　?。?8）</b></p><p&g

40、t;　　這里分別表示靜態(tài)比例增益，積分增益，微分增益。其中</p><p><b>　?。?9）。</b></p><p>　　為實現(xiàn)最簡模糊PID控制器的數(shù)學模型，我們設(shè)計的參數(shù)必須適當?shù)慕咏?。該簡易程序是基于模?維控制器設(shè)計方法提出的。</p><p>　　令比例增益，積分增益，微分增益為為最優(yōu)輸出關(guān)聯(lián)于增量控制，如式（1），</p

41、><p>　　表三非最小相位系統(tǒng)，非線性處理： </p><p>　　假設(shè)線性PID控制系統(tǒng)的誤差，誤差變化率和誤差變化率的加速度的最大值。假設(shè)模糊PID控制系統(tǒng)的采樣周期T與線性PID控制系統(tǒng)的采樣周期相同。N……L和M的值用以下方式計算。</p><p>　　假定模糊PID的靜態(tài)增益等于其對應(yīng)的線性PID控制器，從式（28）可知：</p><p&

42、gt;<b>　　（30） </b></p><p><b>　　或者</b></p><p><b>　?。?1）</b></p><p>　　其中Na，Nv和Na的值可任意取，只要其比值滿足等式（31）所列關(guān)系，簡單地假設(shè)=M，則N的值能由式(29）(30)計算得到，即</p>&l

43、t;p><b>　　（32）</b></p><p>　　理論上分析的值對控制器性能的影響并不容易。他的選擇通依賴于經(jīng)驗和實際系統(tǒng)。而參數(shù)值的選擇選取則可以通過三個標準化輸入變量由下式得出（34）。通常情況下，很多系統(tǒng)（特別是非線性系統(tǒng)），無法在 用設(shè)計方法得到的功能參數(shù)下得到理想的性能。通常是由于線性PID的性能無法讓人滿意。在這種情況下，模糊PID控制器的功能參數(shù)必須從新調(diào)回到初始

44、值（線性PID中得到的參數(shù)），在按試湊法，直至得到理想的性能。</p><p><b>　　6.例證</b></p><p>　　通過以下兩個例子來比較線性PID控制器和模糊PID控制器的性能。</p><p>　　i）.一個三階線性非最小相位系統(tǒng)。</p><p><b>　　（單位階躍響應(yīng)）</b&g

45、t;</p><p>　　ii）.一階非線性系統(tǒng)</p><p>　　（給定為4的階躍信號），式（35）中，GPS代表了控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。</p><p>　　以上兩個系統(tǒng)的，模糊PID控制器的設(shè)計，按照第五章提出的的方法進行設(shè)計，兩個系統(tǒng)的采樣時間，比例系數(shù)，積分系數(shù)，微分系數(shù)，最大誤差，最大誤差變化率按表三給出。參數(shù)Na，Nv，Na，N，和M按表四給出，控制結(jié)

46、構(gòu)如圖8、9同時給出常規(guī)控制節(jié)國土。其Mp，tr，ts如表四所示，此系統(tǒng)的均設(shè)為0。結(jié)果顯示，模糊PID控制器的控制性能更好，證明了其優(yōu)越性。</p><p><b>　　7.結(jié)論</b></p><p>　　本文所進行結(jié)構(gòu)分析的模糊PID控制器是基于輸入/輸出為,L隸屬度函數(shù)，代數(shù)積三角形準則、有界和三角形準則，Mamdami最小推理方式，中值法反模糊方式的控制器。

47、證明了標準化增量控制對象uN（kT）的最大值+M和最小值-M不會由在[0,1]上的變化而改變。同時，本文也推導出了模糊PID控制器BIBO穩(wěn)定性的充分條件?？偟膩碚f，分析一個模糊控制的結(jié)構(gòu)必須依賴于三角形準則。然而最小值三角形準則并不適合用與了解模糊PID控制。所以當下最主要的工作就是要通過原先的三角形規(guī)則，尋找一個真正適用于模糊PID控制器的結(jié)構(gòu)。毋庸置疑，這方向的研究，必須要給出一個精確的模糊PID的結(jié)構(gòu)圖。</p>

48、<p><b>　　附錄A:</b></p><p>　　如圖5，提醒ABEF表示推理模糊集，其面積計算如下：</p><p>　　推理模糊集的面積=三角形ABC面積+長方形BEDC面積+三角形DEF面積。</p><p>　　由于ABC與DEF完全相同,我們可以得到：</p><p>　　推理模糊集的面積=矩

49、形BEDC的面積+2倍的三角形面積這里；推理模糊集的面積=這里，假設(shè)</p><p>　　References</p><p>　　[1] J. Aracil, F. Gordillo (Eds.), Stability Issues in Fuzzy Control, Physica-Verlag, Heidelberg, 2000.</p><p>　　[2]

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